BelPhO 2016, Областен етап — Задача 9-3. 9 класс · Задание 3. Бареттер

Введение. Характеристики бареттера.

0.1. Сопротивление проволоки бареттера $R_0$ при температуре $0^\circ C$ равно

Формула зависимости сопротивления проволоки от температуры имеет вид

0.2. Мощность теплоотдачи бареттера определяется формулой $P_{\text{отд}}=\alpha S_{\text{пов}}(t-t_0)$, где $S_{\text{пов}}=2\pi rl$ — площадь поверхности нити. Учитывая, что $t_0=0$, получаем, что $P_{\text{отд}}=At$, где $A=2\pi rl\alpha=3{,}14\cdot10^{-3}\,\frac{\mathrm{Вт}}{^\circ C}$.

Часть 1. Вольтамперная характеристика идеального бареттера

1.1. При протекании тока $I$ по проволоке бареттера в ней выделяется теплота с мощностью, определяемой законом Джоуля-Ленца. В тепловом равновесии выполняется условие $P_{\text{эл}}=P_{\text{отд}}$ или $I^2R_0(1+\gamma t)=At$. Отсюда для зависимости $t(I)$ получаем следующее выражение

1.2. Согласно закону Ома напряжение на проволоке

Чтобы получить отсюда зависимость $I(U)$ можно разрешить полученное здесь квадратное уравнение, однако этого не требуется: чтобы построить вольтамперную характеристику, можно сначала построить зависимость $U(I)$, а затем обратить полученный график.

1.3. $U\to\infty$, когда $1-\frac{\gamma R_0}AI^2\to0$, то есть когда $I\to\sqrt{\frac A{R_0\gamma}}=0{,}487\,A$. Однако такой ток через бареттер недостижим, так как из (5) следует, что при $I\to\sqrt{\frac A{R_0\gamma}}$ $t\to\infty$.

1.4. Максимально возможным током через бареттер является ток, при котором начинает плавится проволока бареттера. Отсюда получаем для $I_{max}$ уравнение $\frac{I^2R_0}{A-I^2R_0\gamma}=t_{\text{пл}}$. Разрешая его, получаем, что $I_{max}=\sqrt{\frac A{R_0}\frac{t_{\text{пл}}}{1+\gamma t_{\text{пл}}}}=0{,}463\,A$. Тогда $U_{max}=I_{max}R_0(1+\gamma t)=\sqrt{AR_0t_{\text{пл}}(1+\gamma t_{\text{пл}})}=10{,}4\,В$.

1.5. При $U\to0$ также и $I\to0$, а значит $I^2\approx0$. Следовательно, как и следовало ожидать, $U=IR_0$ при малых напряжениях.

Часть 2. Вольтамперные характеристики цепей с бареттером.

2.1. При параллельном подключении бареттера и резистора напряжение в цепи равно напряжению на бареттере, а полный ток в цепи определяется как сумма тока через бареттер и тока через резистор, равного $\frac U{R_1}$. Соответственно вольтамперная характеристика цепи может быть получена прибавлением к вольтамперной характеристике бареттера линейной функции $I=\frac U{R_1}$.

2.2. При последовательном подключении бареттера и резистора ток в цепи равно току на бареттере, а напряжение в цепи определяется как $U=\frac{IR_0}{1-\frac{\gamma R_0}A I^2}+IR_1$. Чтобы получить зависимость $I(U)$, необходимо соответственно решить кубическое уравнение, однако того не требуется: чтобы построить вольтамперную характеристику, можно сперва построить зависимость $U(I)$, а затем обратить полученный график.

Часть 3. Реальный бареттер

3.1. Для произвольной зависимости $\rho(t)$ $I^2\frac{\rho(t)}{\rho_0}R_0=At$. Отсюда $I(t)=\sqrt{\frac{\rho_0At}{\rho(t)R_0}}$. Кроме того, из закона Ома следует, что $U(t)=\sqrt{\frac{\rho(t)R_0At}{\rho_0}}$. Таким образом, получена параметрическая зависимость $I(U)$ с температурой в качестве параметра.

3.2. Напряжение стабилизации составляет около $U_{\text{ст}}=7{,}5\,В$.

3.3. В точке стабилизации ток равен $I_{\text{ст}}=0{,}337\,A$. Соответственно области стабилизации соответствуют токи от $0{,}329\,A$ до $0{,}345\,A$ и напряжения от $3{,}0$ до $10{,}5\,В$.