Съдържание

Условие Часть 1. Механическая Часть 2. Оптическая Часть 3. Электрическая.Решение

BelPhO 2012, Заключителен етап — Задача 9-1. «Отражение»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2012

Белорусская республиканская олимпиада по физике 2012 — IV этап, теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

9whole assignments across9/10/11cohorts,63top-level and64terminal native requests. Complete available archive keys, figures, native English excerpts, photographs, article credit, response grids/maps and all63actual crops covering64native graphic scopes retained. Literal source numerical/sign/label discrepancies and distorted native equation blocks preserved with separately attributed notes. Crystal-energy answer for question3.3 absent; last key3.3 answersquestion3.4 and solution remains explicitly incomplete without invention.

Условие

Задача состоит из трех, не связанным между собой частей.

Все графики приведены также на отдельном бланке, на котором вы должны выполнить построения. Формулы и пояснения к этим построениям приводите в своей тетради.

Отдельный бланк: три исходных графика для построений, включая электрическую шкалу 0,6 А

Часть 1. Механическая

1.1 Небольшой шарик массы $m$ может двигаться по горизонтальной поверхности. При движении на шарик действует тормозящая сила, пропорциональная его скорости $\vec F=-\beta\vec V$ , где $\beta$ — известный коэффициент. Шарик находится на расстоянии $a$ от вертикальной стенки и ему сообщают начальную горизонтально направленную скорость $\vec V_0$ . Найдите функции и постройте их графики зависимости модуля скорости шарика от его координаты $x$ (ось $Ox$ направлена горизонтально, начало отсчета совпадает со стенкой), если

а) вектор начальной скорости направлен от стенки;

б) вектор начальной скорости направлен к стенке.

Известно, что $mV_0/\beta=5a$ . Удар шарика о стенку считайте абсолютно упругим.

Два направления начальной скорости шарика у стенки

1.2 Рассмотрим теперь движение шарика, если на него действует тормозящая сила, модуль которой пропорционален квадрату скорости шарика. Если начальная скорость шарика направлена от стенки, то зависимость модуля скорости шарика от его координаты имеет вид, показанный на рисунке. Постройте график зависимости модуля скорости шарика от его координаты, если начальная скорость шарика направлена к стенке.

Исходный график модуля скорости при квадратичном сопротивлении

Часть 2. Оптическая

Точечный источник света $S$ находится на расстоянии $a$ от плоского зеркала.

Точечный источник S и фотоприемник ФП перед зеркалом

2.1 Постройте ход различных лучей от источника, укажите, где находится его изображение.

2.2 Для измерения интенсивности света используется фотоприемник ФП расположенный на оси $Ox$ . Эта ось проходит через источник и перпендикулярна зеркалу, начало отсчета расположено на зеркале. Если закрыть зеркало, то зависимость интенсивности света от координаты фотоприемника имеет вид, показанный на рисунке. Постройте график зависимости интенсивности света, регистрируемой фотоприемников от его координаты, если зеркало открыто.

Вам нет необходимости знать точное определение интенсивности. Достаточно догадаться, что она пропорциональная световой энергии, попадающей на фотоприемник в единицу времени. Источник считайте настолько малым, что он не препятствует прохождению отраженных лучей. Поглощением света (как в воздухе, так и при отражении) можно пренебречь.

Исходный график интенсивности при закрытом зеркале

Часть 3. Электрическая.

Очень длинный прямой кабель $AB$ находится в слабопроводящей среде. К кабелю подключен провод $DC$ , по которому в кабель поступает электрический ток силой $I_0=1{,}0\,\text{А}$ . Из-за утечки тока в окружающую среду сила тока в кабеле по мере удаления от точки $C$ убывает.

Полная исходная колонка кабеля и графика силы тока; печатные изображения перекрываются

На рисунке приведен график зависимости силы тока в кабеле от координаты $x$ (ось $Ox$ параллельна кабелю, начало отсчета расположено в точке контакта $C$ ).

На расстоянии $a=1{,}0\,\text{м}$ от точки $C$ происходит обрыв кабеля. Торец кабеля в месте обрыва изолируют (боковая поверхность кабеля при этом не изменилась).

Постройте график зависимости силы тока в кабеле от координаты $x$ после обрыва кабеля. Ток в проводе $DC$ после обрыва не изменился.

