Съдържание

BelPhO 2021, Областен етап, 9. клас — Задача 9-1. Собака и поводок

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2021

Республиканская физическая олимпиада 2021 год. (III этап) Теоретический тур. 9 класс.

Внимание: Бележка към темата

Получен ключ для жюри того же класса, тура и варианта. Три связанных задания сохранены целиком. В ключе собаки после пункта 3.2 напечатан пункт 3.3, хотя условие заканчивается 3.2; исходная нумерация сохранена. В ключе электропередачи численный результат для вопроса 3.4 приведен внутри 3.3, а для вопроса 2.3 напечатаны напряжение 40 В и потери 82%, без отдельного численного ответа о реальной мощности потребителя. В ключе тени в формуле (5) используются y₁, y₂, но в пояснении дважды напечатано y₁; ссылки на (5)/(6) и результат H = 6,5 см сохранены буквально. Оригинальный фотобланк получен и сохранен; на нем напечатан ошибочный номер 9.1 вместо 9-3. Числовые баллы и отдельная схема оценивания в полученных оригиналах отсутствуют.

Инструкции

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!
Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (5 стр.);
бланк к задаче 9-3 (1 стр.)

Решения задач. 9 класс

IX класс. Теоретический тур. Вариант 1.

Решения задач. Бланк для жюри.

Условие

Всякая бродячая собака, по словам М. Булгакова, мечтает об ошейнике. Добавим к ошейнику и поводок. Когда собака бегает от радости, поводок с ручкой движется за ней, но… совсем по другому закону. Цель данной задачи научиться рассчитывать закон движения конца поводка по известному закону движения собаки.

Формализуем задачу: материальная точка $A$ (т.е. собака) движется по заданному закону. Материальная точка $B$ (конец поводка с ручкой) связана с точкой $A$ гибкой невесомой нерастяжимой веревкой длины $l = 3{,}0\ \mathrm{м}$ . Движение точки $B$ зависит не только от того, как движется точка $A$ , но и от характера сил, действующих на точку $B$ , поэтому решить задачу о движении точки $B$ в общем виде нельзя. Мы рассмотрим 3 частных случая такого движения.

Часть 1. Очень медленное движение (ползком).

Точка $A$ движется вдоль прямой линии. График закона движения (зависимости координаты от времени) этой точки показан на рисунке. В начальный момент времени точка $B$ находится в начале координат $x_B(0) = 0$ .

График «Закон движения точки A»: по горизонтали время t,с от 0 до 60 с шагом 5, по вертикали координата x, м от 0 до 10. Ломаная через точки (0; 0), (10; 6), (20; 3), (30; 9), (40; 5), (45; 7), (60; 1).

При медленном движении можно пренебречь инерционными свойствами точки $B$ .

1.1 Постройте график закона движения точки $B$ .

1.2 Рассчитайте пути, пройденные точками $A$ и $B$ за 60 секунд движения.

Часть 2. Движение без трения.

В данной части будем считать, что точка $B$ движется по гладкой поверхности без трения (например, по гладкому льду).
Точка $A$ движется по прямой линии с постоянной скоростью $v_0 = 6{,}0\ \dfrac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}$ . В момент времени $t = 0$ точка $B$ находится на расстоянии $l = 3{,}0\ \mathrm{м}$ в направлении перпендикулярном прямой, вдоль которой движется точка $A$ . В этот момент поводок натянут, точка $B$ покоится.

2.1 Кратко опишите словесно движение точки $B$ .

2.2 Постройте схематический рисунок траектории точки $B$ .

Схема: горизонтальная прямая, точка A на ней со стрелкой скорости v0 вправо; вертикальный отрезок длины l вниз от A к точке B.

2.3 Чему равна максимальная скорость точки $B$ в процессе движения?

Часть 3. Очень вязкое трение.

В данной части считаем, что на точку $B$ действует сила вязкого трения пропорциональная скорости точки. Подсказка. Если на тело действует внешняя сила $\vec{F}_0$ и большая сила вязкого трения, пропорциональная скорости $\vec{F}_{\text{сопр.}} = -\beta\vec{v}$ , то в любой момент времени вектор скорости точки $\vec{v}$ совпадает по направлению с вектором силы $\vec{F}_0$ .

