Съдържание

BelPhO 2015, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 9-1. 9 класс — 1. Зеркала

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2015

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все14страниц условий и29страниц решений. Сохранены девять отдельных целых заданий: по три для9,10,11класса. Одинаковые названия «Вода из воздуха» относятся к разным опытам: сжатие в10классе и охлаждение в11классе. Основные52печатные группы запросов (51номерная и одно ненумерованное задание цепи) не подменены каталожным числом49. Сохранены обе связанные структуры резистора, все13запросов подъемника, в том числе повторные номера2.1.1–2.1.3 под заголовком2.2. Время, баллы и численные критерии оценивания не напечатаны.

Сохранены все исходные таблицы, пустая таблица колебаний, два полных метода их решения, расширенные расчеты и альтернативы цепи, подсказки, сноска и заряд/емкость резистора. ВАХ цепи присутствует настр.8 условий, хотя текст называет ее отдельным бланком. Отдельный график давления насыщенного пара от температуры, упомянутый в задаче11-3 и ключе10-1, в полученных двух оригиналах отсутствует; диаграммы p–V не заменяют его. Ключ цепи не дает явного ответа для напряжения наR1; текст конца ключа называетR2 при формулеI1. Непечатный официальный ответ не добавлен. Ключ лесосплава отдельно не отвечает на вариант тяги верхнего бруска.

Оставлены буквальные печатные несогласованности: непримированные x2n и одинаковые знаменатели(9) зеркал, повтор y1 для второго изображения; знаки/модули ускорений, повтор ymin для максимума, m2−m2 в энергии подъема, t0=4,0с, повтор Δt1 и формулы t3/t6 колебаний; M=1,8·10⁻² в условии10-1 против1,8·10⁻³ в подстановке ключа при9,03мг,211кДж, индексы pc/pD и меткаА3; противоположная ориентация x у резистора, отсутствиеS в(13), повторные номера и дополнение2.6; сопротивление3R2/2 в тексте цепи против2R2/3 на схеме, несогласованные прямая/график/численные ответы; пропускq в(3) подъемника,l вместоz в(17), ошибочная ссылка2.2, оценка площади0,25 против точного0,2, высота бутылкиl/2 против уровняводыl в ключе; |x|>0 в ключе зарядов, повторные номера и ссылка на ненапечатанную(8); M=1,8·10⁻³ в11-3 при37,3мг в ключе, фраза о пропорциональности объема и давления при изобарном охлаждении, множительAB в площади трапеции и меткаВ6. Эти исходные значения не исправлены.

Оригинальные утверждение и общие инструкции9класса

УТВЕРЖДАЮ. Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования. _________________Р.С.Сидоренко. «» марта2015г.

Республиканская физическая олимпиада2015год (Заключительный этап). Теоретический тур.9класс.

Полный комплект состоит из трех не связанных между собой заданий.
При оформлении работы каждую задачу начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая — для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач! Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Условие

1.1 Два плоских зеркала расположены параллельно друг другу на расстоянии $2a$ и перпендикулярно оси $OX$ , симметрично относительно этой оси. Координаты зеркал равны $\pm a$ , где $a=10$ см. Поперечные размеры зеркал также равны $a$ . В точке с координатой $x_0=a/2$ находится точечный источник света. Глаз наблюдателя $A$ находится над левым зеркалом на расстоянии $b=11$ см от оси системы. Получите формулы, описывающие координаты всех изображений источника в зеркалах. Рассчитайте координаты всех изображений источника, которые может увидеть наблюдатель, постройте эти изображения.

Оригинальный научный рисунок: все оси, подписи, формулы, стрелки, размеры, кривые, сетки и границы.

1.2 Зеркала повернули на угол $\alpha=10^\circ$ , а источник сместили в начало координат. Получите формулы, описывающие координаты всех изображений источника в этом случае. Рассчитайте координаты всех изображений, который может увидеть наблюдатель с прежней точки зрения. Постройте эти изображения. При необходимости вы можете ввести новую систему координат.

Решение

Решения задач. 9класс. Задача9-1. Зеркала.

1.1 Очевидно, что в данном случае число изображений будет бесконечно велико, из-за многократных отражений в параллельных зеркалах. Изображение в плоском зеркале располагается симметрично, т.е. расстояние от зеркала до изображения равно расстоянию от источника до зеркала.