Решение

Часть 1. Механическая

Найдем зависимость скорости шарика от его координаты. Запишем уравнение второго закона Ньютона для движущегося шарика

ma=-\beta V,\qquad (1)

и подставим в него выражения для мгновенных скорости и ускорения

m\frac{\Delta V}{\Delta t}=-\beta\frac{\Delta x}{\Delta t}.\qquad (2)

После сокращения на $\Delta t$ получим

m\Delta V=-\beta\Delta x.\qquad (3)

Данное выражение справедливо не только для малых промежутков времени, но и для любых конечных интервалов (что доказывается простым суммированием по малым промежуткам), поэтому

V-V_0=-\frac\beta m(x-x_0)\quad\Rightarrow\quad V=V_0-\frac\beta m(x-x_0).\qquad (4)

Таким образом, скорость линейно убывает с ростом пройденного пути. Очевидно, что формула (4) справедлива только для положительных значений модуля скорости. Подставим значение $\beta=mV_0/(5a)$ и получим окончательный вид:

V=V_0-\frac{V_0}{5a}(x-x_0).\qquad (5)

При движении шарика от стенки, формула (5) определяет искомую функцию в виде

V=V_0-\frac{V_0}{5a}(x-a),\qquad a<x<6a.\qquad (6)

Для построения графика удобно эту функцию представить в относительных единицах

\frac V{V_0}=1-\frac15\left(\frac xa-1\right),\qquad 1<\frac xa<6.\qquad (7)

График этой функции представляет отрезок прямой $AB$ .

Прямые AB, AC, CD и зеркальная исходная точка A′

В том случае, когда начальная скорость шарика направлена к стенке, то до удара зависимость скорости от координаты определяется выражением

\frac V{V_0}=1+\frac15\left(\frac xa-1\right),\qquad 0<\frac xa<1.\qquad (8)

Этот участок на графике изображается отрезком $AC$ . После отражения от стенки направление вектора скорости изменится на противоположное, поэтому вид функции изменится (отрезок $CD$ на графике):

\frac V{V_0}=\frac45-\frac x{5a},\qquad 0<\frac xa<4.\qquad (9)

График зависимости скорости шарика от координаты при отражении от стенки можно также получить «отражением» графика движения в положительном направлении. Можно также «отразить» начальную точку $A$ (ее «изображение» — $A'$ ) и провести от нее исходный график — отрезок $A'CD$ .

1.2 Для построения требуемого графика проще воспользоваться методом «отражения». До удара о стенку график зависимости является отражением исходного графика относительно прямой $x=a$ (участок $AB$ ), а после удара — графиком исходной зависимости, сдвинутым влево на величину $2a$ . Можно также отразить начальную точку $A\to A'$ .

Построение отраженного графика при квадратичном сопротивлении

Часть 2. Оптическая

2.1 Построение хода лучей при отражении в плоском зеркале хорошо известно и комментариев не требует. Изображение будет находится «зеркально симметрично» на расстоянии $a$ за зеркалом.

Ход отраженных лучей и мнимый источник за зеркалом

2.2 Фотоприемник будет воспринимать свет, исходящий как непосредственно от источника, так и отраженный от зеркала. Если зависимость интенсивности света от расстояния до источника $r$ имеет вид $I_0(r)$ , то при наличии зеркала суммарная интенсивность описывается функцией

I(x)=I_0(x-a)+I_0(x+a).\qquad (10)

Или, аналогично, если исходная функция зависимости от координаты имеет вид $I_1(x)$ (представленный графически), то требуемая функция описывается выражением

I(x)=I_1(x)+I_1(x+2a).\qquad (11)

Иными словами: необходимо сместить исходный график $AB$ на $2a$ влево (кривая $A'B'$ ) и сложить их в области перекрытия (результат — кривая $CD$ ).

Исходная, сдвинутая и суммарная интенсивности

Часть 3. Электрическая.

Обрыв кабеля приводит к тому, что ток перестает течь через место обрыва.

Этому же условию можно удовлетворить, если симметрично относительно места обрыва расположить еще один такой же источник тока, тогда суммарная сила тока в месте обрыва будет равна нулю. Для построения графика зависимости силы тока от координаты необходимо исходный график $ABC$ сместить влево на $2a$ ( $A'B'C'$ ). Затем в области между источником и точкой обрыва вычесть токи, так как здесь они текут в противоположных направлениях ( $ED$ ), а вне этой области их сложить ( $FG$ ). Результат такого построения показан на рисунке.

