Съдържание

BelPhO 2013, Областен етап, 9,10,11 — Задача 10-1. 10 класс — 1. Подобие и размерность

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2013

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 18 страниц условий и 23 страницы решений. Сохранены девять самостоятельных целых задач: по три для 9, 10 и 11 класса. 72 основные номерные группы (3+9+6+3+9+8+3+16+15) переданы с каждым внутренним запросом; каталожное число69 не определяет новое разбиение. Три задачи «Подобие и размерность» содержат разные задания для разных классов. Обложка и три страницы общих инструкций учтены полностью; декоративные рисунки сохранены в оригинальномPDF.

Время выполнения, баллы и численные таблицы оценивания не напечатаны. Полные аналитические решения, обе таблицы и точный математический метод ракеты, альтернативное доказательство поля по теореме Гаусса, кинематическое доказательство Кориолиса, маятник Фуко и все сноски сохранены. Отдельные бланки ответов или таблицы констант в полученном комплекте не обещаны. Ключ ракеты не печатает отдельно требуемую формулу $a/g(\eta)$ и расчет30с; ключ Кориолиса не печатает отдельно численную частоту вращения Земли. Эти пробелы не дополнены авторским решением.

Сохранены печатные несогласованности: дата утверждения декабрь2012; в Гук–Архимед «относительная» глубина $\eta_2l$ и ссылка3в вместо2в; смена $u/v$ и номеров формул в ракете; последний множитель1,3 вместо1,2 в (9) машины, повтор (13); $\tilde x=x/a$ , пропущенный квадрат периода в прозе закона Кеплера, $ma=-k\sqrt{x}+g$ без множителя $m$ ; положительный итог (3) электрического поля при последующем описании отрицательного знака и несогласованные промежуточные множители в (6); $F_Y=qBV_y$ и $a_y$ с $V_y$ в (23), квадратный корень в периоде вращения (24); высота пробирки0,50см в условии против подстановки0,50м в ключе, знак $l_1+\delta l_1$ при описании подъема, повтор (16)/(17). Все исходные ответы и научный текст переданы буквально.

Оригинальная обложка

А.И.Слободянюк,А.А.Мищук,В.И.Анцулевич,Л.Г.Маркович. Республиканская физическая олимпиада (IIIэтап),2013год. Теоретическийтур.

Оригинальные утверждение и инструкции

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. ____________________ В.А. Будкевич. «__» декабря 2012 г.

Республиканская физическая олимпиада 2013 год. (III этап). Теоретический тур. В оригинале три отдельные страницы инструкций:9класс (стр.2),10класс (стр.6),11класс (стр.11).

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!

Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Успехов Вам на олимпиаде! Ждем Вас в Витебске на Заключительном туре!

Условие

В теории подобия для того, чтобы установить связь между “подобными” физическими явлениями, необходимо, для данного конкретного явления, найти безразмерную комбинацию определяющих его физических величин.

Пример.

На тело с массой $m_1$ действует сила $F_1$ в течение времени $t_1$ , что приводит к тому, что тело приобретает скорость $v_1$ . Комбинация $F_1t_1/(m_1v_1)$ является безразмерной величиной. Таким образом, можно сделать вывод, что явление, проходящее при других значениях величин $m_2,F_2,t_2,v_2$ , будет проходить аналогично первому, если найденные безразмерные комбинации будут равны: $F_1t_1/(m_1v_1)=F_2t_2/(m_2v_2)$ .

1 Капли двух различных жидкостей помещены на горизонтальную гладкую поверхность в поле силы тяжести. Определите, как должны быть связаны плотности, поверхностные натяжения и радиусы капель, чтобы их формы были геометрически подобными.

2 Оцените, как должны относиться радиусы и массы двух звезд, чтобы давление в их центрах были одинаковы.

3 Труба водослива расположена вертикально. Вода полностью заполняет всю трубу. Во сколько раз увеличится расход воды $(\text{кг/с})$ , если перепад высот увеличить в 2 раза.

Решение

Физические величины, которые определяют форму капли это: плотность воды, поверхностное натяжение, радиус капли и ускорение свободного падения. Основная задача, как следует из подсказки, найти безразмерную комбинацию этих величин. Приведем единицы измерения величин к основным единицам СИ.

[\rho]=\text{кг/м}^3,\quad[\sigma]=\text{Н/м}=\text{кг/с}^2,\quad[R]=\text{м},\quad[g]=\text{м/с}^2.

Очевидно, из этих величин можно составить единственную безразмерную комбинацию: $\rho R^2g/\sigma$ .

Таким образом, формы капель будут подобными, если: $\rho_1R_1^2/\sigma_1=\rho_2R_2^2/\sigma_2$ .

В данном явлении фигурируют следующие физические величины:

$[p]=\text{Па}=\text{кг/(с}^2\text{м)}$ — давление внутри звезды;
$[M]=\text{кг}$ — масса звезды;
$[R]=\text{м}$ — радиус;
$[G]=\text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2=\text{м}^3/(\text{с}^2\text{кг})$ — гравитационная постоянная, определяющая силу взаимодействия.

Найти безразмерную комбинацию в этом случае не очень просто. Поэтому предположим, что безразмерная комбинация имеет вид: $p^aM^bR^cG^d$ . И попытаемся определить такие значения $a,b,c,d$ , при которых это произведение будет безразмерной величиной. Подставляя единицы измерения, получим комбинацию:

\frac{\text{кг}^a}{\text{с}^{2a}\text{м}^a}\text{кг}^b\text{м}^c\frac{\text{м}^{3d}}{\text{с}^{2d}\text{кг}^d}.\qquad (1)

Рассматривая каждую единицу измерения по отдельности, получим:

\begin{cases}a+b-d=0\\-a+c+3d=0\\-2a-2d=0.\end{cases}\qquad (2)

Система, безусловно, имеет бесчисленное множество решений. Однако нам необходимо найти хотя бы одно. Для этого предположим, например, что $a=1$ . Тогда:

d=-1,\quad b=-2,\quad c=4.\qquad (3)

Т.е. искомая безразмерная комбинация имеет вид: $pR^4/(GM^2)$ .

Таким образом, между массами и радиусами звезд с одинаковым давлением внутри, должно выполняться соотношение:

\frac{R_1^2}{M_1}=\frac{R_2^2}{M_2}.\qquad (4)

При решении этой задачи мы пренебрегли действием светового излучения, давление которого может быть достаточно существенно.

Физические величины, определяющие явление:

$[\rho]=\text{кг/м}^3$ — плотность воды;
$[h]=\text{м}$ — высота водослива;
$[q]=\text{кг/с}$ — расход;
$[g]=\text{м/с}^2$ .

Проводя рассуждения аналогичные второй задаче, найдем безразмерную комбинацию: $q/(\rho g^{1/2}h^{5/2})$ .

Таким образом, можно сделать вывод, что расход пропорционален высоте в степени $5/2$ . И при увеличении перепада высот в 2 раза, расход увеличится в $\approx5{,}7$ раз.

Оригинальные заголовки ключа

Решения задач. 10класс начинается настр.5,11класс настр.14.

Оригинал в Архива: 3_etap_2013_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2013_theoretical_solutions.pdf