Съдържание

Условие Задание 1.Задание 2.Задание 3.Задание 4.Решение

BelPhO 2021, Заключителен етап, 9. клас — Задача 9-1. Растяжимость пружин

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2021

Республиканская физическая олимпиада 2021 год (Заключительный этап). Экспериментальный тур. 9 класс.

Внимание: Бележка към темата

Официальные решения сохранены буквально: оба параметра b имеют индекс 1; в таблице линзы напечатано sin 5° = 0,9; таблица зеркала названа l(f), а в заключении напечатаны ссылки (3) и (4). Для п. 2.1 оптической задачи авторы дают только замечание жюри без требуемого рисунка. Числовая схема оценивания и отдельный шаблон транспортира в полученном комплекте отсутствуют.

Инструкции

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач. Для вашего удобства в тексте вопросы, на которые Вы должны ответить, взяты в рамки.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования – проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и озаглавьте все построенные графики.
Подписывать рабочие страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к организаторам.

Вам необходимо самостоятельно собирать и настраивать экспериментальные установки. Если в условии задачи не приведены схемы установок, то в решении приведите их, укажите, какие величины и как вы измеряли.
Погрешности следует оценивать только в тех пунктах, где указано в условии задачи.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Данный комплект заданий содержит:

титульный лист (стр. 1);
условия двух заданий (стр. 2-5).

Условие

Приборы и оборудование: Две пружины; динамометр 10 Н; линейка измерительная 50 см, шпилька металлическая с резьбой и двумя гайками, штатив.

В данной работе Вам необходимо экспериментально проверить справедливость закона Гука, а также исследовать различные типы соединения пружин.

Закон Гука утверждает, что сила упругости пружины пропорциональна ее деформации:

F = kx.\qquad (1)

Коэффициент пропорциональности $k$ в этой формуле называется жесткостью пружин.

Задание 1.

1.1 Измерьте зависимости длины каждой пружины от приложенной к ней силы.

1.2 Постройте графики полученных зависимостей.

1.3 Укажите, выполняется ли закон Гука для выданных вам пружин.

1.4 Определите жесткости пружин, оцените погрешность найденных значений. Результаты приведите в системе СИ.

Далее расчет погрешностей не требуется!

Задание 2.

Соедините пружины последовательно, как показано на рисунке.

Последовательное соединение двух пружин: первая пружина прикреплена к стене слева, вторая пружина прикреплена к концу первой. Стрелкой L обозначена общая длина обеих пружин, стрелкой l — длина первой пружины.

2.1 Измерьте зависимость длины первой $l$ пружины от общей длины пружин $L$ . Постройте график полученной зависимости. Определите коэффициент наклона данной зависимости.

2.2 Используя результаты, полученные ранее, получите теоретическое значение коэффициента наклона этой зависимости и сравните с экспериментальным значением.

Задание 3.

Соедините пружины параллельно.

Параллельное соединение двух пружин: обе пружины натянуты между двумя вертикальными стержнями, к стержням приложены силы, направленные в противоположные стороны (стрелки влево и вправо).

3.1 Экспериментально покажите, что закон Гука выполняется и для «двойной» пружины.

3.2 Измерьте жесткость «двойной» пружины, сравните его с теоретическим значением.

Задание 4.

Закрепите пружины на металлической шпильке с помощью гаек, так чтобы они образовали в недеформированном состоянии равнобедренный треугольник с основанием $l \approx 18\text{см}$ .

Две пружины, закрепленные на горизонтальной шпильке на расстоянии l друг от друга, образуют равнобедренный треугольник; к их соединенным нижним концам приложена сила F, направленная вниз; x — смещение вершины треугольника от шпильки.

4.1. Измерьте зависимость отклонения вершины треугольника $x$ от приложенной силы $F$ (см. рисунок).

4.2 Постройте график полученной зависимости $x(F)$ .

4.3 На этом же графике нанесите теоретические значения данной зависимости. Приведите формулы, по которым вы проводили расчеты теоретической зависимости.

Решение

Задача 9-1. Растяжимость пружин

Задание 1.

1.1-1.2 Результаты измерений зависимости длины пружин от приложенной силы приведены в Таблице 1. Графики этих зависимостей показаны на рисунке.

Таблица 1.

$F$ , Н	$l_1$ , мм	$l_2$ , мм
0	140	134
1	146	135
2	174	152
3	200	169
4	227	190
5	258	207
6	292	224
7	320	243
8	350	264
9	383	282
10	413	301

Полный оригинальный график «Деформации пружин», рамка, обе серии, сетка, оси и подписи.

1.3. Линейность полученных зависимостей доказывается справедливость закона Гука для обеих пружин.

1.4 Для обработки полученных данных можно воспользоваться методом наименьших квадратов (хотя допустимы и другие методы). Значения параметров полученных линейных зависимостей $l=aF+b$ , оказались равными:

\begin{aligned}a_1&=(29{,}9\pm0{,}7)\frac{\text{мм}}{\text{Н}};&a_2&=(18{,}5\pm0{,}7)\frac{\text{мм}}{\text{Н}}.\\b_1&=112\text{ мм};&b_1&=114\text{ мм}\end{aligned}\qquad (1)

Параметр $b$ в этом уравнении имеет смысл длины пружины в недеформированном состоянии, параметр $a$ - величина обратная жесткости.

