Съдържание

BelPhO 2013, Областен етап, 9,10,11 — Задача 10-2. 10 класс — 2. Полетели?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2013

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 18 страниц условий и 23 страницы решений. Сохранены девять самостоятельных целых задач: по три для 9, 10 и 11 класса. 72 основные номерные группы (3+9+6+3+9+8+3+16+15) переданы с каждым внутренним запросом; каталожное число69 не определяет новое разбиение. Три задачи «Подобие и размерность» содержат разные задания для разных классов. Обложка и три страницы общих инструкций учтены полностью; декоративные рисунки сохранены в оригинальномPDF.

Время выполнения, баллы и численные таблицы оценивания не напечатаны. Полные аналитические решения, обе таблицы и точный математический метод ракеты, альтернативное доказательство поля по теореме Гаусса, кинематическое доказательство Кориолиса, маятник Фуко и все сноски сохранены. Отдельные бланки ответов или таблицы констант в полученном комплекте не обещаны. Ключ ракеты не печатает отдельно требуемую формулу $a/g(\eta)$ и расчет30с; ключ Кориолиса не печатает отдельно численную частоту вращения Земли. Эти пробелы не дополнены авторским решением.

Сохранены печатные несогласованности: дата утверждения декабрь2012; в Гук–Архимед «относительная» глубина $\eta_2l$ и ссылка3в вместо2в; смена $u/v$ и номеров формул в ракете; последний множитель1,3 вместо1,2 в (9) машины, повтор (13); $\tilde x=x/a$ , пропущенный квадрат периода в прозе закона Кеплера, $ma=-k\sqrt{x}+g$ без множителя $m$ ; положительный итог (3) электрического поля при последующем описании отрицательного знака и несогласованные промежуточные множители в (6); $F_Y=qBV_y$ и $a_y$ с $V_y$ в (23), квадратный корень в периоде вращения (24); высота пробирки0,50см в условии против подстановки0,50м в ключе, знак $l_1+\delta l_1$ при описании подъема, повтор (16)/(17). Все исходные ответы и научный текст переданы буквально.

Оригинальная обложка

А.И.Слободянюк,А.А.Мищук,В.И.Анцулевич,Л.Г.Маркович. Республиканская физическая олимпиада (IIIэтап),2013год. Теоретическийтур.

Оригинальные утверждение и инструкции

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. ____________________ В.А. Будкевич. «__» декабря 2012 г.

Республиканская физическая олимпиада 2013 год. (III этап). Теоретический тур. В оригинале три отдельные страницы инструкций:9класс (стр.2),10класс (стр.6),11класс (стр.11).

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!

Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Успехов Вам на олимпиаде! Ждем Вас в Витебске на Заключительном туре!

Условие

Одноступенчатая ракета, начальная масса которой $M=45\text{ т}$ , стартует и все время движется вертикально вверх.

В первый момент после запуска двигателя ускорение ракеты равно нулю, но ракета уже не взаимодействует с опорами стартового комплекса. В последующие моменты из-за уменьшения массы топлива она начинает разгоняться. Массовый расход $\mu=\Delta m/\Delta t$ топлива ракетного двигателя (масса топлива, сгорающего каждую секунду) остается постоянным на всей активной части траектории полета. Проекция скорости истечения продуктов сгорания из сопла двигателя ракеты на ось сопла $u=3000\text{ м/с}$ также не изменяется. Масса топлива в момент старта ракеты составляет $k=90\%$ массы ракеты.

Ускорение свободного падения считайте равным $g=10\text{ м/с}^2$ и не зависящим от высоты подъема, сопротивлением воздуха отсутствует, так как запуск производится на другой планете.

1.1 Чему равна сила тяги двигателя в момент старта ракеты?

1.2 Покажите, что реактивная сила тяги двигателя ракеты остается постоянной (т.е. не зависит от массы ракеты) и равна

F_0=\mu u.\qquad (1)

1.3 Чему равен расход топлива двигателя ракеты $\mu$ ?

1.4 Чему равна мощность двигателя в момент старта ракеты.

1.5 Определите зависимость ускорения ракеты от времени на активной части траектории полета. Найдите зависимость отношения модуля ускорения ракеты к ускорению свободного падения $a/g$ от отношения массы ракеты к ее стартовой массе $\eta=m/M$ для всего активного участка траектории.

1.6 Рассчитайте численные значения ускорения ракеты через равноотстоящие промежутки времени $\Delta t$ . В качестве $\Delta t$ возьмите интервал, в течение которого масса ракеты уменьшается на 10% от первоначальной массы. Чему равен этот интервал?

1.7 Ускорение ракеты постоянно изменяется, причем нелинейно. Однако, для приближенных расчетов, можно считать, что в течение малого промежутка времени $\Delta t$ ускорение ракеты изменяется по линейному закону. Постройте график зависимости скорости ракеты от времени, используя указанное приближение. В качестве интервала времени $\Delta t$ возьмите интервал, использованный в предыдущем пункте.

1.8 Используя аналогичное приближение, постройте график зависимости высоты подъема ракеты от времени на активном участке траектории $z(t)$ .

1.9 Какой максимальной высоты $z_{\max}$ достигнет ракета?

Решение

1.1 В момент старта сила тяги, очевидна равна силе тяжести

F_{\text{р}}=Mg.\qquad (1)

Численное значение $F_{\text{р}}=45\cdot10^3\cdot10=45\cdot10^4\text{ Н}=450\text{ кН}$ .

