Съдържание

BelPhO 2013, Областен етап, 9,10,11 — Задача 11-1. 11 класс — 1. Подобие и размерность

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2013

III этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 18 страниц условий и 23 страницы решений. Сохранены девять самостоятельных целых задач: по три для 9, 10 и 11 класса. 72 основные номерные группы (3+9+6+3+9+8+3+16+15) переданы с каждым внутренним запросом; каталожное число69 не определяет новое разбиение. Три задачи «Подобие и размерность» содержат разные задания для разных классов. Обложка и три страницы общих инструкций учтены полностью; декоративные рисунки сохранены в оригинальномPDF.

Время выполнения, баллы и численные таблицы оценивания не напечатаны. Полные аналитические решения, обе таблицы и точный математический метод ракеты, альтернативное доказательство поля по теореме Гаусса, кинематическое доказательство Кориолиса, маятник Фуко и все сноски сохранены. Отдельные бланки ответов или таблицы констант в полученном комплекте не обещаны. Ключ ракеты не печатает отдельно требуемую формулу $a/g(\eta)$ и расчет30с; ключ Кориолиса не печатает отдельно численную частоту вращения Земли. Эти пробелы не дополнены авторским решением.

Сохранены печатные несогласованности: дата утверждения декабрь2012; в Гук–Архимед «относительная» глубина $\eta_2l$ и ссылка3в вместо2в; смена $u/v$ и номеров формул в ракете; последний множитель1,3 вместо1,2 в (9) машины, повтор (13); $\tilde x=x/a$ , пропущенный квадрат периода в прозе закона Кеплера, $ma=-k\sqrt{x}+g$ без множителя $m$ ; положительный итог (3) электрического поля при последующем описании отрицательного знака и несогласованные промежуточные множители в (6); $F_Y=qBV_y$ и $a_y$ с $V_y$ в (23), квадратный корень в периоде вращения (24); высота пробирки0,50см в условии против подстановки0,50м в ключе, знак $l_1+\delta l_1$ при описании подъема, повтор (16)/(17). Все исходные ответы и научный текст переданы буквально.

Оригинальная обложка

А.И.Слободянюк,А.А.Мищук,В.И.Анцулевич,Л.Г.Маркович. Республиканская физическая олимпиада (IIIэтап),2013год. Теоретическийтур.

Оригинальные утверждение и инструкции

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. ____________________ В.А. Будкевич. «__» декабря 2012 г.

Республиканская физическая олимпиада 2013 год. (III этап). Теоретический тур. В оригинале три отдельные страницы инструкций:9класс (стр.2),10класс (стр.6),11класс (стр.11).

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!

Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Успехов Вам на олимпиаде! Ждем Вас в Витебске на Заключительном туре!

Условие

Теория подобия позволяет на основе анализа уравнений движения устанавливать некоторые закономерности движения без непосредственного решения уравнений. Рассмотрим пример получения закона Кеплера:

Планета движется в поле тяжести звезды. Ускорение планеты:

\vec a=-\frac{GM\vec r}{r^3}.\qquad (1)

Изменим пространственный и временной масштаб в $\alpha$ и $\beta$ раз соответственно: $\tilde t=t/\beta$ и $\tilde x=x/a$ . (При этом $\alpha$ и $\beta$ имеют смысл новых единиц измерения расстояния и времени). В этой системе скорость будет отличаться в $\beta/\alpha$ раз ( $\tilde v=\Delta\tilde x/\Delta\tilde t=(\beta/\alpha)\Delta x/\Delta t=(\beta/\alpha)v$ ), а ускорение в $\beta^2/\alpha$ раз. Тогда уравнение движение в этой системе единиц ( $\vec{\tilde a}=-GM\vec{\tilde r}/\tilde r^3$ ), можно записать следующим образом:

\frac{\beta^2}{\alpha}\vec a=-\alpha^2\frac{GM\vec r}{r^3}.\qquad (2)

Чтобы решения уравнений (1) и (2) были одинаковыми (орбиты были подобными), необходимо равенство $\alpha^3=\beta^2$ . А значит, куб изменения пространственного масштаба должен быть равен квадрату временного.