Следовательно, жесткости пружин и их погрешности рассчитываются по формулам:

k=\frac1a;\quad\Delta k=k\frac{\Delta a}{a}.\qquad (2)

В результате расчета по этим формулам получаем:

\begin{aligned}k_1&=(33{,}5\pm0{,}8)\frac{\text{Н}}{\text{м}}\\k_2&=(54{,}0\pm0{,}9)\frac{\text{Н}}{\text{м}}\end{aligned}.\qquad (3)

Задание 2.

2.1 Результаты измерений зависимости длины первой пружины от общей длины приведены в Таблице 2 и на графике.

Таблица 2.

$l$ , мм	$L$ , мм
135	260
148	278
177	331
201	372
232	420
256	460
288	512
314	557
345	604

Полный оригинальный график «Двойная пружина», все точки, оси, сетка и наружная рамка.

Коэффициент наклона полученной зависимости оказался равным $a=0{,}61$ .

2.2 Очевидно, что общая длина соединенной пружины равна сумме длин отдельных пружин, а силы упругости обеих пружин одинаковых. Из этих условий не сложно показать, что теоретическое значение коэффициента наклона равно $a=\dfrac{a_1}{a_1+a_2}\approx0{,}62$ , что в пределах погрешности совпадает с экспериментальным результатом.

Задание 3.

Так как при параллельном соединении одинаковыми являются деформации пружин, то жесткость объединенной пружины равна сумме жесткостей каждой пружины.

Для экспериментального определения коэффициента жесткости необходимо измерить зависимость деформации пружин от приложенной силы. Для определения коэффициента жесткости можно построить график зависимости силы от длины пружин, тогда коэффициент наклона этой зависимости будет равен жесткости пружины. График полученной зависимости показан на рисунке. Так как зависимость линейна, то закон Гука выполняется.

Полный оригинальный график «Закон Гука для двойной пружины», все точки, оси, сетка и рамка.

Значение жесткости пружины (коэффициент наклона линейной зависимости) равно $k_\Sigma=89{,}2\dfrac{\text{Н}}{\text{м}}$ , что в пределах погрешности совпадает с теоретическим значением

k=k_1+k_2=(87{,}5\pm1{,}7)\frac{\text{Н}}{\text{м}}.

Задание 4.

Рассчитать смещение пружин при заданной силы затруднительно, но не сложно рассчитать суммарную силу упругости при заданном смещении $x$ . На рисунке показаны интересующие силы, для упрощения можно считать, что и при деформации пружин треугольник остается равнобедренным (т.е. пренебречь горизонтальным смещением общей точки).

Полный оригинальный треугольник с l, x, alpha, векторами F1/F2/F и всеми стрелками.

В этом приближении суммарная сила рассчитывается с помощью цепочки понятных преобразований:

\begin{aligned}F&=(F_1+F_2)\cos\alpha\\&=(k_1+k_2)\left(\sqrt{\left(\frac l2\right)^2+x^2}-b\right)\frac{x}{\sqrt{\left(\frac l2\right)^2+x^2}}\\&=(k_1+k_2)x\left(1-\frac{b}{\sqrt{\left(\frac l2\right)^2+x^2}}\right)\end{aligned}

Здесь $b$ - длина пружин в недеформированном состоянии, в качестве которой предпочтительнее взять значения параметра из первого задания ( $b=113\text{ мм}$ ).

В таблице 3 приведены измеренные значения величины $x$ при различных значениях приложенной силы $F$ . Затем по приведенной формуле (при измеренном значении $x$ ) проведен расчет теоретического значения силы упругости.

Таблица 3.

$F$ , Н	$x$ , мм	$F_{\text{теор}}$ , Н
2	108	1,82
3	126	2,95
4	140	3,92
5	152	4,79
6	167	5,92
7	180	6,94
8	190	7,73
9	201	8,62
10	210	9,35

Полный оригинальный график «Треугольная пружина», две серии, сетка, оси и рамка.

Отметим, что различия между теоретическими и экспериментальными значениями силы не превышают 8%

Оригинал в Архива: rfo-2021-var-2-eksp-tur-9-klass.pdf · официални решения: rfo-2021-var-2-eksp-tur-9-klass-reshenija.pdf

$F$ , Н	$l_1$ , мм	$l_2$ , мм
0	140	134
1	146	135
2	174	152
3	200	169
4	227	190
5	258	207
6	292	224
7	320	243
8	350	264
9	383	282
10	413	301

$F$ , Н	$l_1$ , мм	$l_2$ , мм
0	140	134
1	146	135
2	174	152
3	200	169
4	227	190
5	258	207
6	292	224
7	320	243
8	350	264
9	383	282
10	413	301

$F$ , Н	$l_1$ , мм	$l_2$ , мм
0	140	134
1	146	135
2	174	152
3	200	169
4	227	190
5	258	207
6	292	224
7	320	243
8	350	264
9	383	282
10	413	301