Съдържание

Условие Часть 1. Вспомним закон Гука.Часть 2. Вспомним закон Архимеда.Часть 3. Гук против Архимеда.Решение

BelPhO 2013, Областен етап, 9,10,11 — Задача 9-3. 9 класс — 3. Гук против Архимеда!

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2013

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 18 страниц условий и 23 страницы решений. Сохранены девять самостоятельных целых задач: по три для 9, 10 и 11 класса. 72 основные номерные группы (3+9+6+3+9+8+3+16+15) переданы с каждым внутренним запросом; каталожное число69 не определяет новое разбиение. Три задачи «Подобие и размерность» содержат разные задания для разных классов. Обложка и три страницы общих инструкций учтены полностью; декоративные рисунки сохранены в оригинальномPDF.

Время выполнения, баллы и численные таблицы оценивания не напечатаны. Полные аналитические решения, обе таблицы и точный математический метод ракеты, альтернативное доказательство поля по теореме Гаусса, кинематическое доказательство Кориолиса, маятник Фуко и все сноски сохранены. Отдельные бланки ответов или таблицы констант в полученном комплекте не обещаны. Ключ ракеты не печатает отдельно требуемую формулу $a/g(\eta)$ и расчет30с; ключ Кориолиса не печатает отдельно численную частоту вращения Земли. Эти пробелы не дополнены авторским решением.

Сохранены печатные несогласованности: дата утверждения декабрь2012; в Гук–Архимед «относительная» глубина $\eta_2l$ и ссылка3в вместо2в; смена $u/v$ и номеров формул в ракете; последний множитель1,3 вместо1,2 в (9) машины, повтор (13); $\tilde x=x/a$ , пропущенный квадрат периода в прозе закона Кеплера, $ma=-k\sqrt{x}+g$ без множителя $m$ ; положительный итог (3) электрического поля при последующем описании отрицательного знака и несогласованные промежуточные множители в (6); $F_Y=qBV_y$ и $a_y$ с $V_y$ в (23), квадратный корень в периоде вращения (24); высота пробирки0,50см в условии против подстановки0,50м в ключе, знак $l_1+\delta l_1$ при описании подъема, повтор (16)/(17). Все исходные ответы и научный текст переданы буквально.

Оригинальная обложка

А.И.Слободянюк,А.А.Мищук,В.И.Анцулевич,Л.Г.Маркович. Республиканская физическая олимпиада (IIIэтап),2013год. Теоретическийтур.

Оригинальные утверждение и инструкции

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. ____________________ В.А. Будкевич. «__» декабря 2012 г.

Республиканская физическая олимпиада 2013 год. (III этап). Теоретический тур. В оригинале три отдельные страницы инструкций:9класс (стр.2),10класс (стр.6),11класс (стр.11).

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!

Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Успехов Вам на олимпиаде! Ждем Вас в Витебске на Заключительном туре!

Условие

Часть 1. Вспомним закон Гука.

Пусть длина нерастянутой пружины равна $l$ . Если пружину растянуть на некоторую величину $\Delta l$ , то в пружине возникнет сила упругости, модуль которой равен

F_{\text{упр.}}=k\Delta l=kl\eta,

где $k$ — жесткость пружины. Величина $\eta=\Delta l/l$ называется относительной деформацией пружины.

Полная исходная/растянутая пружина:l,l+Delta l,Fупр,все крепления и стрелки.

Для изучения сил упругости используется массивный цилиндр и две пружины, длины которых в недеформированном состоянии одинаковы. Если цилиндр подвесить на первой пружине, то ее относительная деформация будет равна $\eta_1$ , если этот же цилиндр подвесить на второй пружине, то ее относительная деформация будет равна $\eta_2$ (рис. 1а).

Полные панели1а/1б/1в:отдельные,последовательные,параллельные пружины,все длины/вопросы/рамки.

1.1 Чему будет равна относительная деформация пружины, составленной из двух исходных пружин соединенных последовательно (рис. 1б)?