1.2 Проще всего доказать эту формула в системе отсчета связанной с ракетой в какой-то малый промежуток времени. В этой системе продукты сгорания получают импульс $\mu\Delta t\cdot u$ . Следовательно, и ракета получает такой же импульс (только в противоположном направлении). Разделив это выражение на малый промежуток времени $\Delta t$ получим требуемое выражение для силы тяги. Так как величина силы не зависит от выбора инерциальной системы отсчета, то это выражение справедливо для любого момента времени и любой скорости ракеты.

1.3 Так как в начальный момент времени сила тяги равна силе тяжести, то расход топлива можно найти из этого условия

\mu u=Mg\quad\Rightarrow\quad\mu=\frac{Mg}{u},\qquad\mu=150\text{ кг/с}.\qquad (2)

1.4 Мощность двигателя ракеты: $P=A/\Delta t$ , где $A$ — работа, совершенная силами давления продуктов сгорания в камере сгорания двигателя за промежуток времени $\Delta t$ . По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии продуктов сгорания и ракеты. В момент старта ракета покоилась, поэтому:

A=\frac{\Delta m u^2}{2}\quad\Rightarrow\quad P=\frac{\Delta m u^2}{2\Delta t}=\frac{\mu u^2}{2}=\frac{Mgu}{2}.\qquad (3)

P=\frac{45\cdot10^3\cdot10\cdot3000}{2}=675\text{ (МВт)}.

1.5 К моменту времени $t$ после старта масса ракеты уменьшилась и стала равна $M-\mu t$ . По второму закону Ньютона:

F_{\text{р}}-(M-\mu t)g=(M-\mu t)a.

Учитывая полученные ранее выражения для силы тяги и расхода топлива, получаем:

Mg-\left(M-\frac{Mg}{u}t\right)g=\left(M-\frac{Mg}{u}t\right)a\quad\Rightarrow

a=\frac{g^2t}{v-gt}.\qquad (4)

В таблице 1 приведены рассчитанные по формуле (8) значения $a(t)$ . На рисунке 2 приведен график зависимости $a(t)$ с линейной аппроксимацией между расчетными точками.

1.6 Время работы двигателя определяется скоростью расхода топлива:

t_m=\frac{kM}{\mu}=\frac{ku}{g};\qquad t_m=\frac{0{,}9\cdot3000}{10}=270\text{ (с)}.\qquad (9)

1.7 Скорость $u$ может быть получена как площадь фигуры, ограниченной осью времени и графиком $a(t)$ . Учитывая линейную зависимость $a(t)$ между точками $t_{n-1}$ и $t_n$ , получим для значений скорости:

u_n=u_{n-1}+\frac12(a_{n-1}+a_n)\Delta t.\qquad (10)

Полученные значения приведены в таблице 1. Максимальная скорость ракеты $u_{\max}=4400\text{ м/с}$ .

1.8 Высота, которой достигает ракета, рассчитывается аналогично, используя график зависимости $u(t)$ с линейной аппроксимацией между расчетными точками:

h_n=h_{n-1}+\frac12(u_{n-1}+u_n)\Delta t.\qquad (11)

Полученные значения приведены в таблице 1.

$t$ , с	30	60	90	120	150	180	210	240	270
$a$ , м/с²	1,1	2,5	4,3	6,7	10,0	15,0	23,3	40,0	90,0
$u$ , м/с	17	71	173	337	587	962	1537	2487	4437
$h$ , м	250	1563	5214	12857	26714	49946	87429	147786	251643

Весь исходный график ускорения ракеты:рамка/заголовок/оси/единицы,все0-270с/0-90мс^-2,точки/линейнаяинтерполяция.

Весь график скорости:рамка/заголовок/легенда,точное иинтерполированное решения,обеоси/вседеления.

Двигатель расходует весь запас топлива на высоте $H=250\text{ км}$ .

1.9 Максимальная высота подъема ракеты: $z_{\max}=H+u_{\max}^2/(2g)=1240\text{ км}$ .

Весь график высоты:полная рамка/заголовок/двойнаяшкала/1-10/легенда,точное иинтерполированное решения.

Задача допускает и точное решение, требующее знакомства с высшей математикой (не для участников)

Для скорости:

u(t)=\int_0^t a(t)\,dt\quad\Rightarrow\quad u(t)=\int_0^t\frac{g^2t}{v-gt}\,dt\quad\Rightarrow\quad u(t)=v\ln\left(\frac{v}{v-gt}\right)-gt.\qquad (12)

Для высоты:

h(t)=\int_0^t u(t)\,dt\quad\Rightarrow\quad h(t)=\int_0^t\left(v\ln\left(\frac{v}{v-gt}\right)-gt\right)dt\quad\Rightarrow\quad h(t)=vt+v\frac{v-gt}{g}\ln\left(\frac{v-gt}{v}\right)-\frac{gt^2}{2}.

Расчетные данные по формулам (12) и (13) приведены в таблице 2:

$t$ , с	0	30	60	90	120	150	180	210	240	270
$u$ , м/с	0	16	69	170	332	579	949	1512	2428	4208
$h$ , м	0	158	1337	4795	12154	25584	48135	84427	142301	238267

Различия незначительны!

Оригинальные заголовки ключа

Решения задач. 10класс начинается настр.5,11класс настр.14.

Оригинал в Архива: 3_etap_2013_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2013_theoretical_solutions.pdf