Съдържание

Условие Часть 1. Период и амплитуда Часть 2. Декремент затухания Часть 3. Период и угол наклона желоба Решение

BelPhO 2024, Областен етап, 9–11 клас — Задача 11-1. Негармонические колебания

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2024

Белорусская республиканская олимпиада по физике2024 — третий этап, экспериментальный тур,9–11классы · 60 т.

Внимание: Бележка към темата

Все70оригинальных страниц лично прочитаны:16условия,38ключ,16соответствующие критерии. Шесть целых связанных экспериментов разных классов,68номерованных запросов. Все методы, оборудование, данные, формы и полные критерии сохранены; печатные расхождения явно атрибутированы. Отдельная официальная публикация ключа не установлена, решения атрибутированы архиву.

Республиканская физическая олимпиада2024года (3этап) — экспериментальный тур, 9класс

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования — проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать рабочие страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к организаторам.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Данный комплект заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия двух заданий (5 стр.).

Республиканская физическая олимпиада2024года (3этап) — экспериментальный тур, 10класс

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования — проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать рабочие страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к организаторам.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Данный комплект заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия двух заданий (4 стр.).

Республиканская физическая олимпиада2024года (3этап) — экспериментальный тур, 11класс

Полный комплект состоит из двух заданий, на выполнение каждого отводится два с половиной часа. Сдавать работу следует после выполнения обоих заданий. Задания могут быть не равноценными, поэтому ознакомьтесь с условиями обеих задач.
Ознакомьтесь с перечнем оборудования — проверьте его наличие и работоспособность. При отсутствии оборудования или сомнении в его работоспособности немедленно обращайтесь к представителям оргкомитета.
При оформлении работы каждую задачу и каждую ее часть начните с новой страницы.
Все графики рекомендуем строить на листе миллиметровой бумаги, выданном для выполнения каждого задания. Обязательно пронумеруйте и подпишите все построенные графики. Листы миллиметровой бумаги вложите в свою тетрадь.
Подписывать рабочие страницы и графики запрещается.
В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор.
Со всеми вопросами, связанными с условиями задач (но не с их решениями), обращайтесь к организаторам.

Желаем успехов в выполнении данных заданий!

Данный комплект заданий содержит:

титульный лист (1 стр.);
условия двух заданий (4 стр.).

Решения задач (для жюри), 9класс — исходные общие указания

Задания экспериментального тура данной олимпиады предоставляют для участников большие возможности для самостоятельного выбора параметров установок, диапазонов исследования, методов измерений. Иными словами — проявить свои творческие способности. Кроме того, результаты измерений сильно зависят от предоставленного оборудования, которое может различаться в разных областях нашей Республики.

Поэтому, относитесь к приведенным ниже результатам, как к ориентировочным. Желательно (или даже обязательно) провести собственные измерения. Поэтому здесь приводятся только основные теоретические положения и результаты некоторых измерений, полученные авторами данных заданий. Методы обработки результатов измерений являются в большинстве своем, стандартными, поэтому подробно не описываются.

Решения задач (для жюри), 10класс — исходные общие указания

Решения задач (для жюри), 11класс — исходные общие указания

Условие

Оборудование: два штатива, желоб пластиковый длиной 110 см закреплённый на двух дощечках длиной 56 см каждая (ширина дощечек 5,0–6,0 см, толщина 1,0–2,0 см), шарик стальной диаметром 2,5 см, мерная лента, секундомер, линейка 40 см, скотч тонкий, ножницы.

В данной задаче Вам предстоит исследовать негармонические колебания шарика в V-образном желобе. Желоб в штативах должны установить организаторы олимпиады предварительно. Экспериментальная установка должна выглядеть как на рисунке 1. Искривлением желоба в изгибе при выводе уравнений пренебречь. Под полным колебанием будем понимать движение шарика из точки O в точку C и возврат в точку D. Угол наклона желоба $\alpha$ в части 1 и 2 задачи установите таким, чтобы $\operatorname{tg}\alpha\le0{,}08$ . При вычислениях используйте значение $g=9{,}81\ \text{м}/\text{с}^2$ .

