Съдържание

BelPhO 2013, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-2. · Струя из бутылки.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2013

Республиканская физическая олимпиада 2013 года — IV этап, экспериментальный тур, 9–11 классы

Условие

Приборы и оборудование: бутылка с водой, капельница одноразовая, штатив с лапками, секундомер, мензурка, линейка 40 см, стакан, пластиковый желоб.

Исходный рисунок из учебника с тремя струями, ошибочность которого требуется доказать экспериментом.

Из одного учебника в другой кочует рисунок, иллюстрирующий формулу Торричелли. Ваша задача доказать, что его нарисовал человек, не только не знающий физики, но и никогда не проводивший данный эксперимент!

Исходная установка для расхода воды: сосуд, кран, шланг, пипетка, мензурка и гидравлический напор H.

В вашем распоряжении имеется следующая установка:

перевернутая пластиковая бутылка (сосуд) с водой, в крышку бутылки вставлен пластиковый шланг с краном, на конце шланга закреплена стеклянная пипетка, струя из пипетки может попадать в мензурку. Вся система крепится на штативе (на рисунке не показан).

Часть 1.

1.1 Обозначим скорость воды в струе на выходе из пипетки $v_0$ , радиус отверстия пипетки $r$ . Запишите формулу для расхода воды $q$ (объема воды, вытекающей в единицу времени $q=\frac{\Delta V}{\Delta t}$ ), вытекающей из пипетки.

1.2 Измерьте зависимость расхода воды $q$ от гидравлического напора воды $H$ (высоты между нижнем краем пипетки и верхним уровнем воды в сосуде). Постройте график полученной зависимости.

При измерениях кран держите полностью открытым, поддерживайте постоянным уровень воды в сосуде, регулярно подливая воду в сосуд.

1.3 Скорость вытекания воды зависит от высоты $H$ , эта зависимость может быть выражена формулой

v_0=CH^\gamma,\qquad (1)

где $C$ - постоянный коэффициент, зависящий от параметров установки.

На основании результатов ваших измерений определите показатель степени⁵ $\gamma$ , при котором формула (1) наиболее точно описывает результаты ваших измерений.

При необходимости выделите и укажите диапазон высот, в котором формула (1) с найденным показателем степени применима.

⁵ Для повышения вашей эрудиции отметим, что при $\gamma=0{,}5$ формула (1) носит имя Торричелли, а при $\gamma=1$ - Пуазейля.

Часть 2.

Исходная схема части 2: сосуд, горизонтальная пипетка, желоб, H до уровня пипетки, h над срезом желоба и дальность x.

Закрепите пипетку горизонтально. Под струю подставьте пластиковый желоб, вода из которого должна стекать в сливной сосуд. Для этого желоб слегка наклоните. В данной части вам необходимо измерять дальность полета струи $x$ . Для этого на дно желоба положите пластиковую линейку.

2.1 (Теоретическая задача) Выразите дальность полета струи $x$ через начальную скорость воды в струе $v_0$ (на выходе из пипетки) и высоту пипетки над срезом желоба $h$ . Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

2.2 Измерьте зависимость длины струи $x$ от гидравлического напора воды $H$ . Измерения проводите для двух значений высоты пипетки $h\approx7\,см$ и $h\approx15\,см$ . Постройте графики полученных зависимостей.

На бутылку прикреплена полоска миллиметровой бумаги, которую следует использовать в качестве шкалы. Величина $H$ изменяется из-за того, что вода вытекает из бутылки. Старайтесь поменьше пользоваться краном на шланге. Для получения нужной зависимости достаточно провести измерения при двух положениях бутылки. Не стремитесь достичь больших значений $H$ - при этом струя разбивается на капли. Вполне достаточно ограничится диапазоном $H<30\,см$ .

2.3 Еще раз проверьте выполнимость формулы (1). Укажите причины, по которым расчеты по эти формулам не соответствуют результатам вашего эксперимента. Выберите диапазон изменения $H$ , в котором исследуемая зависимость является линейной, оцените параметры этих зависимостей для двух значений $h$ .

Часть 3.

Исходная схема части 3: H до уровня желоба, h над желобом, горизонтальная струя и дальность x.

3.1 Найдите отличие рисунка данной части, от рисунка, приведенного в части 2.

3.2 Оставляя высоту $H$ неизменной, измерьте зависимость дальности полета струи от высоты $h$ . Измерения проведите для одного значения $H$ (выберите его самостоятельно и не забудьте указать его в своей тетради). Постройте график полученной зависимости.

3.3 Укажите, при каком отношении $\frac{h}{H}$ дальность струи максимальна.

3.4 Исправьте рисунок, послуживший основой идеи данной задачи - нарисуйте правильный рисунок, соответствующий результатам ваших экспериментов.

