Съдържание

Условие Задача 1.1 «Дутые аттракционы»Решение

BelPhO 2016, Областен етап — Задача 10-1.1. 10 класс · Задание 1. Разминка · Задача 1.1 «Дутые аттракционы»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2016

Республиканская физическая олимпиада 2016 · III этап · Теоретический тур · 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Полный оригинал содержит девять заданий: по три для 9, 10 и 11 классов. Каждая разминка прямо объявляет три не связанные между собой задачи; эти девять самостоятельных задач и шесть остальных связанных заданий представлены пятнадцатью отдельными задачами. Общие указания к комплекту и общее примечание к разминке сохранены на первой задаче соответствующего класса и доступны по ссылкам. В тексте сохранены печатные обозначения, все вопросы, методы решений и четыре графических бланка. На обложке 11 класса указаны семь частей, связанных общей идеей; далее напечатаны три задания, а разминка прямо названа тремя несвязанными задачами. Название «Made in Chine», ошибочные ссылки и формулы официального ключа сохранены буквально. В частности, в ключе Ф-сопротивления напечатано I_AB I_AD; в ключе накачки используется V2; в ключе газировки V0=ν0RT; в ключе цикла индексы T3/P3; в ключе газа произведение (T̄/T0)(P/P0) и положительное расширение после теплового равновесия. Это текст исходного ключа. Имена авторов и балльная рубрика в данном оригинале не напечатаны.

Условие

УТВЕРЖДАЮ

Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования

____________________ Р.С.Сидоренко

«___» декабря 2015 г.

Республиканская физическая олимпиада 2016 год.

(III этап)

Теоретический тур

10 класс.

Полный комплект состоит из трех заданий.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика, вторая - для черновика. При недостатке бумаги обращайтесь к оргкомитету!
Подписывать тетради и отдельные страницы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!

Может вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Complete native grade10 cover/instructions and original decorative source images; native approval identity retained.

Это задание состоит из 3 не связанных между собой задач.

Задача 1.1 «Дутые аттракционы»

Детские надувные аттракционы (например, «Воздушный замок») представляют собой гибкие и эластичные сосуды «причудливых» форм и некоторого предельного объёма, в которые под давлением подаётся воздух. Для нормальной работы аттракциона давление воздуха в нем должно быть не очень большим (станет «твёрдым») и не очень маленьким (дети будут проваливаться). Электронасос обеспечивает подачу воздуха внутрь аттракциона в течение всего времени его работы.

Complete native inflatable-castle photograph including outside pump hose.

Атмосферное давление $p_0=1{,}0\cdot10^5\,\mathrm{Па}$ . Считайте, что газовые процессы являются изотермическими, молярная масса воздуха $M_\mathrm В=29\,\mathrm{г/моль}$ . Ускорение свободного падения $g=9{,}8\,\mathrm{м/с^2}$ . Молярная газовая постоянная $R=8{,}31\,\mathrm{Дж/(моль\cdot К)}$ .

1.1.1 «Время накачки» Рассмотрим сравнительно небольшой аттракцион внутренний объём (вместимость) которого $V_1=1{,}0\cdot10^2\,\mathrm{м^3}$ , а рабочее давление воздуха внутри него $p_1=2{,}5\cdot10^5\,\mathrm{Па}$ . Летним солнечным днём при температуре $t=27^\circ C$ механик Федя за час до начала работы аттракциона решил развернуть его и накачать до рабочего давления при помощи небольшого (автомобильного) поршневого электронасоса, имеющего объём всасывающей камеры $V_2=1{,}0\cdot10^3\,\mathrm{см^3}$ . Поршень насоса делает $N=10$ качаний (полных ходов) за секунду. Найдите массу $m_\mathrm В$ воздуха, необходимого для работы аттракциона. Успеет ли Федя к открытию аттракциона?

1.1.2 «Скорость накачки» В процессе медленной накачки надувной аттракцион медленно приподнимается и расправляется до необходимого размера. Будем считать, что в процессе накачки аттракцион можно представить в виде тонкостенного цилиндра площади поперечного сечения $S=5{,}0\,\mathrm{м^2}$ , в котором может без трения перемещаться тяжёлый горизонтальный поршень массы $M=500\,\mathrm{кг}$ (т.е. «Воздушный замок»). Найдите зависимость высоты $h$ подъёма поршня от времени $t$ накачки. Постройте график полученной зависимости $h(t)$ . Найдите скорость $v$ движения поршня при работе насоса. Мощный насос имеет объём всасывающей камеры $V_3=1{,}0\cdot10^4\,\mathrm{см^3}$ . Поршень насоса делает $N=10$ качаний (полных ходов) за секунду.