Рисунок 1: V-образный желоб, углы α и амплитуды A0, A′, A1

Часть 1. Период и амплитуда

1.1 Получите уравнение зависимости между периодом колебания $T$ и амплитудой $A_0$ для физической модели движения шайбы по гладкой V-образной поверхности. Считайте, что в изгибе поверхности удара не происходит. В уравнении используйте так же необходимые величины указанные на рисунке 1. [6 т.]

1.2 Экспериментально исследуйте зависимость периода первого колебания шарика по V-образному желобу от начальной амплитуды $T(A_0)$ . [5 т.]

1.3 Используя результаты полученные в п. 1.2, обоснуйте, можно ли применять физическую модель движения шайбы по гладкой V-образной поверхности к колебаниям шарика по V-образному желобу. Подсказка: проверьте графически, подтверждается или нет уравнение, полученное Вами в п. 1.1. [16 т.]

Часть 2. Декремент затухания

Быстроту затухания колебаний описывают с помощью декремента затухания $D$ , который равен отношению начальных амплитуд двух последовательных колебаний

D=\frac{A_i}{A_{i+1}}=\text{const}. \qquad (1)

2.1 Исследуйте экспериментально зависимость начальной амплитуды от порядкового номера колебания $A_i(i)$ . [4 т.]

2.2 Используя результаты полученные в п. 2.1, подтвердите или опровергните справедливость уравнения (1) для колебаний шарика по V-образному желобу. Определите декремент затухания. Вычислите погрешности. [11 т.]

2.3 Окончательный результат запишите в виде $D=\langle D\rangle\pm\Delta D$ . [1 т.]

Часть 3. Период и угол наклона желоба

3.1 Получите уравнение зависимости $T(\alpha)$ между периодом $T$ первого колебания шарика по V-образному желобу и углом наклона сторон желоба $\alpha$ . Подсказка: амплитуды $A_0,A',A_1$ считайте известными и независящими от угла $\alpha$ . Если Вам понадобиться ввести в уравнение константу, то смело вводите и поясните её. В зависимости $T(\alpha)$ будет не сам угол, а некоторая тригонометрическая функция угла. [7 т.]

3.2 Исследуйте экспериментально зависимость периода колебания от угла наклона желоба $T(\alpha)$ . Угол наклона желоба увеличивайте до тех пор пока не обнаружите проскальзывание шарика по желобу во время движения. [4 т.]

3.3 Используя результаты полученные в п. 3.2, проверьте, подтверждается или нет зависимость, полученная Вами в п. 3.1. [6 т.]

Решение

Часть 1. Период и амплитуда

1.1. Движение шайбы по гладкой V-образной поверхности будет представлять собой незатухающие колебания. Движение шайбы будет равноускоренным с модулем ускорения

a=g\sin\alpha. \qquad (2)

A_0=\frac{at^2}{2}, \qquad (3)

где $t$ — время спуска или подъёма по одной стороне V-образной поверхности. Тогда период колебаний

T=4t=4\sqrt{\frac{2A_0}{a}}, \qquad (4)

или

T=4\sqrt{\frac{2A_0}{g\sin\alpha}}. \qquad (5)

1.2. Результаты экспериментального исследования зависимости $T(A_0)$ при угле наклона желоба $\tan\alpha=\frac{39\ \text{мм}}{492\ \text{мм}}=0{,}079$ представлены в табл. 1.

Таблица 1: амплитуды, все пять повторных измерений периода и средние значения

1.3. Исходя из уравнения (5), построим график линеаризованной зависимости $T(\sqrt{A_0})$ (график 1). Для этого вычислим значения $\sqrt{A_0}$ (таблица 2).

Таблица 2 и график 1: линеаризация периода по квадратному корню амплитуды

Применяя метод наименьших квадратов (можно применять простую графическую обработку, но она оценивается «дешевле»), определим коэффициенты линеаризованной зависимости и их абсолютные погрешности (таблица 3). Если данные коэффициенты совпадут с точностью до погрешности со значением коэффициентов в уравнении (5), то модель движения шайбы по гладкой V-образной поверхности можно применять к колебаниям шарика по V-образному желобу, в противном случае — нельзя.