Решение

1.1 Формула имеет вид

q=\pi r^2v_0\qquad (1)

1.2 Для изучения зависимости расхода жидкости $q$ от гидравлического напора воды $H$ , были проведены измерения времени вытекания $V=20\,мл$ воды. Для каждой высоты $H$ проведено три измерения и вычислено среднее значение. Расход воды $q$ рассчитывался по определению.

Результаты измерений и расчетов приведены в Таблице 1, полученная зависимость представлена на графике.

Таблица 1. Расход жидкости.

Исходная таблица 1 расхода жидкости: H, см; три времени вытекания t₁,t₂,t₃,с; среднее tср,с; q, мл/с; десять строк и желтая шапка.

$H$ , см	$t_1$ , с	$t_2$ , с	$t_3$ , с	$t_{ср.}$ , с	$q$ , мл/с
36	6,23	6,13	6,11	6,16	3,25
34	6,61	6,68	6,70	6,66	3,00
30	7,66	7,58	7,63	7,62	2,62
26	8,70	8,49	8,60	8,60	2,33
24	9,60	9,44	9,42	9,49	2,11
21	10,54	10,66	10,62	10,61	1,89
19	11,71	11,79	11,85	11,78	1,70
16	13,79	13,56	13,65	13,67	1,46
14	15,90	16,02	15,96	15,96	1,25
12	18,26	18,23	18,36	18,28	1,09

Исходный график расхода q, мл/с от напора H, см, с десятью точками и прямой.

Полученные данные однозначно свидетельствуют, что расход воды прямо пропорционален гидравлическому напору. Так как скорость вытекания пропорциональна напору, то скорость вытекания прямо пропорциональна величине $H$ . Следовательно, показатель степени в приведенной формуле

\gamma=1.

Часть 2.

2.1 (Теоретическая задача)

Длина струи, при отсутствии сопротивления воздуха рассчитывается по формуле

x=v_0\tau=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}},\qquad (2)

здесь $\tau=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ - время падения струи с высоты $h$ .

Исходная схема горизонтальной струи с H, h и дальностью x над желобом.

Так как согласно результатам, полученным в части 1 начальная скорость $v_0$ пропорциональна напору $v_0=aH$ , то длина струи должна быть пропорциональна напору $H$ , причем коэффициент пропорциональности в свою очередь пропорционален $\sqrt h$ . Таким образом, теоретическая зависимость длины струи от параметров установки имеет вид

x=c\sqrt h\cdot H.\qquad (3)

2.2 Результаты измерений зависимости длины струи от гидравлического напора $H$ при двух значениях высоты струи приведены в Таблице 2. Рядом показаны графики полученных зависимостей.

Таблица 2. Длина струи.

Исходная таблица 2 длины струи: H, мм; x, мм, при h=7мм и h=14мм (так напечатано), пятнадцать строк.

$H$ , мм	$x$ , мм при $h=7\,мм$	$x$ , мм при $h=14\,мм$
290	93	122
280	92	119
270	89	116
260	87	112
250	85	107
240	82	103
230	78	99
220	72	95
210	65	90
200	60	85
190	55	79
180	49	72
170	40	65
160	35	59
150	30	53

Исходный график x, мм от H, мм для двух высот с измеренными точками и двумя линейными участками.

2.3 На каждом из графиков можно выделить линейный участок коэффициенты этих зависимостей $x=aH+b$ равны

Для $h=14\,мм$ : $a=0{,}61$ , $b=-39\,мм$ ;

Для $h=7\,мм$ : $a=0{,}61$ , $b=-61\,мм$ .

Однако зависимости не являются прямо пропорциональными, более того, коэффициенты наклона для них практически одинаковы. По-видимому, основной причиной расхождений являются многочисленные факторы, влияющие на форму струи: поверхностное натяжение, сопротивление воздуха и т.д.

Часть 3.

3.1 В данной части высота $H$ отсчитывается от уровня нижнего края струи. Эта конструкция моделирует сосуд, в котором высота уровня воды постоянна.

3.2 Результаты измерений приведены в Таблице 3 и на графике полученной зависимости.

Таблица 3. Длина струи.

Исходная таблица 3 длины струи: h, мм и x, мм, одиннадцать строк.

$h$ , мм	$x$ , мм
35	75
52	82
65	90
83	100
93	98
112	100
124	93
141	90
157	88
186	83
245	73

Исходный график x, мм от h, мм с измеренными точками и теоретической кривой.

Также на графике приведен вид теоретической зависимости, построенный по формуле (2) с подобранным коэффициентом $c$ . В данном случае также имеются заметные расхождения, особенно в области больших высот. Причины этого те же – форма струи заметно отличается от параболы. Максимальная длина струи получена при $h\approx90\,мм$ .

Результаты эксперимента показывают, что в области средних высот длина струи слабо зависит от высоты $h$ , убывая как при уменьшении этой высоты, так и при ее увеличении. Поэтому правильный рисунок должен иметь следующий вид.

