Съдържание

Условие Часть 1. Теоретическая.Часть 2. Экспериментальная.Часть 3. Экспериментально-теоретическая.Решение

BelPhO 2012, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10.1. Задание 10.1 Удержание, или как быть точнее!

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Республиканская физическая олимпиада 2012 года (заключительный этап) — Экспериментальный тур

Внимание: Бележка към темата

Прочитаны все 43 исходные страницы: 13 условий и 30 архивного ключа. Шесть целых экспериментов для 9, 10 и 11 классов. Пятьдесят напечатанных нумерованных или буквенных запросов, включая оцениваемый вопрос 0, и целая ненумерованная вторая часть электронного секундомера. Два различных задания 9 класса буквально обозначены 9.1. Сохранены всё оборудование, инструкции, методы, формулы, измерения, таблицы, графики и конечные объяснения. Баллы и подробные рубрики не напечатаны. Ключ не содержит отдельных измерений с обеими гирями для 9.1 (электронные весы), запроса 3.3, и отдельного опыта с неизменной суммой высот для 10-2, запроса 2.4. Пробелы не заполнены догадкой. Печатные научные противоречия, испорченные обозначения единиц и перекрытие графиков сохранены с отдельными примечаниями читателя. Не встроенный шрифт Symbol прочитан по точному MuPDF-рендеру оригиналов; старые рендеры сохранены. Ключ атрибутирован архиву.

Титульный лист условий

А.И. Слободянюк, В.В. Барашков, Н.В. Козловский. Республиканская физическая олимпиада 2012 года (заключительный этап). Экспериментальный тур. Гомель 2012.

Условие

Приборы и материалы: Штатив с лапкой, доска деревянная длиной 50 см, динамометр школьный с пределом измерения 4 Н, линейка измерительная, нитки, книга.

Предмет, находящийся в покое на горизонтальной, на наклонной плоскости может удерживаться на ней некоторой силой от проскальзывания при попытке сдвинуть его по поверхности. Если предмет скользит по наклонной плоскости его можно удержать от проскальзывания, приложив некоторую дополнительную силу тяги параллельно поверхности наклонной плоскости.

Книга находится на плоской доске, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Один конец доски расположен на столе, второй с помощью штатива закреплен на высоте $h$ . Длину доски обозначим $L$ . К книге прикладывают некоторую силу $F$ , направленную вдоль доски.

Вам необходимо исследовать в каких пределах может изменяться эта сила, чтобы книга находилась в состоянии покоя. Выберем ось $Ox$ направленную вверх вдоль доски. Далее под величиной $F$ будем понимать проекцию приложенной силы на выбранную ось, т.е. эта величина может принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Книга на наклонной доске, сила F направлена вверх по оси x; угол alpha, высота h и длина L.

Часть 1. Теоретическая.

Обозначим массу книги $m$ , а коэффициент трения книги о доску $\mu$ .

Возможно, вам понадобится тригонометрическая формула

a\sin\alpha\pm b\cos\alpha=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\alpha\pm\varphi),\qquad\text{где }\operatorname{tg}\varphi=\frac ba.

1.1 Рассчитайте в каких пределах может изменяться сила $F$ , чтобы книга находилась в покое в зависимости от угла наклона доски к горизонту $\alpha$ . Верхнюю и нижнюю границы этой силы обозначим $F_{(+)}$ и $F_{(-)}$ , соответственно.

1.2 Постройте схематические графики зависимости границ силы $F_{(+)}$ и $F_{(-)}$ от угла наклона доски $\alpha$ . На графиках укажите значения параметров характерных точек (граничных, точек пересечения с осями, положения и значения экстремумов).

1.3 Укажите возможные способы простого определения коэффициент трения книги о доску.

Часть 2. Экспериментальная.

2.1 Измерьте зависимость границ силы $F_{(+)}$ и $F_{(-)}$ от высоты подъема конца доски $h$ (в пределах изменения $h$ от 0 до $L$ ). Постройте графики полученных зависимостей.

2.2 Используя предложенные вами в п.1.3 методы, оцените коэффициент трения книги о доску (не забудьте о погрешностях).

Часть 3. Экспериментально-теоретическая.

Измеряемое значение силы может превысить 4 Н (предел измерения динамометра). Однако с его помощью можно измерять и такие силы! Предложите способ измерения сил, больших предела измерения динамометра!

