Съдържание

Условие Задача 1.Задача 2.Задача 3.Задача 4 Листы ответов Решение

BelPhO 2024, Заключителен етап — Задача 9-1. 9 кл. Задание 1. Как Уильям Томсон стал лордом Кельвином

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от BelPhO 2024

Республиканская физическая олимпиада 2024 года. Заключительный этап. Теоретический тур. 9, 10, 11 классы. Вариант 1. · 50 т.

Внимание: Бележка към темата

Сохранены печатные ошибки исходного комплекта: числовые и буквенные расхождения условий, решений и схем оценивания; некоторые повторные номера формул; заполненные образцы оценок в двух безымянных столбцах схем 11 класса. Схемы оценивания добавляют 14 страниц к 90 страницам основного комплекта. Архивный перечень из пяти задач не охватывает все классы и отдельные задачи разминок; сохранены все 12 печатных целых задач и 84 вопроса в рамках.

9 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур 9 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

4.Листы ответов содержат отдельные разделы в соответствии с пунктами полученных Вами заданий. Конечные формулы и требуемые численные значения занесите в соответствующие выделенные поля. Если по условию заданий от Вас требуется построение графика, используйте подготовленные бланки в Листах ответов, не забудьте подписать и оцифровать оси координат. 5. Все ваши работы сканируются, поэтому пишите только на одной стороне листа. Подписывать рабочие листы и листы ответов запрещается. 6. В ходе работы можете использовать ручки, карандаши, чертежные принадлежности, калькулятор. 7. После окончания работы сложите листы в следующем порядке: листы ответов; пронумерованные чистовые листы; перечеркнутые черновики. 8. Со всеми вопросами, связанными с условиями задач, обращайтесь к организаторам олимпиады. Пакет содержит:

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (8 стр.);
листы ответов (8 стр.);

9 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

9 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 9 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Задачи, предложенные школьникам для решения на олимпиаде, не стандартные и достаточно сложные. Предложенные здесь варианты путей решений не являются единственно возможными. Участники олимпиады могут предложить свои способы решения. Если эти способы приводят к правильным ответам и физически обоснованы, то задача (или ее отдельные пункты) должны оцениваться максимальными баллами. Не забывайте, что Вы должны оценивать не только конечные ответы, но и отдельные правильные шаги в ходе решения!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

10 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур 10 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (7 стр.);
листы ответов (4 стр.);

10 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

10 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 10 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

11 класс. Инструкции

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

11 класс.

Внимание! Прочтите в первую очередь.

Полный комплект состоит из 3 заданий. Для вашего удобства вопросы, на которые Вам необходимо ответить, помещены в рамки.
На отдельном листе приведены формулы приближенных вычислений, используйте их при решении задач, там, где это необходимо.
Решения задач выполняйте на отдельных чистых рабочих листах. Самостоятельно разделите их на черновики и чистовые листы. Рекомендуем сначала решать в черновике, а затем красиво оформить решение на чистовых листах. Решение каждого задания начинайте с нового чистового листа. В решении приведите рисунки (в некоторых задания рисунки необходимы, даже в том случае, когда это не оговорено в условии), исходные уравнения с кратким обоснованием, решения уравнений (комментарии к математическим выкладкам не требуются), окончательные результаты. Окончательные решения обязательно занесите в листы ответов. Чистовые листы пронумеруйте. Черновые листы после окончания работы перечеркните. Черновики проверяться не будут!

титульный лист (1 стр.);
лист математических подсказок (1 стр.);
условия 3 теоретических заданий (7 стр.);
листы ответов (5 стр.);

11 класс. Формулы приближенных вычислений

Формулы приближенных вычислений.

При решении задач Вам могут понадобиться следующие приближенные формулы

$(1+x)^\gamma\approx1+\gamma x$

формула справедлива при любых (целых. дробных, положительных, отрицательных) значениях степени $\gamma$ .

$\sin x\approx x$ , $\cos x\approx1-\frac{x^2}{2}$

аргументы тригонометрических функций должны быть заданы в радианах.

$e^x\approx1+x$ .

Комментарии.

Во всех формулах величина $x$ безразмерная и значительно меньше 1: $x\ll1$
Для использования этих формул, прежде всего необходимо привести вашу формулу к стандартному виду, которые даны здесь.
В ходе приближенных преобразований соблюдайте правило соблюдения порядка малости: если вы отбрасываете малые величины порядка $x^2$ и выше – отбрасывайте их сразу в промежуточных выкладках; если вы сохраняете величины определенного порядка, то сохраняйте их во всех преобразованиях

11 класс. Уважаемые члены жюри!

