Съдържание

BelPhO 2017, Заключителен етап, 9,10,11 — Задача 11-1.1. 11 класс — 1.1. «Разминка»

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2017

Заключительный этап — теоретический тур, 9–11 классы

Внимание: Бележка към темата

Получены все 17 страниц условий и 31 страница соответствующего теоретического ключа. Сохранены 12 целых задач: по четыре для 9, 10 и 11 классов, под девятью напечатанными родительскими заданиями, 60 явно обозначенных групп запросов вместо каталожных 66 частей. В двух «Разминках» первый составной запрос напечатан без внутренних номеров и сохранен целиком; две прямо названные несвязанными задачи каждой «Разминки» сохранены отдельно; части внутри каждой задачи остаются вместе. Группа 2.1–2.4 «Конденсатора» напечатана как один общий запрос и не разбита искусственно. Все полные ключи девяти напечатанных родительских заданий, альтернативные выводы, числовые таблицы, пояснения, исходные формулы и графики получены. Один исходный пустой бланк к «Векторной кинематике» напечатан на странице 4 условий: сноска говорит, что оба выданных бланка одинаковы. Сохранены этот полный бланк и оба заполненных бланка ключа. График давления насыщенного пара к циклу Ренкина сохранен полностью. Отдельные выданные бланки построений к «Кольцевой» и «Пилообразному и импульсному току» не получены. Время, баллы и шкала оценивания не напечатаны. Экспериментальные оригиналы принадлежат отдельному опубликованному туру и здесь не использованы; изображение обложки сохранено в исходном PDF.

Печатные научные и редакционные несогласованности сохранены без исправления: диапазон 20–70°C терморезистора при напечатанных постоянных дает отрицательное сопротивление выше 65°C; инструкция указывает пункты 3–6, хотя имеется пункт 7; пример координат отличается от последующих исходных координат, а выражение для построенного вектора S₂ имеет размерность скорости. В разминке 10 класса сохранены исходная формула Пуазейля, полное слагаемое μmgl в работе при начальной точке l/4 и напечатанные множители π³/r⁴ в силе и работе. У «Конденсатора» сохранены отсутствующее равенство в первой формуле и первая часть выражения ΔC. График p–T цикла Ренкина показывает прямой участок 3–4, тогда как текст ключа называет его непрямым. В разминке 11 класса сохранены название потенциальной энергии кинетической, исходные ссылки, d=2h при обозначении b в условии и напечатанное γ≈11°. У «Кольцевой» сохранены E_z/E_z, коэффициент силы диполя, двойное равенство, смена знака в цепочке магнитной силы и повтор пункта 3.3; второй пункт 3.3 помечен † только для различения ссылок, а ключ называет его 3.4. В последнем ключе сохранены пропуск номера формулы 7, утверждение о независимости тока от времени, разные масштабные значения графиков при напечатанном I₃=U/5, исходные номера рисунков и ссылка на формулу 45 вместо 46. Грамматические ошибки и остальные исходные обозначения сохранены.

Оригинальная общая обложка

Группа секретных физиков. Республиканская физическая олимпиада 2017 года (Заключительный этап). Теоретический тур. Гродно. 2017.

Условие

Задача состоит из двух не связанных между собой задач.

Задача 1.1

Крутильный маятник состоит из легкого стержня длины $l$ , к концам которого прикреплены два небольших шарика (которые можно считать материальными точками). Масса каждого шарика равна $m$ и значительно больше массы стержня. Шарики несут электрические заряды, равные по величине и противоположные по знаку $+q$ и $-q$ . Стержень подвешен на нитяном подвесе и может свободно вращаться в горизонтальной плоскости вокруг фиксированной вертикальной оси.

Оригинальный научный рисунок с полными стрелками, границами, осями, числовыми данными и подписями.

1.1.1 Маятник помещают в горизонтальное однородное электрическое поле напряженности $\vec E_0$ (на рисунке вид сверху). Найдите период малых колебаний маятника.

1.1.2 На расстоянии $a$ от каждого шарика закрепили еще два таких же шарика. Модули зарядов всех шариков одинаковы, а знаки таковы, что ближайшие шарики притягиваются. Внешнее электрическое поле отсутствует. Чему равен период малых колебаний маятника в этом случае?

1.1.3 Пусть период колебаний маятника в однородном поле (как в п.1.1.1) равен $T_1$ , а при наличии дополнительных зарядов (как в п. 1.1.2) равен $T_2$ . Чему будет равен период колебаний, если на маятник воздействует как внешнее однородное поле, так и дополнительные заряды?

Решение

Задача 1.1

Для расчета периодов колебаний можно использовать как динамический, так и энергетический подход. Воспользуемся энергетическим подходом. В рамках этого метода необходимо ввести некоторую переменную величину $x$ . Далее необходимо найти кинетическую энергию системы, представив ее в виде

E_k=Mv^2.\qquad(1)

Где $v=x'$ — первая производная от координаты по времени, $M$ — постоянная величина.

