Съдържание

BelPhO 2017, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11-1. · Еще одна колебательная система!

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2017

Республиканская физическая олимпиада 2017 год (III этап) — Экспериментальный тур

Внимание: Бележка към темата

Полностью прочитаны 13 страниц условий и 23 страницы архивного ключа: шесть целых задач, по две для 9, 10 и 11 классов, 40 исходных номерованных запросов. Все имеющиеся методы, таблицы, графики, бланки построений и конечные объяснения сохранены. На выполнение каждой задачи соответствующего класса отводятся два с половиной часа. Баллы и критерии оценивания не напечатаны. Повторные и пропущенные номера, несогласованные формулы, обозначения и данные сохранены с отдельными примечаниями читателя. Численной погрешности отношения масс в задаче о колебаниях в ключе нет; для трения приведена методика оценки без численных погрешностей. Авторство ключа организаторами по архивным PDF не установлено.

Исходный титул и указания — 9 класс

УТВЕРЖДАЮ

Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования

____________________Р.С. Сидоренко

«___» декабря 2016 г.

Республиканская физическая олимпиада 2017 год (III этап). Экспериментальный тур.

9 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая для черновика.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Примечание читателя к источнику: титул печатает год события 2017 и дату утверждения декабря 2016; оба сохранены. Декоративные рисунки не содержат научных данных и остаются в исходном PDF. Время напечатано отдельно для каждой из двух задач класса; общее время для всех шести задач не задано.

Исходный титул и указания — 10 класс

УТВЕРЖДАЮ

____________________Р.С. Сидоренко

«___» декабря 2016 г.

Республиканская физическая олимпиада 2017 год (III этап). Экспериментальный тур.

10 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая для черновика.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Исходный титул и указания — 11 класс

УТВЕРЖДАЮ

____________________Р.С. Сидоренко

«___» декабря 2016 г.

Республиканская физическая олимпиада 2017 год (III этап). Экспериментальный тур.

11 класс.

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы. Первая половина тетради предназначена для чистовика – вторая для черновика.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать тетради, отдельные страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к представителям Жюри.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Условие

Приборы и оборудование: штатив, спица вязальная (длинная), пластинка из жести; ластик, разрезанный на две равные части, секундомер, транспортир, линейка.

В данной работе Вам необходимо исследовать колебания маятника, изготовленного из обыкновенной спицы. Изогнутая по середине спица помещается на упор (в качестве которого используется пластинка, закрепленная в лапке штатива) Угол между спицами необходимо изменять и измерять!

Измерения следует проводить для спицы и для спицы с одинаковыми грузами (кусочки ластика).

Обе родные формы маятника — без и с одинаковыми грузами, упор и уголalpha.

1 Выведите формулы для периодов колебаний спицы $T_1$ и спицы с грузами $T_2$ , если угол изгиба равен $\alpha$ .

Подсказка. Кинетическая энергия тонкого стержня, вращающегося с угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, перпендикулярной стержню и проходящей через один из его концов равна

E=\frac16ml^2\omega^2,\qquad (1)

где $m$ — масса стержня, $l$ — его длина.

2 Измерьте зависимости периодов колебаний спицы и спицы с грузами от угла изгиба $\alpha$ .

3 Покажите, на основании результатов измерений, что выведенные вами формулы для периодов колебаний верны. Для этого линеаризуйте полученные зависимости и постройте графики линеаризованных зависимостей.

4 На основании результатов измерений, проведенных в п.2, рассчитайте отношение массы ластика к массе спицы. Оцените погрешность полученного результата.

Решение

1.1

Для расчета периодов колебаний сначала рассмотрим изогнутую спицу с прикрепленными грузами. Положение центра масс системы $h_0$ можно найти «по определению»

\begin{aligned}2(m+m_0)h_0&=2m\frac l2\cos\frac\alpha2+2m_0l\cos\frac\alpha2\\&=l\cos\frac\alpha2(m+2m_0).\end{aligned}\qquad (1)

При отклонении маятника на малый угол $\varphi$ от вертикали изменение потенциальной энергии системы равно

\begin{aligned}\Delta U&=Mg\Delta h=2(m+m_0)gh_0(1-\cos\varphi)\\&=(m+2m_0)l\cos\frac\alpha2g(1-\cos\varphi)\approx(m+2m_0)l\cos\frac\alpha2g\frac{\varphi^2}{2}.\end{aligned}\qquad (2)

При выводе использована приближенная формула $\cos\varphi\approx1-\varphi^2/2$ .