3.1 Используя результаты проведенных измерений, постройте теоретические зависимости границ силы от высоты подъема доски. Графики теоретических зависимостей нанесите на бланке графиков экспериментальных данных п. 2.1. Оцените относительное расхождение (в процентах) между экспериментальными и теоретическими значениями сил $F_{(+)}$ и $F_{(-)}$ .

3.2 Для более надежной проверки соответствия между экспериментальными данными удобно линеаризовать полученные зависимости. Предложите такой способ представления экспериментальных данных, чтобы графики полученных зависимостей являлись прямыми линиями. Постройте эти графики.

3.3 Используя предложенные вами линеаризованные зависимости, определите коэффициент трения книги о доску с максимально возможной точностью. Не забудьте оценить погрешность определения коэффициент трения.

Решение

Задание 10-1. Удержание.

Часть 1. Теоретическая.

1.1 Границы возможных значений силы $F$ определяются направлением действия силы трения. Модуль силы трения определяется стандартным образом

F_{\text{тр.}}=\mu N=\mu mg\cos\alpha.\qquad (1)

Два граничных положения книги с силами N, F, трением, mg и углом alpha.

Следовательно, проекция силы $F$ , при которой книга еще находится в покое, может лежать в пределах

F_{(\pm)}=mg\sin\alpha\pm\mu mg\cos\alpha.\qquad (2)

Для удобства анализа эту формулу можно представить в виде

F_{(\pm)}=mg\sin\alpha\pm\mu mg\cos\alpha=mg\sqrt{1+\mu^2}\sin(\alpha\pm\varphi),\qquad (3)

где $\operatorname{tg}\varphi=\mu$ .

1.2 Графики этих функций показаны на рисунке (График 1).

График 1. Теоретические границы силы, горизонтальная доска, максимум и пересечение с осью.

Характерными точками графика являются:

значения сил при горизонтальном расположении доски

F_0=\pm\mu mg,\qquad (4)

точка пересечения с осью углов

\alpha=\varphi=\operatorname{arctg}\mu,\qquad (5)

при этом угле наклона начинается скольжение книги без внешней силы $F$ .

точка максимума функции $F_{(+)}$ :

F_{\max}=mg\sqrt{1+\mu^2}\quad\text{при }\alpha^*=90^\circ-\varphi.\qquad (6)

1.3 Любая из этих точек может служить для определения коэффициента трения. Однако экспериментально определить положение максимума затруднительно.

Часть 2. Экспериментальная.

Результаты измерений границ сил представлены в таблице 1. Для экономии места в ней же приведены и результаты необходимых расчетов.

Таблица 1. Результаты измерений и расчетов.

$h$ , см (измерения)	$F_{(+)}$ , Н (измерения)	$F_{(-)}$ , Н (измерения)	$\alpha$ (теоретические расчеты)	$F_{(+)}$ , Н (теоретические расчеты)	$F_{(-)}$ , Н (теоретические расчеты)	$\sin\alpha$ (линеаризация)	$F_{(+)}+F_{(-)}$ (линеаризация)	$\cos\alpha$ (линеаризация)	$F_{(+)}-F_{(-)}$ (линеаризация)
0	1,30	-1,30	0,000	1,302	-1,302	0,00	0,00	1,00	2,60
3	1,50	-0,90	0,060	1,552	-1,048	0,06	0,60	1,00	2,40
5	1,60	-0,80	0,100	1,715	-0,875	0,10	0,80	0,99	2,40
7	1,70	-0,60	0,140	1,877	-0,701	0,14	1,10	0,99	2,30
9	1,90	-0,40	0,181	2,037	-0,525	0,18	1,50	0,98	2,30
11	2,10	-0,30	0,222	2,194	-0,346	0,22	1,80	0,98	2,40
13	2,20	-0,15	0,263	2,349	-0,165	0,26	2,05	0,97	2,35
14	2,30	-0,05	0,284	2,426	-0,074	0,28	2,25	0,96	2,35
15	2,40	0,00	0,305	2,502	0,018	0,30	2,40	0,95	2,40
17	2,60	0,20	0,347	2,652	0,204	0,34	2,80	0,94	2,40
19	2,70	0,40	0,390	2,800	0,392	0,38	3,10	0,92	2,30
21	2,80	0,55	0,433	2,946	0,582	0,42	3,35	0,91	2,25
23	3,00	0,80	0,478	3,088	0,776	0,46	3,80	0,89	2,20
25	3,10	1,00	0,524	3,228	0,972	0,50	4,10	0,87	2,10
27	3,30	1,20	0,570	3,364	1,172	0,54	4,50	0,84	2,10
29	3,40	1,40	0,619	3,497	1,375	0,58	4,80	0,81	2,00
31	3,50	1,70	0,669	3,626	1,582	0,62	5,20	0,78	1,80
33	3,60	1,90	0,721	3,750	1,794	0,66	5,50	0,75	1,70
35	3,70	2,10	0,775	3,870	2,010	0,70	5,80	0,71	1,60
37	3,80	2,30	0,833	3,984	2,232	0,74	6,10	0,67	1,50
39	4,00	2,60	0,895	4,091	2,461	0,78	6,60	0,63	1,40
41	4,20	2,80	0,961	4,189	2,699	0,82	7,00	0,57	1,40
43	4,40	3,20	1,035	4,276	2,948	0,86	7,60	0,51	1,20
45	4,50	3,40	1,120	4,348	3,212	0,90	7,90	0,44	1,10
47	4,50	3,60	1,223	4,392	3,504	0,94	8,10	0,34	0,90
48	4,60	4,00	1,287	4,397	3,667	0,96	8,60	0,28	0,60
49	4,40	4,10	1,370	4,375	3,857	0,98	8,50	0,20	0,30
50	4,20	4,20	1,571	4,200	4,200	1,00	8,40	0,00	0,00