Республиканская физическая олимпиада 2024 года (Заключительный этап)

Теоретический тур

Решения задач 11 класс (для жюри)

Уважаемые члены жюри!

Не жалейте баллов (если, конечно, есть за что!) для наших замечательных школьников!

Условие

Задание состоит из 4 логично связанных между собой задач.

Уильям Томсон (1824 – 1907) – британский физик и инженер, известен своими работами в области механики, термодинамики, электродинамики. За необыкновенные заслуги Томсона в науке 1866 году Томсон был посвящён в рыцарское достоинство. В 1892 году королева Виктория пожаловала Томсону наследственное пэрство. Вследствие этого известный уже как «лорд Кельвин» стал первым британским учёным, получившим право заседать в палате лордов. Одной из самых существенных заслуг Уильяма Томсона являлось разработка теории и усовершенствование трансатлантического кабеля.

Данное задание касается изучению некоторых теоретических проблем, связанных с распространением электрического тока по длинному проводящему кабелю с неидеальной изоляцией.

Может и вам удастся получить дворянский титул?

Задача 1.

На рисунке показана электрическая цепь, состоящая из источника постоянного напряжения $U_0$ и семи резисторов, сопротивления которых указаны на рисунке. Сопротивление амперметра пренебрежимо мало.

Цепь с семью резисторами, амперметром и обозначениями токов

1.1 Рассчитайте значения сил токов через все резисторы, считая силу тока $I_3$ через амперметр известной.

Используйте обозначения сил токов, приведенные на рисунке.

Подсказка. Расчет таких цепей удобно начинать с крайних элементов. Чтобы облегчить Ваши расчеты, в Листе ответов приведена Таблица 1. Заполнять эту таблицу следует слева направо и сверху вниз. Пунктиром выделены участки цепи, сопротивления которых обозначены $R_{x3}$ , $R_{x2}$ , $R_{x1}$ , $R_{x0}$ ( $R_{x0}$ - конечно, сопротивление всей цепи). Удобно каждое следующее из этих сопротивлений выражать через предыдущее.

Приведите в Таблице 1 формулы для расчета этих сопротивлений, рассчитайте их значения, выраженные через величину $R$ . Все коэффициенты должны быть записаны в виде обыкновенных дробей. Запишите в соответствующих ячейках Таблицы 1 расчетные формулы для сил токов и их значения, выраженных через $I_3$ .

1.2 Выразите значения сил токов $I_0$ и $I_3$ через напряжение источника $U_0$ и сопротивление $R$ .

1.3 Рассчитайте численные отношений сил токов $\dfrac{I_1}{I_0}$ и $\dfrac{I_2}{I_1}$ .

Задача 2.

В цепи, показанной на рисунке сопротивления $R_1=1{,}0\,\text{Ом}$ , а сопротивления $R_2=1{,}0\,\text{кОм}$ . Напряжение источника $U_0=7{,}0\,\text{В}$ . Амперметры идеальные.

2.1 Рассчитайте значения сил токов $I_0$ и $I_1$ .

2.2 Рассчитайте разность сил токов $\Delta I=(I_0-I_1)$

Подсказка. Нет необходимости решать эту задачу абсолютно точно. Посмотрите внимательно на заданные значения сопротивлений и проведите расчет с необходимым числом значащих цифр.

Задача 3.

Бесконечная цепочка, состоящая из одинаковых звеньев, подключена к источнику постоянного напряжения $U_0$ .

Бесконечная цепь с сопротивлениями R1 и R2

Пусть в бесконечной цепочке сопротивления резисторов равны $R_1=R_0$ , $R_2=2R_0$ .

3.1 Найдите полное сопротивление цепи.

3.2 Покажите, что силы токов $I_0$ , $I_1$ , $I_2$ , ... образуют геометрическую прогрессию. Найдите отношение сил токов $\dfrac{I_1}{I_0}$ .

3.3 Получите формулу, позволяющую рассчитать значения всех сил токов $I_k$ ( $k=0,1,2,...$ ) через заданные значения $U_0$ и $R_0$ .

Подсказка. Если от бесконечности отнять единицу, то получится та же бесконечность.

Пусть в бесконечной цепочке, показанной на рисунке, сопротивления $R_2$ в несколько тысяч раз больше сопротивлений $R_1$ , что позволяет делать разумные приближения при расчетах.

3.4 Получите формулу для общего сопротивления всей цепочки, при условие $R_2\gg R_1$ .