Таблица 3: исходные значения, средние, дисперсии, ковариация и оба коэффициента с погрешностями

Получили: угловой коэффициент наклона усредняющей прямой

a=(0{,}73\pm0{,}02)\ \frac{\text{с}}{\text{см}^{1/2}},

свободное слагаемое

b=(0{,}15\pm0{,}09)\ \text{с}.

Коэффициент пропорциональности $a_{(5)}$ в уравнении (5)

a_{(5)}=4\sqrt{\frac2{g\sin\alpha}}=4\sqrt{\frac2{981\ \frac{\text{см}}{\text{с}^2}\cdot\frac{39\ \text{мм}}{492\ \text{мм}}}}=0{,}64.

Основной вклад в погрешность данного коэффициента будет вносить высота сторон V-образного желоба над поверхностью стола. В авторском эксперименте данная величина $h=(39\pm1)$ мм. Следовательно $\varepsilon_h=0{,}026$ . Можно считать, что $\varepsilon_{a_{(5)}}=\varepsilon_h=0{,}026$ ,

\Delta a_{(5)}=a_{(5)}\varepsilon_{a_{(5)}}=0{,}64\ \frac{\text{с}}{\text{см}^{1/2}}\cdot0{,}026=0{,}02\ \frac{\text{с}}{\text{см}^{1/2}}.

a_{(5)}=(0{,}64\pm0{,}02)\ \frac{\text{с}}{\text{см}^{1/2}}.

Как видим интервалы погрешностей коэффициентов $a$ и $a_{(5)}$ не перекрываются, а так же свободное слагаемое в экспериментальной зависимости (график 1) нельзя считать равным нулю так как $\langle b\rangle>\Delta b$ . Из этого следует, что экспериментальную зависимость (график 1) нельзя описывать уравнением (5), а значит модель движения шайбы по гладкой V-образной поверхности нельзя применять к колебаниям шарика по V-образному желобу.

Примечание читателя: равенство относительных погрешностей $\varepsilon_{a_{(5)}}=\varepsilon_h$ напечатано в исходном ключе и сохранено; при распространении погрешности через зависимость от $h^{-1/2}$ возникает множитель $1/2$ . Это различие не исправлено в исходном решении.

Часть 2. Декремент затухания

2.1. Результаты экспериментального исследования зависимости начальной амплитуды от порядкового номера колебания $A_i(i)$ представлены в таблице 4.

Таблица 4: номера колебаний от 0 до 12, все пять измерений амплитуд и средние

2.2. Представим уравнение (1) в виде

A_i=DA_{i+1}. \qquad (6)

Построим график зависимости $A_i(A_{i+1})$ .

Полная таблица соседних амплитуд и график 2 зависимости Ai от следующей амплитуды

Из графика видим, что экспериментальные точки легли вблизи усредняющей прямой, которая проходит через начало координат, что подтверждает прямопропорциональную зависимость $A_i(A_{i+1})$ , следовательно уравнение (6), а значит и уравнение (1) применимо для колебаний шарика по V-образному желобу.

Применяя метод наименьших квадратов, определим декремент затухания как угловой коэффициент наклона усредняющей прямой (график 2) и вычислим абсолютную погрешность (таблица 5).

Таблица 5: все пары амплитуд, статистика МНК, декремент и абсолютная погрешность

Относительная погрешность

\varepsilon_D=\frac{\Delta D}{\langle D\rangle}=\frac{0{,}02}{1{,}28}=0{,}016=1{,}6\%.

2.3. $D=(1{,}28\pm0{,}02)$ .

Часть 3. Период и угол наклона желоба

3.1. Если бы желоб был гладкий и по нему двигалась шайба, то она двигалась бы с ускорением $a=g\sin\alpha$ (2). Однако, у нас по желобу движется шарик, при движении он вращается. Следовательно часть начальной потенциальной энергии шарика преобразуется в кинетическую энергию вращения. Это приводит к тому, что уменьшается кинетическая энергия поступательного движения центра шарика, а значит ускорение поступательного движения центра шарика будет меньше чем у шайбы при том же угле наклона желоба. Но ускорение шарика будет прямо пропорционально $g$ и $\sin\alpha$ . Поэтому для ускорения шарика можем записать

a_{\text{ш}}=k_1g\sin\alpha, \qquad (7)

где $k_1<1$ — некоторый постоянный коэффициент, не зависящий от угла наклона сторон желоба, не имеющий единиц измерения.