Для измерения сил, больших, чем 4 Н, можно воспользоваться следующей методикой: протянуть нить сквозь книгу, так, чтобы ее концы были параллельны друг другу. Один конец нити тянуть непосредственно рукой, а второй с помощью динамометра. Тогда суммарная сила, действующая на книгу, будет в два раза больше показаний динамометра.

Графики полученных зависимостей показаны на рисунке.

График 1. Результаты измерений и теоретических расчетов F+ и F− от высоты h.

Для построения теоретических зависимостей, описываемых формулой (3), необходимо определить (хотя бы приблизительно) коэффициент трения. Воспользуемся для этого двумя характерными точками.

Измеренное значение силы трения при движении по горизонтальной поверхности равно $F_0=(1{,}3\pm0{,}1)\text{Н}$ ;

а значение силы тяжести $F_{50}=(4{,}2\pm0{,}2)\text{Н}$ .

Здесь погрешность, как минимум в два раза выше, потому, что второй конец нити удерживается рукой.

По этим значениям сил рассчитаем коэффициент трения

\widetilde\mu_1=\frac{F_0}{F_{50}}=\frac{1{,}3}{4{,}2}\approx0{,}31,\qquad (7)

с погрешностью

\Delta\mu=\widetilde\mu_1\sqrt{\left(\frac{\Delta F_0}{F_0}\right)^2+\left(\frac{\Delta F_{50}}{F_{50}}\right)^2}\approx0{,}09.\qquad (8)

Оценка погрешности по упрощенной формуле

\Delta\mu=\widetilde\mu_1\left(\frac{\Delta F_0}{F_0}+\frac{\Delta F_{50}}{F_{50}}\right)\approx0{,}12.\qquad (9)

Относительная погрешность измерения коэффициента трения таким способом равна $\varepsilon_\mu=40\%$ .

Определение коэффициента трения по углу наклона плоскости, при котором начинается скольжение (по нашим измерениям он соответствует высоте подъема $h=(15\pm2)\text{см}$ ), приводит к такому же результату:

\widetilde\mu_2=\operatorname{arctg}\frac{h}{\sqrt{L^2-h^2}}\approx0{,}31,\qquad (10)

но с меньшей погрешностью

\Delta\mu\approx\widetilde\mu_2\frac{\Delta h}{h}=0{,}04.\qquad (11)

При этом методе относительная погрешность измерения равна $\varepsilon_\mu=13\%$ .

Таким образом, для теоретических расчетов можно значение коэффициента трения принять равным $\mu\approx0{,}31$ .

Часть 3. Экспериментально-теоретическая.

Расчеты удобно проводить по формуле (3), в которой $\varphi=\arcsin\frac hL\approx0{,}305$ . Результаты расчетов также отражены на графике 1. Максимальное различие между результатами измерений и расчетов не превышает 10%.

