Съдържание

BelPhO 2022, Областен етап, 11. клас — Задача 11-1.1. Атмосфера с переменной температурой

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2022

Республиканская физическая олимпиада 2022 года (III этап). Теоретический тур. 11 класс.

Внимание: Бележка към темата

Оригинальный ключ сохранён буквально: в задаче 1.1 напечатаны показатель 3,42 и затем степень 4,32; вопрос 1.2.3 в ключе обозначен 1.2.1. В формулах магнитной задачи и в таблице, графике и итоговом значении силы сопротивления имеются внутренние расхождения; исходные знаки, индексы, числа и нумерация не исправлены. Четыре целых задачи соответствуют отдельно названным задачам 1.1/1.2 и двум связанным заданиям 11-2/11-3.

Инструкции

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
При оформлении работы каждое задание начинайте с новой страницы. При недостатке бумаги обращайтесь к организаторам!
Подписывать рабочие листы запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Постарайтесь внимательно прочитать условия задач!

Может, вам покажется, что условия задач слишком длинные. Но мы сочинили их такими, чтобы Вам было легче решать. Поверьте, иногда решения короче таких условий! Не теряйте присутствия духа, смело беритесь за решение каждой задачи. Помните, оцениваются не только полные решения, но и их отдельные части и даже отдельные здравые мысли.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия 3 теоретических задач (6 стр.).

Указания жюри

Республиканская физическая олимпиада. 2022 год (III этап). Теоретический тур. Решения задач. 11 класс (для жюри). Вариант 1.

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами.

Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Задание состоит из двух задач, связанных одной математической идеей: если некоторая величина $Y$ зависит от величины $x$ по степенному закону

Y(x) = Y_0 + a x^{\gamma},

то скорость изменения этой величины описывается формулой, справедливой при любом показателе степени $\gamma$ и малых значениях $\Delta x$

\frac{\Delta Y}{\Delta x} = a\gamma x^{\gamma - 1}.

Задача 1.1. Атмосфера с переменной температурой.

У поверхности земли атмосферное давление равно $P_0 = 1{,}0 \cdot 10^5\ \mathrm{Па}$ , а температура $T_0 = 290\mathrm{K}$ . Температура воздуха убывает с высотой $z$ по линейному закону

T = T_0(1 - \alpha z).

Температура убывает на $\Delta T = 1{,}0^{\circ}$ при подъеме на каждые $\Delta h = 100\ \mathrm{м}$ . Ускорение свободного падения считать равным $g = 9{,}8\,\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}}$ . Молярная масса воздуха $M = 29\,\frac{\mathrm{г}}{\mathrm{моль}}$ . Универсальная газовая постоянная $R = 8{,}3\,\frac{\mathrm{Дж}}{\mathrm{моль} \cdot \mathrm{К}}$ . Атмосфера неподвижна.

1.1.1 Найдите зависимость давления воздуха от высоты $P(z)$ .

1.1.2 Рассчитайте численное значение давления воздуха на высоте $H = 1{,}0\ \mathrm{км}$ .

Решение

Задание 11-1. Степенные зависимости.

Задача 1.1. Атмосфера с переменной температурой.

1.1.1

Основная проблема, возникающая при решении задачи, заключается в том, что плотность воздуха зависит от давления и температуры, поэтому изменяется при подъеме над поверхностью земли. Поэтому рассмотрим тонкий слой атмосферы толщиной $\Delta z$ , находящийся на высоте $z$ от поверхности земли. Пренебрежем изменением плотности воздуха в пределах этого тонкого слоя. Тогда изменение давления в пределах этого слоя равно

\Delta P=-\rho g\Delta z.\qquad (1)

Тонкий слой атмосферы: полная колонка с P(z), z, dz, стрелками давления и наземной границей.

Плотность воздуха выразим из уравнения состояния Менделеева – Клапейрона:

PV=\frac{m}{M}RT\quad\Rightarrow\quad\rho=\frac{m}{V}=\frac{MP}{RT}.\qquad (2)

Подставим это выражение в формулу (1):

\Delta P=-\frac{MP}{RT_0(1-\alpha z)}g\Delta z.\qquad (3)

Теперь сделаем решительное предположение: зависимость давления от высоты имеет вид

P(z)=P_0(1-\alpha z)^\gamma.\qquad (4)

Тогда

\Delta P=\gamma P_0(1-\alpha z)^{\gamma-1}\Delta(1-\alpha z)=-\alpha\gamma P_0(1-\alpha z)^{\gamma-1}\Delta z.\qquad (5)

Подставим это выражение, а также формулы для зависимостей температуры и давления от высоты в формулу (3):

-\alpha\gamma P_0(1-\alpha z)^{\gamma-1}\Delta z=-\frac{MP_0(1-\alpha z)^\gamma}{RT_0(1-\alpha z)}g\Delta z.\qquad (6)

Это равенство будет верным при

\gamma=\frac{Mg}{\alpha RT_0}.\qquad (7)

Таким образом, действительно зависимость давления от высоты имеет вид (4) с показателем степени (7).

1.1.2

Из приведенной в условии зависимости температуру от высоты следует, что

\alpha T_0\Delta h=\Delta T\quad\Rightarrow\quad\alpha T_0=\frac{\Delta T}{\Delta h}=1{,}0\cdot10^{-2}\frac{\mathrm{К}}{\mathrm{м}}.\qquad (8)

Показатель степени:

\gamma=\frac{Mg}{\alpha RT_0}=\frac{29\cdot10^{-3}\frac{\mathrm{кг}}{\mathrm{моль}}\cdot9{,}8\frac{\mathrm{м}}{\mathrm{с}^2}}{1{,}0\cdot10^{-2}\frac{\mathrm{К}}{\mathrm{м}}\cdot8{,}3\frac{\mathrm{Дж}}{\mathrm{моль}\cdot\mathrm{К}}}=3{,}42.\qquad (9)

Легко подсчитать температуру на высоте $H$ :

T_0(1-\alpha H)=T_0-H\frac{\Delta T}{\Delta h}=280\mathrm{K}\quad\Rightarrow\quad(1-\alpha H)=\frac{280}{290}.

Наконец, давление на высоте $H$ :

P(H)=P_0(1-\alpha H)^\gamma=1{,}0\cdot10^5\mathrm{Па}\cdot\left(\frac{28}{29}\right)^{4{,}32}=0{,}89\cdot10^5\mathrm{Па}.\qquad (10)

Оригинал в Архива: G_2022_11_1_usloviya.pdf · официални решения: G_2022_11_1_resheniya.pdf