Точка $A$ движется по окружности радиуса $R = 2l = 6{,}0\ \mathrm{м}$ с постоянной по модулю скоростью $v_0 = 6{,}0\ \dfrac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}$ .

3.1 Определите по какой траектории движется точка $B$ , укажите параметры этой траектории.

3.2 Чему равен модуль скорости точки $B$ в этом случае?

Решение

Задача 9-1. Собака и поводок

Часть 1. Очень медленное движение (ползком).

1.1 Для построения графика движения необходимо учесть, что точка $B$ начинает двигаться, если ее расстояние до точки $A$ начинает превышать длину поводка $l=3{,}0\ \text{м}$ . При движении точки $B$ , ее координата меньше координаты точки $A$ на величину $l$ при движении точки $A$ в положительном направлении оси, и больше координаты точки на величину $l$ при движении последней в отрицательном направлении. С помощью таких рассуждений построен график закона движения точки $B$ , который показан на рис. 1.

Полный оригинальный график «Закон движения точки B (рис.1)» со всеми точками, шкалами, подписями осей и рамкой.

1.2 Пути, пройденные рассматриваемыми материальными точками легко подсчитать по построенным графикам:

\begin{aligned} S_A&=6+3+6+4+2+6=27\ \text{м}\\ S_B&=3+3+3=9{,}0\ \text{м}. \end{aligned}\qquad (1)

Часть 2. Движение без трения.

2.1 Эту часть задачи проще всего решить, если прейти в систему отсчета, связанную с точкой $A$ . В этой системе отсчета в начальный момент времени точка $B$ получает скорость $v_0$ , направленную перпендикулярно веревке. Так как на точку $B$ действует только сила натяжения веревки, то в этой системе отсчета эта точка будет двигаться по окружности радиуса $l$ вокруг точки $A$ (см. рис.)

Окружность радиуса l в системе точки A, точка B и полный вектор скорости v₀.

2.2 В исходной, неподвижной системе отсчета движение точки $B$ будет являться суперпозицией движения по окружности с постоянной по модулю скоростью поступательного движения $v_0$ и поступательного движения центра окружности с той же скоростью $v_0$ . Результатом такого наложения является движение по циклоиде, вид которой показан на следующем рисунке.

Полная циклоида с заголовком, сеткой, A₀/B₀/A₁/B₁, длинами l и всеми стрелками v₀/2v₀.

2.3 Скорость точки $B$ будет максимальна, когда вектор ее скорости относительно точки $A$ совпадет по направлению с вектором скорости точки $A$ (на рисунке – это верхняя точка траектории $B_1$ ). В этот момент времени скорость точки будет равна

v_{\max}=2v_0.\qquad (2)

Часть 3. Очень вязкое трение.

3.1 Из приведенной подсказки следует, что вектор скорости точки $B$ направлен вдоль поводка, то есть, направлен на точку $A$ . Не сложно сообразить, что в этом случае траекторией точки $B$ также будет окружность, концентрическая с траекторией точки $A$ . На рисунке показаны обе траектории и векторы скоростей обеих точек.

Обе концентрические траектории с A,B,радиусами R,r, поводком l и полными векторами скоростей.

3.2 Из рисунка следует, что радиус окружности, по которой движется точка $B$ , равен

r=\sqrt{R^2-l^2}\approx5{,}2\ \text{м}.\qquad (3)

3.3 Так как угловые скорости движения точек равны, то модуль скорости точки $B$ оказывается равным

\frac{v_0}{R}=\frac{v}{r}\quad\Rightarrow\quad v=v_0\frac{r}{R}\approx5{,}2\ \frac{\text{м}}{\text{с}}.\qquad (4)

Оригинал в Архива: mgo-2021-tt9-var1-uslovija.pdf · официални решения: mgo-2021-tt9-var1-reshenija.pdf