Съдържание

Условие Часть1. Тепловое расширение Часть2. Массы поплавков Листы ответов Решение

BelPhO 2023, Заключителен етап — Задача 9-1. Термометр Галилея

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2023

Белорусская республиканская олимпиада по физике2023 — заключительный этап, теоретический тур,9–11классы

Внимание: Бележка към темата

Все99оригинальных страниц лично прочитаны. Девять целых заданий для9/10/11классов,57нижних номерованных запросов в17исходных частях. Все37содержательных Листов ответов, таблицы данных, бланки графиков, полные доступные архивные ключи и научные изображения сохранены. Печатные ошибки формул/чисел/обозначений/слов оставлены и отдельно атрибутированы; решений вне оригинала не добавлено. Не найдены отдельные балльные рубрики и указание длительности; ключ атрибутирован архиву.

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,9класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (5стр.).

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,10класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (4стр.).

Республиканская физическая олимпиада2023года (Заключительный этап). Теоретический тур,11класс

Полный комплект состоит из трех заданий.
Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.

Внимание!

Помимо условий Вы получите тетрадь для черновиков и Листы ответов. Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. На свободных местах (помеченных как «Вывод формулы» Вы должны кратко привести: основные идеи решения, рисунки (при необходимости)), исходные уравнения и их обоснования, сделанные приближения, основные математические преобразования, окончательные результаты. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. Рекомендуем сначала решать в черновике (в отдельной тетради), а затем красиво оформить решение на Листах ответов. Используйте только лицевую сторону Листов ответов, писать на обороте листа запрещается.

Черновики проверяться не будут!

Подписывать Листы ответов и черновик запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
После окончания работы сложите листы ответов в соответствии с нумерацией страниц.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады.

Пакет заданий содержит:

титульный лист (1стр.);
условия3теоретических задач (6стр.).

Листы ответов,9класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Заполненные Вами листы ответов являются основным «продуктом» Вашего творчества на олимпиаде, свидетельством Ваших знаний, Ваших способностей, Вашего таланта. Отнеситесь к ним предельно серьезно и аккуратно. Жюри будет проверять только эти Листы.
Настоятельно рекомендуем сначала провести решение в тетради-черновике. Черновик Вы должны сдать, но он проверяться не будет.
Оформляйте решения задач и отдельных пунктов на специально отведенных для них страницах. К каждому заданию добавлен1чистый лист, используйте его, если Вам не хватило отведенного места.
Используйте только лицевую сторону Листов ответов.
Подписывать Листы ответов запрещено.

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Листы ответов,10класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Листы ответов,11класс — исходные общие указания

Уважаемые участники олимпиады!

Желаем успехов в выполнении этой работы!

Решения задач (для жюри),9класс — исходные указания

Уважаемые члены жюри! Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами. Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Решения задач (для жюри),10класс — исходные указания

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Решения задач (для жюри),11класс — исходные указания

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Термометр Галилея — запаянный стеклянный цилиндр, наполненный жидкостью, в которой плавают стеклянные сосудики-буйки. К каждому такому сферическому поплавку прикреплена снизу золотистая или серебристая бирка с выбитым на ней значением температуры. В зависимости от размера термометра количество поплавков внутри бывает от3до11. В настоящее время термометр представляет эстетическую ценность в качестве эффектного предмета интерьера.

При изменении температуры изменяются плотности жидкости и материала поплавков. Поэтому изменяются условия плавания поплавков — они могут либо тонуть, либо всплывать. Конечно, точно измерять температуру с помощью этого термометра невозможно, но детали прибора должны быть изготовлены с высокой точностью. В данной задаче вам необходимо рассчитать характеристики этой забавной игрушки.

Часть1. Тепловое расширение

При нагревании тела все его линейные размеры тела изменяются одинаково. Во многих случаях относительное изменение размеров тела пропорционально изменению температуры и описывается формулой

l=l_0(1+\alpha(t-t_0)),\qquad (1)

где $l$ — длина тела при температуре $t$ , $l_0$ — длина тела при температуре $t_0$ , $\alpha$ — коэффициент линейного расширения вещества, из которого изготовлено тело. По аналогичному закону изменяются все линейные размеры тела.

1.1 Квадратная металлическая пластина изготовлена из металла с коэффициентом теплового расширения $\alpha$ . В середине пластины проделано квадратное отверстие. При температуре $t_0$ длина стороны внешнего квадрата равна $a$ , длина стороны отверстия — $b$ . Пластину нагревают на $\Delta t$ градусов. Укажите, что произойдет с площадью отверстия (увеличится, уменьшится, не изменится).
Если площадь отверстия изменится, то найдите ее изменение $\Delta S$ .