Кинетическая энергия маятника при вращении с угловой скоростью $\omega=\varphi'$ равна

E_k=2\left(\frac16ml^2\omega^2+\frac{m_0l^2\omega^2}{2}\right).\qquad (3)

Запишем закон сохранения механической энергии при колебаниях маятника

2\left(\frac16ml^2+\frac12m_0l^2\right)\omega^2+(m+2m_0)l\cos\frac\alpha2g\frac{\varphi^2}{2}=E=\mathrm{const},\qquad (4)

которое является уравнением гармонических колебаний. Круговая частота этих колебаний определяется отношением

\Omega^2=\frac{(m+2m_0)gl\cos\frac\alpha2}{4\left(\frac16ml^2+\frac12m_0l^2\right)}=\frac{3g\cos\frac\alpha2}{2l}\cdot\frac{1+2\frac{m_0}{m}}{1+3\frac{m_0}{m}}.\qquad (5)

Соответственно, периоды колебаний описываются формулами:

Без грузов ( $m_0=0$ )

T_1=2\pi\sqrt{\frac{2l}{3g}\frac1{\cos\frac\alpha2}}.\qquad (6)

С грузами

T_2=2\pi\sqrt{\frac{2l}{3g}\frac1{\cos\frac\alpha2}\cdot\frac{1+3\frac{m_0}{m}}{1+2\frac{m_0}{m}}}.\qquad (7)

Оба родных положения нагруженного маятника, h0,l,m,m0,alpha/2 и phi.

2–3

Полученные теоретические формулы для периодов колебаний показывают, что зависимость $1/T^2$ от $\cos(\alpha/2)$ является линейной.

Результаты измерений периодов колебаний и необходимые расчеты приведены в Таблицах 1 и 2. В каждом случае измерение периодов проведено 3 раза и проведено усреднение результатов.

Таблица 1. Спица без грузов

$\alpha^\circ$	$T_{1,1}$ , с	$T_{1,2}$ , с	$T_{1,3}$ , с	$\langle T_1\rangle$ , с	$1/\langle T_1\rangle^2$	$\cos(\alpha/2)$
40	0,696	0,692	0,699	0,696	2,07	0,9397
50	0,710	0,707	0,712	0,710	1,99	0,9063
65	0,741	0,753	0,752	0,749	1,78	0,8434
80	0,794	0,789	0,796	0,793	1,59	0,7660
90	0,819	0,826	0,820	0,822	1,48	0,7071
105	0,886	0,890	0,884	0,887	1,27	0,6088
120	0,962	0,977	0,949	0,963	1,08	0,5000
130	1,024	1,018	1,020	1,021	0,96	0,4226
140	1,161	1,150	1,154	1,155	0,75	0,3420
150	1,381	1,343	1,348	1,357	0,54	0,2588

Таблица 2. Спица с грузами

$\alpha^\circ$	$T_{1,1}$ , с	$T_{1,2}$ , с	$T_{1,3}$ , с	$\langle T_1\rangle$ , с	$1/\langle T_1\rangle^2$	$\cos(\alpha/2)$
20	0,771	0,768	0,770	0,770	1,69	0,9848
30	0,783	0,778	0,777	0,779	1,65	0,9659
45	0,810	0,796	0,804	0,803	1,55	0,9239
60	0,832	0,827	0,821	0,827	1,46	0,8660
75	0,853	0,868	0,848	0,856	1,36	0,7934
90	0,913	0,918	0,920	0,917	1,19	0,7071
100	0,954	0,958	0,966	0,959	1,09	0,6428
115	1,040	1,038	1,045	1,041	0,92	0,5373
130	1,167	1,159	1,161	1,162	0,74	0,4226
140	1,325	1,337	1,321	1,328	0,57	0,3420
155	1,558	1,520	1,573	1,550	0,42	0,2164

На рисунке показаны графики линеаризованных зависимостей $1/T^2$ от $\cos(\alpha/2)$ (1 — без грузов, 2 — с грузами).

Обе полученные зависимости являются линейными, что подтверждает теоретически полученный вид зависимостей (6) и (7).

Из этих же формул следует, что отношение коэффициентов наклона графиков равно

\frac{K_1}{K_2}=\frac{1+3\frac{m_0}{m}}{1+2\frac{m_0}{m}}.\qquad (8)

Значение этих коэффициентов, рассчитанные по методу наименьших квадратов, равны:

K_1=2{,}15\,\text{с}^{-2},\qquad K_2=1{,}67\,\text{с}^{-2}.\qquad (9)

Поэтому их отношение $\gamma=1{,}29$ . Теперь используя формулу (8), можно найти требуемое отношение масс:

\gamma=\frac{1+3\frac{m_0}{m}}{1+2\frac{m_0}{m}}\quad\Rightarrow\quad\frac{m_0}{m}=\frac{\gamma-1}{3-2\gamma}=0{,}68.\qquad (10)

Полный оригинальный график обеих линеаризованных зависимостей, все точки/оси/легенда1,2.

Примечание читателя к источнику

В таблице 2 нагруженной спицы исходные заголовки также используют $T_1$ ; они сохранены. Знаменатель 4 в (5) и равенство в той же строке тоже сохранены буквально. Численное отношение масс 0,68 и все измерения воспроизведены. Требуемую в условии погрешность этого отношения ключ отдельно не вычисляет; недостающий ответ не придуман.

Оригинал в Архива: 3_etap_2017_experimental_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2017_experimental_solutions.pdf