Исходный правильный рисунок сосуда с тремя струями после эксперимента, приведенный официальным ключом.

Схема оценивания ЭТ 10-2

Оригинальная схема из отдельного файла 2013_experimental_schemes.pdf, страница 7.

Полная оригинальная схема оценивания 10-2, страница 7: все критерии, напечатанные баллы и пустая колонка оценок.

Пункт	Содержание	Всего за пункт	Баллы
	Часть 1
1.1	Формула (1).	1	1
1.2	Результаты измерений (оценивается, если расход в пределах 1–4 мл/с): число точек (8),(5)(<5).	11	3 (2) (0)
	Диапазон высот 20(10)(<10).		3 (2) (0)
	Рассчитаны значения расхода.		2
	Построение графика.		3
1.3	Получена линейная зависимость.	3	2
	Показатель степени 1.		1
	Часть 2
2.1	Получена формула (2).	2	2
2.2	Результаты измерений (оценивается, если длина струи в пределах 5–15 см): число точек (8),(5)(<5).	15	3(2)(0)×2
	Диапазон высот 20(10)(<10).		3(2)(0)×2
	Построение графика.		3
2.3	Получены линейные зависимости.	7	2
	Вывод (разумный на основании данных).		1
	Оценены параметры.		2
	По МНК.		(+2)
	Часть 3
3.1	Другой отсчет высот.	1	1
3.2	Результаты измерений (оценивается, если длина струи в пределах 5–15 см): число точек (8),(5)(<5).	9	3(2)(0)
	Диапазон высот 20(10)(<10).		3(2)(0)
	Построение графика.		3
3.3	Найдет максимум.	4	2
	Максимум на трети высоты.		2
3.4	Рисунок с максимальной длиной на трети высоты.	2	2
	Итого	55

Примечание к оригиналу схемы. В строках 3.3–3.4 напечатано «на трети высоты». Основной ключ сообщает экспериментальное $h\approx90$ мм, но не дает отдельного численного отношения $h/H$ ; новая схема приведена как отдельный оригинальный критерий, без изменения ключа.

Примечание к оригиналу

Сохранены шесть отдельно напечатанных экспериментальных задач 9,10 и11 классов:61 пронумерованный запрос и один раздел измерений термопары без нумерации. Каталожное число63 является предварительным. Все доступные23 страницы официального ключа переданы полностью, включая таблицы, пустые клетки и графики. Отдельные инструкции к мультиметру и секундомеру в доступном комплекте отсутствуют. Ключ «Бегающего зайчика» не дает отдельных нормированных графиков и объяснения пункта3.3; ключ гвоздя начинается с1.2 и не содержит отдельной полной схемы пункта1.1. В оригинале сохранены печатные несогласованности: e=2,1828; желтые провода в тексте и синие на схеме; «соленоид» в задаче о гвозде; нановаттная мощность и0,17·10⁻³кВт в расчете стоимости; единицы и подписи строк магнитной таблицы, знаки и26,82/26,86;7мм/14мм в ключе струи; дополнительное I в формуле периода иγ=b/a. Научные формулы, значения и исходные грамматические ошибки не исправлены скрыто.

Отдельные схемы оценивания

Добавлен полный оригинальный файл 2013_experimental_schemes.pdf: 10 страниц схем оценивания шести экспериментальных задач. Каждая схема приведена рядом с соответствующим официальным решением, с исходными изображениями таблиц и незаполненной колонкой «Оценки». Напечатанные критерии, баллы, промежуточные и общие итоги не пересчитаны; их расхождения указаны отдельно. Новые критерии не заменяют отсутствующие ответы или отдельные инструкции к приборам. Числа баллов в исходных данных задач и частей оставлены без изменения.

Оригинал в Архива: 2013_experimental_problems.pdf · официални решения: 2013_experimental_solutions.pdf · допълнителни данни: 2013_experimental_schemes.pdf

$H$ , мм	$x$ , мм при $h=7\,мм$	$x$ , мм при $h=14\,мм$
290	93	122
280	92	119
270	89	116
260	87	112
250	85	107
240	82	103
230	78	99
220	72	95
210	65	90
200	60	85
190	55	79
180	49	72
170	40	65
160	35	59
150	30	53

$H$ , мм	$x$ , мм при $h=7\,мм$	$x$ , мм при $h=14\,мм$
290	93	122
280	92	119
270	89	116
260	87	112
250	85	107
240	82	103
230	78	99
220	72	95
210	65	90
200	60	85
190	55	79
180	49	72
170	40	65
160	35	59
150	30	53

$H$ , мм	$x$ , мм при $h=7\,мм$	$x$ , мм при $h=14\,мм$
290	93	122
280	92	119
270	89	116
260	87	112
250	85	107
240	82	103
230	78	99
220	72	95
210	65	90
200	60	85
190	55	79
180	49	72
170	40	65
160	35	59
150	30	53