3.2 Наиболее простая линеаризация зависимостей непосредственно следует из формулы (2). Можно выразить сумму и разность верхней и нижней границ измеренных сил

\begin{aligned}S&=F_{(+)}+F_{(-)}=2mg\sin\alpha,\\R&=F_{(+)}-F_{(-)}=2\mu mg\cos\alpha.\end{aligned}\qquad (22)

Эти величины линейно зависят от синуса и косинуса угла наклона, которые не сложно рассчитать по высоте подъема доски. Тогда отношение коэффициентов пропорциональности в этих зависимостях и будет равно коэффициенту трения.

Результаты расчетов также приведены в Таблице 1. Графики линеаризованных зависимостей показаны на рисунке 2.

График 3. S и R от sin(alpha), cos(alpha); все точки и линейные участки.

Каждая из этих зависимостей имеет четко выраженный прямолинейный участок. Отклонения от линейности наблюдаются только при больших углах, где погрешности измерений особенно велики.

Расчет параметров линейных зависимостей предпочтительнее провести по методу наименьших квадратов. Для суммы параметры линейной зависимости $S=a_S\sin\alpha+b_S$ равны (не смотря на то, что размерности в данном случае не существенны, назовем — ньютоны)

\begin{aligned}a_S&=8{,}36\pm0{,}12,\\b_S&=-0{,}04\pm0{,}05.\end{aligned}\qquad (23)

Параметр сдвига $b_S$ может считаться равным нулю, поэтому подтверждается теоретическая прямо пропорциональная зависимость.

Для разности сил аналогичные параметры зависимости $R=a_R\cos\alpha+b_R$ имеют следующие значения

\begin{aligned}a_R&=2{,}54\pm0{,}12,\\b_R&=-0{,}09\pm0{,}09.\end{aligned}\qquad (24)

Значение параметра сдвига и его погрешность также позволяют считать данную зависимость прямо пропорциональной.

Значение коэффициента трения, рассчитанное по найденным коэффициентам наклона, равно

\widetilde\mu_3=\frac{a_R}{a_S}=0{,}304.\qquad (25)

Его погрешность

\Delta\mu=\widetilde\mu_3\sqrt{\left(\frac{\Delta a_R}{a_R}\right)^2+\left(\frac{\Delta a_S}{a_S}\right)^2}\approx0{,}015.\qquad (26)

Таким образом, более тщательная обработка с учетом всех полученных данных позволила повысить точность определения коэффициента трения почти в три раза. Окончательное значение измеренного коэффициента трения равно

\mu=0{,}304\pm0{,}015.\qquad (27)

Здесь относительная погрешность определения коэффициента трения составляет $\varepsilon_\mu=5\%$ .

Рассмотрим, наконец, еще один эффективный способ линеаризации. Для этого разделим две функции (22) друг на друга

\frac RS=\mu\operatorname{ctg}\alpha.\qquad (28)

Построенный график зависимости «отношения разности к сумме» от котангенса угла наклона показан на следующем рисунке.

График4: R/S от ctg(alpha), последняя линеаризация.

Коэффициент наклона этого графика непосредственно равен коэффициенту трения. Расчет по методу наименьших квадратов дает следующее значение

\mu=0{,}301\pm0{,}005.

Причем относительная погрешность составляет $\varepsilon_\mu=2\%$ .

Отметим, что в данном случае параметр сдвига равен $b=-0{,}009\pm0{,}016$ , поэтому его достоверно можно считать равным нулю.

В заключение подчеркнем, что повышение точности связано с увеличением числа результатов измерений, которые принимаются во внимание.

Впрочем, сам коэффициент трения изменяется от точки к точке в большем диапазоне.

Происхождение архивного ключа

Архивный PDF содержит совпадающие задачи и их решения. Отдельное подтверждение официального статуса ключа организаторами не напечатано; решения атрибутированы архивному источнику.

Примечание читателя: ссылка на теоретический тур

Условие сохраняет ссылку на вторую задачу теоретического тура, часть 3. В архивной папке есть отдельные теоретические условия и ключ; они не подставлены в данный экспериментальный тур. Все 13 страниц экспериментальных условий и все 30 страниц совпадающего экспериментального ключа прочитаны. Дополнительные экспериментальные формы или схемы в папке не перечислены.

Примечание читателя: 9 класс · Задание 9.1 Скатывание по склону.

• В условии h=15см, в ключе пример h=130мм.

• Ключ ссылается на таблицы2–3, но обе таблицы на странице4 подписаны «Таблица2».

• График5 перекрывает график4 в оригинале; закрытые данные не дорисованы.