1.2 Чему будет равна относительная деформация пружин, если цилиндр подвесить на двух пружинах, соединенных параллельно (рис. 1в)?

Часть 2. Вспомним закон Архимеда.

На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости:

F_{\text{Арх.}}=\rho_0gV_1,

где $\rho_0$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения, $V_1$ — объем погруженной части тела.

Для изучения закона Архимеда используются два закрытых тонкостенных цилиндрических сосуда, размеры которых одинаковы. Высоты сосудов обозначены $l$ . В нижней части сосудов расположены массивные тела, так, что при погружении сосудов в воду, они могут плавать в ней вертикально.

Оба исходных закрытых сосуда,балласт,l,поверхность/стрелка.

Если в воду опустить первый сосуд, то глубина его погружения будет равна $\eta_1l$ .

Величину $\eta$ (отношение объема погруженной части к полному объему сосуда) назовем относительным погружением.

Полное погружениеодного сосуда:балласт,вода,eta l,стрелка.

Если в воду опустить второй сосуд, то глубина его погружения будет равна $\eta_2l$ .

2.1 Чему будет равна относительная глубина погружения сосудов, если их связать «параллельно»?

Оба сосуда связанные параллельно,две связи,весь балласт.

2.2 Чему будет равна относительная глубина погружения, если сосуды соединить, поставив их один на один?

Часть 3. Гук против Архимеда.

Второй из сосудов, описанных в Части 2 (для которого относительная глубина погружения в воду равна $\eta_2l$ — рис. 2а) подвешивают на пружине, длина которой в недеформированном состоянии $l$ равна высоте сосуда. При этом растяжение пружины оказывается равным $\eta_1l$ . Верхний конец пружины закреплен в штативе, а дно сосуда почти касается поверхности стола (рис. 2б). Затем, не изменяя точки подвеса пружины, подвешенный сосуд опускают в большую кастрюлю с водой. Высота уровня воды в кастрюле также равна $l$ (и практически не изменяется при погружении сосуда — рис. 3в).

Полные три панели2а/2б/2в,все рамки,вода/пружина/балласт,l/eta2l/(1+eta1)l/eta l и вопрос.

3.1 Найдите относительное погружение $\eta$ сосуда в воду в этом случае.

3.2 Пусть $\eta_2=0{,}80$ . Рассчитайте относительное погружение $\eta$ при трех значениях 1) $\eta_1=0{,}30$ , 2) $\eta_1=0{,}20$ , 3) $\eta_1=0{,}10$ . Сравните полученные значения с величиной погружения без пружины $\eta_2$ . Кратко объясните полученные результаты.

Решение

Часть 1. Вспомним закон Гука.

Запишем условия равновесия груза на каждой пружине

\begin{aligned}k_1\eta_1l&=mg\\k_2\eta_2l&=mg.\end{aligned}\qquad (1)

1.1 Если пружины соединены последовательно, их силы упругости будут равны между собой и равны силе тяжести, действующей на груз. Следовательно, относительные удлинения пружин останутся теми же. Поэтому суммарное удлинение двойной пружины будет равно

\Delta l=\eta_1l+\eta_2l.\qquad (2)

Длина составной недеформированной пружины в нерастянутом состоянии равна $2l$ , следовательно, ее относительная деформация

\eta=\frac{\Delta l}{2l}=\frac{\eta_1+\eta_2}{2}.\qquad (3)

Полная последовательная система сил:F1/F2/mg,пружины/груз/подвес.