Период первого колебания будет равен сумме временных интервалов необходимых для последовательного прохождения следующих расстояний: амплитуда $A_0$ , удвоенная амплитуда $A'$ , амплитуда $A_1$ .

T=\sqrt{\frac{2A_0}{k_1g\sin\alpha}}+2\sqrt{\frac{2A'}{k_1g\sin\alpha}}+\sqrt{\frac{2A_1}{k_1g\sin\alpha}}. \qquad (8)

T=\left(\sqrt{\frac{2A_0}{k_1g}}+2\sqrt{\frac{2A'}{k_1g}}+\sqrt{\frac{2A_1}{k_1g}}\right)\frac1{\sqrt{\sin\alpha}}. \qquad (9)

Обозначим

\sqrt{\frac{2A_0}{k_1g}}+2\sqrt{\frac{2A'}{k_1g}}+\sqrt{\frac{2A_1}{k_1g}}=k. \qquad (10)

$k$ — некоторый постоянный коэффициент с размерностью времени. Тогда уравнение (9) можно записать в виде:

T=\frac k{\sqrt{\sin\alpha}}. \qquad (11)

3.2. Результаты экспериментального исследования зависимости периода колебания от угла наклона желоба $T(\alpha)$ представлены в таблице 6.

Таблица 6: высота, гипотенуза, синус угла, все повторные периоды и средние

3.3. Построим график линеаризованной зависимости $T(1/\sqrt{\sin\alpha})$ (график 3). Вычислим значения выражения $1/\sqrt{\sin\alpha}$ (таблица 7).

Таблица 7 и график 3: все преобразованные углы, периоды, точки и прямая

Как видно из графика 3, уравнению (11) соответствуют точки удовлетворяющие неравенству $0{,}079\le\sin\alpha\le0{,}335$ , так как для точек, принадлежащих этому интервалу, усредняющая прямая экстраполируется в начало координат. Верхняя и нижняя точки на графике выпадают. Исходя из графика можно считать, что уравнение (11) выполняется для углов наклона сторон желоба $4{,}5^\circ\le\alpha\le19{,}5^\circ$ .

Полная исходная схема оценивания, страница 12: все критерии, баллы, поля участника и примечания

Полная исходная схема оценивания, страница 13: все критерии, баллы, поля участника и примечания

Полная исходная схема оценивания, страница 14: все критерии, баллы, поля участника и примечания

Примечание читателя: полный оригинальный комплект и атрибуция

Лично прочитаны все70исходных страниц:16условий,38ключа и16совпадающих схем оценивания. Шесть целых связанных экспериментов для9/10/11классов содержат68номерованных запросов. Все исходные таблицы повторных измерений, графики, схемы установок и полные критерии с полями участника сохранены. На титульных страницах напечатана олимпиада2024года и2023–2024учебный год; более поздняя дата созданияPDF схем не меняет печатный год мероприятия. Каждому классу даны два задания по150минут, весь комплект класса —5часов. Архивный ключ содержит заголовок «для жюри», но отдельная публикация организатором не установлена: атрибуция решений — архив. Общие примечания в конце схем о применении МНК и снижении оценки на50% за неверные/отсутствующие единицы сохранены вместе с таблицами. Печатные расхождения оставлены с отдельно атрибутированными примечаниями.

Отдельно атрибутированное примечание читателя к10-2: длина эллипса

Примечание читателя: формула (6) воспроизведена буквально как в условии; для общего эллипса это приближение, а не точная длина. Именно эта модель используется в архивном ключе.

Оригинал в Архива: 3_etap_2024_expiremental_problems.pdf · решение от архива: 3_etap_2024_expiremental_solutions.pdf · допълнителни данни: 3_etap_2024_expiremental_shemes.pdf