Это позволяет записать координату первого изображения в правом зеркале (см.рис.)

x_1=a+(a-x_0)=2a-x_0.\qquad (1)

Далее следует отобразить это изображение в левом зеркале, используя тоже правило построения:

x_2=-a-(x_1+a)=-2a-x_1.\qquad (2)

После этого строим очередные изображения (сначала в правом зеркале, затем в левом) по рекуррентным формулам:

\begin{aligned}x_{2n+1}&=2a-x_{2n},\\x_{2n}&=-2a-x_{2n-1}.\end{aligned}\qquad (3)

Координаты этих изображений можно выразить и в явном виде. Для этого отдельно выразим координаты четных и нечетных изображений

\begin{aligned}x_{2n}&=-2a-x_{2n-1}=-2a-(2a-x_{2n-2})=x_{2n-2}-4a,\\x_{2n+1}&=2a-x_{2n}=2a-(-2a-x_{2n-1})=x_{2n-1}+4a.\end{aligned}\qquad (4)

Из этих формул следует. что эти координаты образуют арифметические прогрессии

\begin{aligned}x_{2n}&=\tfrac12a-4na,&n&=0,1,2\ldots,\\x_{2n+1}&=\tfrac32a+4na,&n&=0,1,2\ldots.\end{aligned}\qquad (5)

Аналогично следует построить вторую серию изображений, начиная с левого зеркала.

Для этой серии формулы для расчета координат имеют вид:

— для двух первых изображений:

\begin{aligned}x'_1&=-a-(x_0+a)=-x_0-2a,\\x'_2&=a+(a-x'_1)=-x'_1+2a;\end{aligned}\qquad (6)

— для последующих изображений:

\begin{aligned}x'_{2n+1}&=-x_{2n}-2a,\\x'_{2n+2}&=-x'_{2n+1}+2a;\end{aligned}\qquad (7)

— наконец в явном виде:

\begin{aligned}x'_{2n+1}&=-x_{2n}-2a=-(-x'_{2n-1}+2a)-2a=x'_{2n-1}-4a,\\x'_{2n+2}&=-x'_{2n+1}+2a=-(-x'_{2n}-2a)+2a=x'_{2n}+4a,\\x'_{2n}&=\tfrac12a+4na,\\x'_{2n+1}&=-\tfrac52a-4na.\end{aligned}\qquad (8)

В Таблице1 приведены рассчитанные значения координат (в см) нескольких первых изображений.

$n$	$x_{2n+1}=2a-x_{2n}$	$x_{2n}=-2a-x_{2n-1}$	$x'_{2n+1}=-x_{2n}-2a$	$x'_{2n+2}=-x'_{2n+1}+2a$
1	15		-25
2		-35		45
3	55		-65
4		-75		85
5	95		-105

Теперь следует определить, какие из этих изображений видны с указанной точки расположения глаза. Из рисунка следует, что область видимости определяется размером правого зеркала, которое можно рассматривать как «окошко» через которое рассматривают изображения. Область видимости ограничивается крайним верхним лучом, отраженным от этого зеркала.

Из подобия треугольников следует, максимальная координата $x_{\max}$ точки оси, которая видна из точки $A$ , определяется уравнением

\frac{b}{x_{\max}+a}=\frac{0{,}5a}{x_{\max}+a},\qquad (9)

Из которого следует, что

x_{\max}=\frac{ab+0{,}5a^2}{b-0{,}5a}=26{,}7\text{см}.\qquad (10)

Таким образом, при указанном положении глаза видно только одно изображение с координатой $x_1=15$ см.

1.2 Если зеркала повернуть, то изображения выстоятся по окружности, центр которой $O$ лежит в точке пересечения линий зеркал.

Действительно, первое изображение $S'_1$ расположено симметрично плоскости правого зеркала, т.е. на том же расстоянии от точки $O$ , что и источник $S$ , аналогично и для всех последующих изображений. Как и параллельном расположении зеркал, следует построить две серии изображений: в первой серии начиная с правого зеркала, во второй — с левого. Из рисунка следует, что радиус окружности, на которой лежат все изображения, равен

R=\frac a{\sin\alpha}\approx57{,}6\text{см}.\qquad (11)

Также нетрудно заметить, что угловое расстояние между соседними изображениями равно $\Delta\varphi=2\alpha=20^\circ$ . Для того, чтобы записать формулы для координат изображений удобно сместить начало координат в центр окружности. В этой системе координаты изображений описываются простыми формулами

\begin{cases}x_k=R\sin k\Delta\varphi,\\y_k=R\cos k\Delta\varphi,\end{cases}\quad k=1,2,\ldots17.\qquad (12)

Далее можно построить положения всех изображений, положение зеркал и глаза наблюдателя и анализ видимости провести геометрически. Такое построение показано на рисунке. Опять, рассматривая зеркало, как «окошко» находим, что в область видимости попадают только три изображения (по нумерации формул(12)). Однако, в данном случае далеко лучи отраженные от зеркал не полностью покрывают следующее зеркало. Поэтому необходимо аккуратно построить крайние лучи, которые принимают участие в формировании следующего изображения. Такое построение показывает, что третье изображение не видно с точки расположения глаза. На рисунке выделен пучок лучей, который формирует это изображение — глаз находится вне этого пучка!

Таким образом, в рассматриваемой ситуации видны только два изображения, координаты которых равны

\begin{cases}x_1=19{,}7\text{см},\\y_1=54{,}1\text{см},\end{cases}\qquad\begin{cases}x_2=37{,}0\text{см},\\y_1=44{,}1\text{см}.\end{cases}\qquad (13)

Оригинал в Архива: 2015_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2015_theoretical_solutions.pdf