• В ключе b=-0,64м·с^-2, хотя график и таблицы используют мм/с²; единица сохранена буквально.

Примечание читателя: 9 класс · Задание 9.1 Электронные весы.

• Второе отличное задание9класса также напечатано9.1, в условии и ключе; не перенумеровано молча.

• В формулах1–2 и рисунке напечатано L−l1/2; значение массы линейки в формуле3 названо m1. Сохранено буквально, исправление на L/2−l1 или m0 не подставлено.

• Номер формулы7 использован дважды.

• В ключе m0≈40мВ, тогда как условие определяет m0 как численную массу тары в граммах; единица оригинала сохранена.

• Ключ объясняет настройку, но не приводит измеренных напряжений для обеих гирь из запроса3.3; значения не выдуманы.

• В таблицах1–2 номера колонок1–9/1–11 добавлены только как технические заголовки цифровых рядов; исходные данные сохранены.

Примечание читателя: 10 класс · Задание 10.1 Удержание, или как быть точнее!

• В формуле10 ключа коэффициент трения записан как arctg(h/sqrt(L²−h²)); не заменён на отношение безarctg.

• Напечатанные приближенные погрешности0,09/0,12 и40% сохранены, арифметическая поправка не внедрена.

• В начале части3 ключа phi=arcsin(h/L)≈0,305; h относится к ранее приведенному порогу15см, но это не уточнено в оригинальной строке.

• Нумерация формул перескакивает11→22; обе разные диаграммы подписаны график1, а текст упоминает рисунок2 перед графиком3. Все исходные подписи сохранены.

Примечание читателя: 10 класс · Задание 10-2 Закон Ома для … жидкости.

• Условие и ключ меняют абсолютное давление P и водяной напор p; исходные обозначения и множители rho*g сохранены, нормировка единиц не исправлена молча.

• В вертикальном ключе при R2=16R1 напечатано14/17, хотя предшествующая дробь (R2−R1)/(R2+R1) даёт15/17; сохранены текст и исходный график.

• Нумерация ключа5→16 и20→22; номер17 повторён.

• Таблица3 исследованияh2 имеет заголовокh1; сохранён буквально.

• Формула27 заканчивается знаменателемR2, тогда как предыдущие переходы и формула24 содержат2R2; коэффициент2 не добавлен молча.

• Таблица2 приh1=450,h2=315даётQ0,438, а опыт2.1 при техже высотахQ0,383; оба исходных значения сохранены.

• В ключе отсутствует отдельный опыт2.4 с неизменной суммой высот; итоговый эмпирический график и вся доступная формула сохранены, данные/ответ не выдуманы.

Примечание читателя: 11 класс · Задача 11-1 Что больше и кто быстрее?

• Часть2условия — единый ненумерованный запрос электронного секундомера; сохранена целиком, не раздроблена.

• В исходных формулах метки Ом/с/Д местами уже испорчены как Îì/ñ/Ä. MuPDF и старый Poppler показывают теже испорченныебуквы; это дефект оригинала, а не потеряSymbol. Литералы и точные исходныеформулы сохранены. Остальные корректные заголовки таблиц Ом/Д не изменены.

• Фраза «десятки тысяч» сохранена буквально, хотя крайние табличные прямые сопротивления20 и100000дают другой коэффициент.

• Число0,1170в конечной формуле сохранено буквально, расчёт не исправлен молча.

• Временно введенные технические заголовки колонок не являются дополнительными экспериментальными измерениями.

Примечание читателя: 11 класс · Задание 11-2. Градуировка фотометра и изучение отражения света.

• Оцениваемый вопрос0 сохранён отдельным родным подпунктом; портрет необходимый исходный рисунок.

• Название части2 повторяет «расходящийся пучок», хотя текст использует нейтральные фильтры; сохранено.

• В части4 условия буквально повторены вопросы от стеклянной пластинки, хотя заголовок/вводный абзац говорят два зеркала; сохранено.

• Ключ называет gamma поглощением, использует I=I0gamma^n, затем минус nln(gamma), и получает tau0.42 после gamma0.58. Напечатанные определения, знак, формулы, данные и итог сохранены без подмены.

• Ключ part4 ссылается на Table4, но напечатана Table5; при30° текст70–80%, а таблица0.89/0.41; обе версии сохранены.

Оригинал в Архива: 2012_experimental_problems.pdf · решение от архива: 2012_experimental_solutions.pdf