Найти потенциальную энергию, как функцию координаты $U(x)$ , Полагая смещение от положения равновесия малым, записать приближенное выражение для изменения потенциальной энергии, оставляя только квадратичные слагаемые, т.е предтавив это изменение в виде

U=Kx^2.\qquad(2)

Где $K$ — также постоянная величина. Затем записать уравнение закона сохранения энергии:

Mv^2+Kx^2=\mathrm{const},\qquad(3)

которое является уравнением гармонических колебаний с периодом

T=2\pi\sqrt{\frac MK}.\qquad(4)

1.1.1 В положении равновесия ось маятника совпадает с направлением вектора напряженности электрического поля. В качестве координаты будем рассматривать угол отклонения маятника от этого направления $\alpha$ . Производная от этого угла есть угловая скорость вращения $\omega$ .

Кинетическая энергия маятника легко рассчитывается по формулам

E_k=2\frac{mv^2}{2}=m\left(\frac l2\omega\right)^2=\frac{ml^2}{4}\omega^2.\qquad(5)

Потенциальная энергия каждого шарика выражается через разность потенциалов в положении равновесия и в отклоненном положении. Поэтому

\Delta U=2q\Delta\varphi=2qE\Delta z=2qE\frac l2(1-\cos\alpha)=qEl\frac{\alpha^2}{2}.\qquad(6)

Используя формулу (4) и полученные выражения для энергий находим период колебаний

T=2\pi\sqrt{\frac{ml}{2qE}}.\qquad(7)

1.1.2 Выражение для кинетической энергии (5) справедливо и в данном случае.

Рассмотрим потенциальную энергию взаимодействия зарядов на маятнике с одним из неподвижных зарядов.

Энергия взаимодействия шариков выражается формулой (см. рис.)

U=\frac{q^2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac1{r_1}-\frac1{r_2}\right).\qquad(8)

Расстояния между шариками можно выразить из теоремы косинусов:

r_{1,2}=\sqrt{\left(\frac l2\right)^2+\left(\frac l2+a\right)^2\pm2\left(\frac l2\right)\left(\frac l2+a\right)\cos\alpha}.\qquad(9)

В формулу для потенциальной энергии входят величины обратные расстояниям, поэтому сразу проведем их разложение, учитывая малость угла $\alpha$ :

r_{1,2}^{-1}=\left(\left(\frac l2\right)^2+\left(\frac l2+a\right)^2\pm2\left(\frac l2\right)\left(\frac l2+a\right)\cos\alpha\right)^{-1/2}\approx

\approx\left(\left(\frac l2\right)^2+\left(\frac l2+a\right)^2\pm2\left(\frac l2\right)\left(\frac l2+a\right)\left(1-\frac{\alpha^2}{2}\right)\right)^{-1/2}=

=\left(\left(\frac l2+a\pm\frac l2\right)^2\mp\left(\frac l2\right)\left(\frac l2+a\right)\alpha^2\right)^{-1/2}=

=\left(\frac l2+a\pm\frac l2\right)^{-1}\left(1\mp\frac{\left(\frac l2\right)\left(\frac l2+a\right)}{\left(\frac l2+a\pm\frac l2\right)^2}\alpha^2\right)^{-1/2}\approx

=\left(\frac l2+a\pm\frac l2\right)^{-1}\left(1\pm\frac12\frac{\left(\frac l2\right)\left(\frac l2+a\right)}{\left(\frac l2+a\pm\frac l2\right)^2}\alpha^2\right).

Запишем эти выражения отдельно:

r_1^{-1}=(l+a)^{-1}\left(1+\frac12\frac{\left(\frac l2\right)\left(\frac l2+a\right)}{(l+a)^2}\alpha^2\right)=(l+a)^{-1}+\frac12\frac{\left(\frac l2\right)\left(\frac l2+a\right)}{(l+a)^3}\alpha^2,

r_2^{-1}=a^{-1}\left(1-\frac12\frac{\left(\frac l2\right)\left(\frac l2+a\right)}{a^2}\alpha^2\right)=a^{-1}-\frac12\frac{\left(\frac l2\right)\left(\frac l2+a\right)}{a^3}\alpha^2.\qquad(10)

Теперь подставим их в формулу для кинетической энергии (не зависящие от $\alpha$ слагаемые опускаем):

U=\frac{q^2}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{\left(\frac l2\right)\left(\frac l2+a\right)}{(l+a)^3}+\frac{\left(\frac l2\right)\left(\frac l2+a\right)}{a^3}\right)\alpha^2.\qquad(11)

Снова используем формулу (5) для периода колебаний

T=2\pi\sqrt{\frac MK}=2\pi\sqrt{\frac{2\pi\varepsilon_0ml^2}{q^2\left(\frac{\left(\frac l2\right)\left(\frac l2+a\right)}{(l+a)^3}+\frac{\left(\frac l2\right)\left(\frac l2+a\right)}{a^3}\right)}}.\qquad(12)

1.1.3 Так как выражение для кинетической энергии остается неизменным, то необходимо только просуммировать выражения для энергия потенциальных (фактически сложить два коэффициента $K$ в формуле (5)). Это приведет к тому, что для периодов колебаний будет выполняться соотношение:

\frac1{T^2}=\frac1{T_1^2}+\frac1{T_2^2}\quad\Rightarrow\quad T=\frac{T_1\cdot T_2}{\sqrt{T_1^2+T_2^2}}.\qquad(13)

Оригинал в Архива: 2017_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2017_theoretical_solutions.pdf