Кабель с симметричным дополнительным источником

Построение результирующего тока после обрыва

Reader note: complete obtainable source and archive authority

Nine whole tasks belong to grades9,10,11, three in each cohort. The native63top-level requests include connected1.4withtwolettered children:64terminal requests inall. The55native-page pair is event-branded and retained by the archive; an independent organizer publication URL was not established, so every solution is attributed to the archive. The exact archive folder contains only this theoretical pair and the distinct experimental pair. All printed response graphs/maps are included in the question PDF; no further theory response, equipment, grading or companion file is listed. Native source ordering, printed whole task and section boundaries are preserved.

Reader note: native source caveat for 9.1. «Отражение»

Electrical question graph peak is0.5A onQ2 and archiveK4, but its blank answer form onQ3 prints0.6A. Preserve both native graph/form values.

Reader note: native source caveat for 9-3. Праща.

Native title Праща differs from catalogue Праца. K10 eq9 is severely horizontally compressed with vertically stretched glyphs in both MuPDF and Poppler; surrounding Symbol alpha/omega recover in MuPDF. Preserve native eq9 crop, do not invent its missing glyphs. Key cross-references and numerical mu0.40 versus preceding0.42 remain literal.

Reader note: native source caveat for 10.1. ЦУП

Preserve native period parenthesis, printed omega subscript2 ineq6 (personally reopened and resolved), π factor ineq15 versus540-degree result, native figure captions and both repeated blank response maps.

Reader note: native source caveat for 10.2. Электронный газ и неоднородный проводник

Preserve K17 drift substitution denominator1, K18 first numeric equality with ambiguous printed I/l shape (retained as an exact native crop), E2 numeric expression and label3.4 versus question3.3, beta=30 resistivity definition without correction.

Reader note: native source caveat for 10.3. Опыты Жана Перрена.

All Perrin book images, original English excerpts, photograph and apparatus remain source crops. Question viscosity1.005e-6 Pa·s, repeated rho0, q1.4 reference1.2, key terminal-speed factor9 and literal numerical substitutions/duplicate1.3 are retained. Full exact exponential time alternative retained.

Reader note: native source caveat for 11.1. Притяжение

Preserve all center-of-mass and differential-equation alternatives, stretched nativeeq3, native scaled equations and Coulomb c coefficient; do not silently correct factors.

Reader note: native source caveat for 11.2. Система автоматического наведения

Preserve native lens diagrams and detector graphic, mistaken mirror wording,eq15 tag and references16/17, and full control algorithm.

Reader note: native source caveat for 11-3. Эффект Мёссбауэра и эффект Доплера.

Question1.4 remains one connected request with native a/b children; question top-level requests13, terminal leafrequests14. Native μ parameter wording versus epsilon0, incomplete1.8 sentence, isotope/footnotes and original article graphs/captions remain literal. Key32 eq26 badly compressed: retain original crop. Key1.7 prints3.6e-6 despite epsilon0=7.2e-7 and preceding minus sign; last native3.3 gives lifetime requested byq3.4 and does not explicitly answer crystal epsilon0 inq3.3, so mark available solution incomplete at that boundary.

Reader note: incomplete crystal-energy answer

The archive key does not explicitly answer the crystal epsilon0 requested in question3.3. Its last heading3.3 gives the lifetime requested by question3.4 instead. Every available answer is retained under its literal printed heading; the solution is explicitly incomplete at the absent crystal-energy answer, without invented text.

Reader note: native overlapping cable and current graph

The original PDF places the cable bitmap at y291.3–432.6pt and the current graph at y417.8–602.7pt, so their boundaries overlap. The later graph white background intrinsically covers the lower a/I(x) glyphs even on the native full page. One complete original-column crop faithfully retains both scientific graphics and this original overlap; no missing label is reconstructed. The native drift illustration K16 includes an isolated dash and extra Delta t outside the cylinder; these intrinsic source artifacts remain literal. Both full originals remain available.

Оригинал в Архива: 2012_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2012_theoretical_solutions.pdf