Таким образом, можно сделать вывод, что при движении планет по подобным орбитам кубы характерных размеров орбит (больших полуосей) должны относиться как характерные времена движения по ним (периоды обращения).

Аналогичное доказательство можно провести, рассматривая уравнение закона сохранения энергии:

\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r}=E.

При изменении масштабов, получим:

\frac{\beta^2}{\alpha^2}\frac{mv^2}{2}-\alpha\frac{GMm}{r}=E,

или

\frac{\beta^2}{\alpha^2}\left(\frac{mv^2}{2}-\frac{\alpha^3}{\beta^2}\frac{GMm}{r}\right)=E,

т.е. при $\alpha^3=\beta^2$ уравнение будет иметь такой же вид, а значит, и аналогичное решение, т.е. движение будет подобным.

1 Шарик совершает колебания на резиновой веревке. Сила упругости, действующая на шарик, прямо пропорциональна квадратному корню от удлинения: $F_{\text{упр}}=k\sqrt{x}$ . Как зависит период таких колебаний от амплитуды?

2 Тело падает без начальной скорости в центральном поле сил притяжения, причем потенциальная энергия падающего тела изменяется по закону:

U=C\cdot r^n,

где $r$ — расстояние до цента действия силы, $C$ и $n$ — постоянные величины. Как зависит время падения тела в центр действия силы от начального расстояния?

3 В колебательном контуре конденсатор является нелинейным элементом (вместо диэлектрика, например, установлен полупроводник с $p-n$ переходом). При этом напряжение и заряд на конденсаторе связаны соотношением $U=Cq^2$ . Определите, как зависит период электромагнитных колебаний в такой системе от начального заряда на конденсаторе.

Решение

Запишем Второй закон Ньютона:

ma=-k\sqrt{x}+g.\qquad (1)

При изменении пространственного и временного масштабов, уравнение примет вид:

m\frac{\beta^2}{\alpha}a=-k\frac1{\sqrt\alpha}\sqrt{x}+\frac{\beta^2}{\alpha}g.\qquad (2)

Заметим, что коэффициент $\beta^2/\alpha$ должен также присутствовать при ускорении свободного падения. А можно было сразу отбросить слагаемое $g$ , т.к. известно, что наличие постоянной силы приводит только к смещению положения равновесия.

Уравнение (2) будет таким же, как и (1) при условии, что:

\beta^2=\sqrt\alpha.\qquad (3)

Т.е. период колебаний будет пропорционален корню четвертой степени от амплитуды:

T\sim\sqrt[4]{A}.\qquad (4)

Полная энергия падающего тела:

\frac{mv^2}{2}+C\cdot r^n=E.\qquad (5)

В новых единицах измерения:

\frac{\beta^2}{\alpha^2}\frac{mv^2}{2}+C\frac1{\alpha^n}r^n=E,\qquad (6)

или

\frac{\beta^2}{\alpha^2}\left(\frac{mv^2}{2}+C\frac{\alpha^{2-n}}{\beta^2}r^n\right)=E.\qquad (7)

Следовательно, одинаковость решений реализуется при:

\beta^2=\alpha^{2-n}.\qquad (8)

Время падения в силовой центр:

T\sim A^{1-n/2}.\qquad (9)

Уравнение колебаний имеет вид:

L\frac{\Delta I}{\Delta t}+Cq^2=0.\qquad (10)

Выбрав новые единицы измерения времени и заряда ( $\tilde q=q/a$ ), получим:

\frac{\beta^2}{\alpha}L\frac{\Delta I}{\Delta t}+C\frac1{\alpha^2}q^2=0.\qquad (11)

Одинаковое решение (10) и (11) будет при:

\beta^2=1/\alpha.\qquad (12)

Таким образом, период колебаний обратно пропорционален корню квадратному из амплитуды заряда на конденсаторе:

T\sim1/\sqrt\alpha.\qquad (13)

Оригинальные заголовки ключа

Решения задач. 10класс начинается настр.5,11класс настр.14.

Оригинал в Архива: 3_etap_2013_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2013_theoretical_solutions.pdf