BelPhO 2023, Заключителен етап, 9–11 клас — Задача 10-2. Куда направлена сила трения?

Часть 1. Тянем бумагу

1.1 Сила трения направлена в сторону противоположную вектору относительной скорости движения тела. Эта основная идея позволяет легко построить направление сил, действующих на брусок (сила нормальной реакции, сила трения о бумагу, сила трения о дощечку). Как и банальном случае движения бруска по наклонной плоскости, коэффициент трения оказывается равным тангенсу угла между нормалью к поверхности дощечки и направлением результирующей силы взаимодействия бруска с дощечкой. В данном случае

1.2 Траектория движения бруска действительно близка к прямой линии. При этом угол наклона траектории примерно равен

1.3 Результаты измерений зависимости между углами $\beta$ и $\alpha$ представлены в таблице 1 и на графике.

1.4 Из формулы (1) следует, что

График подтверждает данную зависимость, так как коэффициент его наклона близок к 1. Коэффициент сдвига равен $b=17{,}2^\circ$, откуда следует, что

Погрешность найденного значения составляет примерно 10%.

1.5 Из формулы (2) следует, что минимальное значение угла, при котором начинается скольжение, равно

Что подтверждается экспериментально.

1.6 Результаты аналогичных измерений для металлического цилиндра приведены в Таблице 2 и на графике.

1.7 Полученная зависимость линейна, но принципиально отличается от предыдущей зависимости, так как коэффициент наклона существенно отличается от 1. Главная причина этого заключается во вращательном движении цилиндра. Вследствие этого сила трения направлена под некоторым углом к вектору относительной скорости. Оценка этого угла отклонения дает значение примерно равное $7^\circ$. Вторая причина полученного отличия заключается в том, что в данном случае сила трения боковой поверхности цилиндра о дощечку является трением покоя, поэтому она определяется тангенциальной составляющей внешней силы, в данном случае силы трения основания цилиндра о поверхность бумаги.

Часть 2. Толкаем карандаш

2.1 Требуемые построения представлены на рисунке на следующей странице.

2.2 Полученная траектория движения центра карандаша не линейна, поэтому простейшая функция, которая ее описывает, есть квадратичная функция

Где $x_0\approx4{,}5\ \text{см}$, н₀ ≈ 14 см — координаты вершины параболы.

2.3 Причина такого поведения заключается в том, что при повороте карандаша увеличивается момент силы трения, закручивающий карандаш. Это приводит к еще более быстрому его повороту.

Теоретическая добавка — Часть 1. Тянем бумагу

1.1 Сила трения направлена в сторону противоположную вектору относительной скорости движения тела.
Рассмотрим движение бруска. Когда мы начинаем тянуть бумагу с некоторой скоростью $\vec V_0$ на брусок начинает действовать сила трения со стороны бумаги $\vec F_0$, направленная в сторону противоположную скорости движения бруска относительно бумаги. Эта сила приводит к появлению силы нормальной реакции $\vec N$ со стороны дощечки. Под действием этих сил брусок начинает смещаться относительно дощечки с некоторой скоростью $\vec v$, вследствие чего появляется сила трения $\vec F_{\text{тр}}$.

Но (самое важное!) при после начала движения бруска относительно дощечки изменяется направление силы $\vec F_0$. Вектор относительной скорости движения бруска $(\vec v-\vec V_0)$ образует некоторый угол $\beta$ с направлением движения бумаги. Именно под этим углом и будет смещаться брусок относительно бумаги, именно этот угол легко поддается измерению. То, что направление силы $\vec F_0$ зависит от скорости движения, является причиной того, что движение бруска становится равномерным! При таком движении сумма сил, действующих на брусок равна нулю, поэтому можно записать:

Используя закон для силы трения $F_{\text{тр}}=\mu N$, получим

Окончательно получаем, что

Теоретическая добавка — Качение цилиндра

Описание движения цилиндра проводится аналогичным образом. На рисунке показаны силы, действующие на катящийся цилиндр. При установившемся движении выполняется уравнение

в котором сила трения есть сила трения покоя, покоя, которая не может быть выражена с помощью какой-либо формулы. Поэтому нужны дополнительные уравнения. Так цилиндр катится с постоянной скоростью (и считаем, что без проскальзывания) то сумма моментов сил, действующих на цилиндр равна нулю. Это условие относительно оси цилиндра имеет вид

Где $M$ — момент сил трения, действующих на основание цилиндра со стороны бумаги. В этих уравнениях $M$ и $F_0$ сложным образом зависят от скоростей поступательного и вращательного движений цилиндра.
К уравнениям динамики (1)–(2) следует добавить геометрическое соотношение между скоростями поступательного и вращательного движений:

Эта система позволяет найти связь между углами $\beta$ и $\alpha$, при известной зависимости $M$ и $F_0$ от отношения $\Omega=\omega R/V_0$. Найти эти зависимости достаточно сложно, но можно предложить простые модельные соотношения, полученные на основании следующих логических заключений. При отсутствии вращения суммарная сила трения равна

Вращение даст некоторую поправку к этому выражению. Поэтому приближенно можно считать, что эта формула применима и при небольшом вращении.
Момент сил трения относительно оси при поступательном движении равен нулю, он появляется при вращении, поэтому приближенно можно считать, что этот момент пропорционален отношению $\Omega=\omega R/V_0$, и записать

где $C$ — некоторый безразмерный коэффициент.
Наконец, можно использовать приближение малых углов $(\sin\beta\approx\tan\beta\approx\beta,\ \cos\beta\approx1)$. В этом случае из записанных уравнений следует, что

Примечание читателя источника. Повторный номер (2), исходное обозначение «н₀» после формулы с $y_0$, полная фотография и обе теоретические добавки сохранены из ключа. Данные для отмеченных учеником листов не придуманы: вопрос требует создать их самостоятельно.