1.2 При параллельном соединении пружин их удлинения будут одинаковы, поэтому одинаковы и относительные деформации. Суммарная сила упругости пружин должна уравновешивать силу тяжести, поэтому условия равновесия груза, подвешенного на двух пружинах, имеет вид

k_1\eta l+k_2\eta l=mg.\qquad (4)

Выражая из формул (1) значения жесткостей пружин $k_1=mg/(\eta_1l)$ , $k_2=mg/(\eta_2l)$ и подставляя в выражение (4), получим

\frac{mg}{\eta_1l}\eta l+\frac{mg}{\eta_2l}\eta l=mg\quad\Rightarrow\quad\eta=\frac{\eta_1\eta_2}{\eta_1+\eta_2}.\qquad (5)

Отметим, что формуле (5) можно придать «красивый» вид

\frac1{\eta_1}+\frac1{\eta_2}=\frac1\eta.\qquad (6)

Полная параллельная система сил:F1/F2/mg,двепружины/груз/подвес.

Часть 2. Вспомним закон Архимеда.

Силу тяжести, действующей на каждый сосуд можно выразить из условия плавания каждого из сосудов

\begin{aligned}m_1g&=\rho gV\eta_1\\m_2g&=\rho gV\eta_2.\end{aligned}\qquad (1)

Если сосуды связаны, то условия равновесия при плавании имеет вид

(m_1+m_2)g=2\rho gV\eta,\qquad (2)

Где $\eta$ — доля объема погруженной части обоих сосудов. Из этих уравнений следует, что

\eta=\frac{\Delta l}{2l}=\frac{\eta_1+\eta_2}{2}.\qquad (3)

Заметим, что этот результат не зависит от того, как связаны сосуды (даже если они связаны перпендикулярно!). Так как сила Архимеда в любом случае должна удовлетворять соотношению (2)

Часть 3. Гук против Архимеда.

Полные триответные панели2а/2б/2в,l/eta2l/(1+eta1)l/eta l,все рамки/вода/балласт.

Сравним положения цилиндра в положениях 2б и 2в: цилиндр приподнялся на высоту $\Delta h=l-\eta l$ . При этом уменьшилась сила упругости пружины.

Понятно, что это уменьшение силы упругости скомпенсировано действием силы Архимеда. Эти рассуждения можно выразить уравнением

kl(1-\eta)=\rho gV\eta.\qquad (1)

Неизвестные параметры систему можно выразить из условия плавания (без пружины):

mg=\rho gV\eta_2\quad\Rightarrow\quad\rho gV=\frac{mg}{\eta_2},\qquad (2)

и условия равновесия на пружине (без воды):

mg=kl\eta_1\quad\Rightarrow\quad kl=\frac{mg}{\eta_1}.\qquad (3)

Подстановка этих выражений в уравнение (1) и его последующее решение приводит к требуемому результату:

\frac{mg}{\eta_1}(1-\eta)=\frac{mg}{\eta_2}\eta\quad\Rightarrow\quad\eta=\frac{\eta_2}{\eta_1+\eta_2}.\qquad (4)

3.2 Подстановка численных значений дает следующие величины относительного погружения.

$\eta_1=0{,}30$ : $\eta=\frac{\eta_2}{\eta_1+\eta_2}=\frac{0{,}80}{0{,}80+0{,}30}=0{,}73$ , что меньше погружения при отсутствии пружины. Следовательно, в новом положении равновесия пружина еще остается растянутой и приподнимает цилиндр.
$\eta_1=0{,}20$ : $\eta=\frac{\eta_2}{\eta_1+\eta_2}=\frac{0{,}80}{0{,}80+0{,}20}=0{,}80$ . В этом случае цилиндр плавает на той же глубине, что и без пружины. Не сложно показать, что в этом положении пружина не деформирована, поэтому не оказывает никакого воздействия на плавающий цилиндр.
$\eta_1=0{,}10$ : $\eta=\frac{\eta_2}{\eta_1+\eta_2}=\frac{0{,}80}{0{,}80+0{,}10}=0{,}89$ . Здесь пружина оказывается сжатой, поэтому дополнительно вталкивает цилиндр в воду.

Оригинальные заголовки ключа

Решения задач. 10класс начинается настр.5,11класс настр.14.

Оригинал в Архива: 3_etap_2013_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2013_theoretical_solutions.pdf