Complete original loaded piston/pump model with all M,g,v,h labels and pipe/pump ends.

Решение

10 класс

Задание 1. Разминка.

Задача 1.1 «Дутые аттракционы»

1.1.1 «Время накачки» За одно качание насос захватывает из атмосферы массу $m_1$ воздуха, попавшую в его открытую засасывающую камеру объёмом $V_2$ при атмосферном давлении $p_0$ . Из уравнения состояния идеального газа Клапейрона–Менделеева получим

p_0V_2=\frac{m_1}{M_\mathrm В}RT\quad\Rightarrow\quad m_1=\frac{p_0V_2M_\mathrm В}{RT}.\qquad (1)

Для нормальной работы аттракциона необходима масса воздуха $m_\mathrm В$

p_1V_1=\frac{m_\mathrm В}{M_\mathrm В}RT\quad\Rightarrow\quad m_\mathrm В=\frac{p_1V_1M_\mathrm В}{RT}=291\,\mathrm{кг}.\qquad (2)

Как видим из (2), масса воздуха в аттракционе представляет собой достаточно значительную величину, для закачки которой скорее всего потребуется значительное время.

Поскольку насос равномерно (по массе) закачивает воздух, то механику Феде потребуется время для полной накачки

m_2=m_1Nt\quad\Rightarrow\quad t=\frac{m_2}{Nm_1}=\frac{p_1V_1}{Np_0V_2}=2{,}5\cdot10^4\,\mathrm{с}=417\,\mathrm{мин}=6{,}9\,\mathrm{ч}.\qquad (3)

Как следует из (3) механик Федя никак не успеет к открытию аттракциона – нужно всё делать загодя (или поменять насос!). Действительно, таким насосом необходимо накачивать практически целый рабочий день, поскольку он рассчитан на обслуживание небольшого объема камеры автомобиля ( $V_3\approx60\,\mathrm{л}$ ). Справедливости ради заметим, что все надувные аттракционы непрерывно подкачиваются в течение рабочего дня для компенсации утечки воздуха.

1.1.2 «Скорость накачки» Будем считать, что в процессе накачки поршень поднимается равномерно (т.е. находится в состоянии равновесия). Тогда давление под ним остаётся постоянным и равным

p(h)=p_0+\frac{Mg}S=const,\qquad (4)

что соответствует изобарному процессу.

Entire native repeated piston/pump source model, all v/M/g/h/pump labels.

Согласно уравнению Клапейрона - Менделеева можем записать

pV=\left(p_0+\frac{Mg}S\right)Sh=\frac m{M_\mathrm В}RT.\qquad (5)

Для высоты $h$ поршня от массы закачанного газа $m$ получаем выражение

h=\frac m{M_\mathrm В}\frac{RT}{p_0S+Mg}\quad\Rightarrow\quad h\sim m.\qquad (6)

Согласно (6) высота поднятия поршня прямо пропорциональна массе закачанного в цилиндр газа. Согласно (3) через насос за время $t$ пройдёт масса воздуха

m(t)=m_1Nt=\frac{p_0V_2M_\mathrm В}{RT}N\cdot t\quad\Rightarrow\quad m\sim t.\qquad (7)

Следовательно, зависимость высоты $h$ поднятия поршня от времени $t$ при накачке имеет вид

h(t)=\frac1{M_\mathrm В}\frac{RT}{p_0S+Mg}\frac{p_0V_2M_\mathrm В}{RT}N\cdot t=\frac{p_0V_2N}{p_0S+Mg}\cdot t.\qquad (8)

График полученной зависимости – прямая пропорциональность, поскольку

h(t)\sim t.\qquad (9)

Из выражения (8) следует, что скорость движения поршня вверх равна коэффициенту пропорциональности в данной формуле

\upsilon=\frac{p_0V_2N}{p_0S+Mg}=2{,}0\,\frac{\mathrm{см}}{\mathrm{с}}.\qquad (10)

Оригинал в Архива: 3_etap_2016_theoretical_problems.pdf · официални решения: 3_etap_2016_theoretical_solutions.pdf