Исходная квадратная пластина с отверстием, стороны a,b

Изменение плотности однородного тела может быть описано формулой

\rho=\rho_0(1+\gamma(t-t_0)),\qquad (1)

где $V$ — объем тела при температуре $t$ , $V_0$ — длина тела при температуре $t_0$ , $\gamma$ — тепловой коэффициент изменения плотности вещества, из которого изготовлено тело.

1.2 Выразите коэффициент теплового изменения плотности $\gamma$ через коэффициент линейного расширения $\alpha$ . Считайте эти коэффициенты малыми.

Часть2. Массы поплавков

Здесь и далее будем считать, что сосуд термометра Галилея заполнен дистиллированной водой. Тепловое расширение воды носит сложный характер и не подчиняется линейным законам(1)и(2). В Таблице1 в Листах ответов приведены значения удельного объема воды $v_0$ при различных температурах $t$ . Удельным объемом называется объем единицы массы вещества. Будем считать, что поплавки являются полыми стеклянными шариками, диаметр которых при температуре $t_0=20{,}0^\circ$ равен $D=2{,}000\,\mathrm{\text{см}}$ . Шарики частично заполнены подкрашенной водой, масса каждого шарика-поплавка (вместе с водой внутри) равна $m_0=4{,}000\,\mathrm{\text{г}}$ . К шарикам подвешивают золотую бирку, с выбитым значением температуры. Плотность золота при температуре $t_0=20{,}0^\circ$ равна $\rho_1=19{,}32\,\mathrm{\text{г}/\text{см}^3}$ .

Назовем температурой всплытия $t^*$ поплавка такую температуру, при которой поплавок (с биркой) может находиться в состоянии равновесия внутри жидкости. Именно эту температуру указывает на бирках поплавков.

2.1 Поплавок находится внутри жидкости, находящейся при температуре всплытия. Что произойдет с шариком (начнет тонуть, начнет всплывать, останется в равновесии), если температура повысится?

2.2 На бирках поплавков указаны температуры всплытия. При некоторой температуре часть шариков плавает у поверхности, часть затонула. Как определить температуру термометра по числам, указанным на бирках? Как оценить погрешность измерения температуры в этом случае?

Для предварительного расчета пренебрежем тепловым расширением стекла поплавка и золота бирки.

2.3 Для каждого значения температуры, приведенной в таблице1, рассчитайте значение массы бирки $m_1$ , чтобы для этого поплавка указанная температура была температурой всплытия.

При проведении испытаний оказалось, что термометр имеет систематическую погрешность. Для ее исправления разработчики решили учесть тепловое расширение стекла, из которого изготовлены поплавки, а тепловым расширением золота по-прежнему пренебрегать. Коэффициент линейного теплового расширения стекла равен $\alpha=9{,}200\cdot10^{-6}\,{}^\circ\mathrm C^{-1}$ .

2.4 Рассчитайте, на сколько надо изменить массу $\Delta m_1$ каждой бирки, чтобы исключить погрешность прибора.

2.5 Рассчитайте общую массу золота, которая пойдет на изготовление термометра, с5поплавками, рассчитанными на температуры, указанные в Таблице1.

В листе ответов приведите краткий вывод расчетных формул, численные результаты расчета масс бирок $m_1$ и их изменения $\Delta m_1$ занесите в третий и четвертый столбцы таблицы1.

Листы ответов

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница20

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница21

Исходный полный Лист ответов: поля, таблицы, графики и подписи, страница22

Решение

Задание1. Термометр Галилея. (Решение).

Часть1. Тепловое расширение.

1.1 Все линейные размеры, в том числе и радиус отверстия увеличатся, поэтому площадь отверстия также увеличится. Изменение площади отверстия равно

\Delta S=(Rb(1+\alpha\Delta t))^2-b^2\approx2b\alpha\Delta t.\qquad (1)

Исходная печатная формула изменения площади, без исправления опечаток

1.2 Рассмотрим куб с блиной ребра $a_0$ , изготовленный из рассматриваемого материала. Длина ребра куба изменяется по закону

a=a_0(1+\alpha\Delta t).\qquad (2)

Тогда объем куба станет равным

V=a^3=a_0^3(1+\alpha\Delta t)^3\approx V_0(1+3\alpha\Delta t).\qquad (3)

При нагревании тела его масса не изменяется, поэтому плотность тела станет равной

\rho=\frac m{V_0(1+3\alpha\Delta t)}\approx\frac m{V_0}(1-3\alpha\Delta t)=\rho_0(1-3\alpha\Delta t).

Здесь мы использовали приближенную формулу $1/(1+x)\approx1-x$ . Из сравнения с формулой, приведенной в условии, находим, что

\gamma=-3\alpha.\qquad (4)

Часть2. Массы поплавков.

2.1 Поплавок находится в равновесии, если сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой Архимеда. При увеличении температуры плотность воды уменьшается, поэтому уменьшается сила Архимеда, поэтому шарик начнет тонуть.

2.2 Плавать будут те поплавки, для которых температура всплытия, больше температуры воды, а утонут те, у которых указанная на бирках температура меньше температуры воды. Поэтому температура воды лежит в диапазоне от максимальной среди плавающих поплавков, до минимальной среди утонувших поплавков. В качестве измеренной температуры можно взять среднее значение этих температур. В качестве оценки погрешности разумно взять половину разности этих температур.

2.3 При температуре всплытия сила тяжести шарика уравновешивается силой Архимеда, которая изменяется при изменении температуры:

mg=F_A.\qquad (5)

Сила Архимеда рассчитывается по формуле

F_A=\rho_0Vg=\frac{Vg}{v_0},\qquad (6)

Здесь

V=V_{\mathrm{\text{шарик}}}+V_{\mathrm{\text{бирки}}}=\frac{\pi D^3}6+\frac{m_1}{\rho_1}.\qquad (7)

— объем поплавка с биркой.
Из этих формул, следует, что масса поплавка с биркой должна быть равна

m_0+m_1=\frac1{v_0}\left(\frac{\pi D^3}6+\frac{m_1}{\rho_1}\right).\qquad (8)

Из этого уравнения находим необходимую массу бирки

m_1=\frac{(1/v_0)(\pi D^3/6)-m_0}{1-1/(\rho_1v_0)}.\qquad (8)

2.4. При учете теплового расширения стеклянного поплавка, формула(8)преобразуется к виду (связанному с изменением диаметра поплавка)

m_1=\frac{(1/v_0)(\pi D^3/6)(1+3\alpha(t-t_0))-m_0}{1-1/(v_0\rho_1)}.\qquad (9)

Из формул(8)–(9)следует, что массу каждой бирки следует увеличить на

\Delta m_1=\frac{\pi D^3/(6v_0)}{1-1/(v_0\rho_1)}\,3\alpha(t-t_0).\qquad (10)

Результаты расчетов масс бирок и их изменения, проведенные по формулам(8)и(9)приведены в Таблице.

Таблица результатов расчетов.

$t,^\circ\mathrm C$	$\rho,\mathrm{\text{г}/\text{см}^3}$	$m,\mathrm{\text{г}}$	$\Delta m,\mathrm{\text{мг}}$
15	0,99913	0,195	−0,609
20	0,99823	0,191	0,000
25	0,99707	0,186	0,608
30	0,99567	0,180	1,214
35	0,99406	0,173	1,817

2.5 Общая масса золота равна сумме всех чисел в2последних столбцах данной таблицы. Она равна

m=0{,}922\,\mathrm{\text{г}}.

В оригинале номер последней формулы напечатан «(11» без закрывающей скобки.

Примечание читателя: буквальные печатные дефекты не исправлены: в условии после закона плотности названы $V,V_0$ как объем и длина, обе формулы имеют номер(1); в ключе формула(1)содержит лишнее $R$ и отсутствие квадрата $b$ в правой части. В пункте2.2 перепутаны крайние метки плавающих и утонувших поплавков. В ключе сохранены «с блиной», повторный номер(8), указание увеличить все бирки при отрицательном первом изменении и общая масса0,922г. Изменения масс в таблице ключа даны вмг, в исходном бланке — вг.

Примечание читателя: полное оригинальное чтение, структура и архивная атрибуция

Лично прочитаны все99исходных страниц:67условий/бланков и32ключа, включая обложки, все37содержательных Листов ответов, девять дополнительных чистых листов и пустой последний лист ключа. Девять целых заданий разных классов, по три для9/10/11классов. Задание «Как измеряли Вселенную» прямо названо связанным; другие части и вопросы относятся к одному исходному заданию и общей модели. Формулы, методы, таблицы, исходные графики, фотографии и бланки ответов сохранены; буквальные печатные ошибки отмечены отдельно. В папке имеются только этот теоретический комплект и отдельные экспериментальные файлы; дополнительный теоретический рубрикатор не найден. Ключ маркирован «для жюри», но независимая публикация организатором не установлена, поэтому решения атрибутированы архиву. Длительность и баллы в этом комплекте не указаны.

Оригинал в Архива: 2023_theoretical_problems.pdf · решение от архива: 2023_theoretical_solutions.pdf