3.5 Получите формулу для расчета силы тока в произвольном звене $I_k$ ( $k=0,1,2,...$ ) через заданные значения $U_0$ , $R_1$ , $R_2$

Задача 4

Телеграфный кабель, который изучал У. Томсон, имел достаточно сложную структуру (см. рисунок): медная жила, резиновая изоляция, броневая защита.

Для расчетов существенно:

диаметр медной жилы $d_0=20\,\text{мм}$ (удельное сопротивление меди $\rho_1=1{,}7\cdot10^{-8}\,\text{Ом}\cdot\text{м}$ );
толщина слоя резиновой изоляции $h=10\,\text{мм}$ (удельное сопротивление резины считайте равным $\rho_2=1{,}7\cdot10^{10}\,\text{Ом}\cdot\text{м}$ ).
длина кабеля $L=5000\,\text{км}$ .

Кабель проложен по дну Атлантического океана, поэтому можно считать, что внешний слой изоляции контактирует с хорошо проводящей электрический ток морской водой. Не смотря, на высокое удельное сопротивление изоляции электрический ток частично проходит через изоляционный слой и уходит в океанскую воду.

4.1 Рассчитайте электрическое сопротивление $R_1$ десяти километров ( $\Delta l=10\,\text{км}$ ) медной жилы кабеля. Рассчитайте полное сопротивление медной жилы кабеля.

4.2 Рассчитайте (приближенно, но с хорошей точностью) электрическое сопротивление $R_2$ десяти километров изоляции кабеля. Рассчитайте полное сопротивление изоляции. Учтите направление тока в изоляции.

4.3 Предложите приближенную эквивалентную электрическую схему подводного телеграфного кабеля, описывающую протекание электрических токов в кабеле.

4.4 Рассчитайте отношение силы тока на выходе из кабеля $I_1$ к силе тока на его входе $I_0$ .

Листы ответов

Оригинальный лист ответов: 9 кл. Задание 1. Как Уильям Томсон стал лордом Кельвином

Решение

Задание 1. Как Уильям Томсон стал лордом Кельвином (Решение)

Задача 1.

1.1 Расчет характеристик приведенной цепи традиционен и основан на законах параллельного и последовательного соединения проводников. Результаты расчетов приведены в Таблице 1.

Таблица 1.

Схема	Сопротивление	Силы токов
$R_{x3}$	$R_{x3}=R$	$I'_3=I_3\frac{R_{x3}}{2R}=\frac12 I_3$ ; $I_2=I_3+I'_3=\frac32 I_3$
$R_{x2}$	$R_{x2}=R+\frac{2R\cdot R_{x3}}{2R+R_{x3}}=\frac53 R$	$I'_2=I_2\frac{R_{x2}}{2R}=\frac54 I_3$ ; $I_1=I_2+I'_2=\frac{11}4 I_3$
$R_{x1}$	$R_{x1}=R+\frac{2R\cdot R_{x2}}{2R+R_{x2}}=\frac{21}{11}R$	$I'_1=I_1\frac{R_{x1}}{2R}=\frac{21}8 I_3$ ; $I_0=I_1+I'_1=\frac{43}8 I_3$
$R_{x0}$	$R_{x0}=R+\frac{2R\cdot R_{x1}}{2R+R_{x1}}=\frac{85}{43}R$

1.2 Сила тока $I_0$ определяется по закону Ома (сопротивление всей цепи есть $R_{x0}$ ):

I_0=\frac{U_0}{R_{x0}}=\frac{43}{85}\frac{U_0}{R}.\qquad (1)

В Таблице получена связь между токами, из которой следует

I_0=\frac{43}8 I_3\ \Rightarrow\ I_3=\frac8{43}I_0=\frac8{85}\frac{U_0}{R}.\qquad (2)

1.3 Требуемые отношения сил токов равны

\frac{I_1}{I_0}=\frac{11}4\frac8{43}=\frac{22}{43}\approx0{,}51,\qquad\frac{I_2}{I_1}=\frac32\frac4{11}=\frac6{11}\approx0{,}55.\qquad (3)

Задача 2.

Цепь для приближенного расчета токов утечки

2.1 В условии исходные данные заданы с двумя значащими цифрами, поэтому с такой же точностью следует проводить расчет цепи. Сопротивления $R_2$ в тысячу раз меньше сопротивлений $R_1$ . Поэтому силы токов через резисторы $R_2$ более чем в 100 раз меньше, чем силы токов через резисторы $R_1$ . Следовательно, с приемлемой погрешностью при расчете сил токов $I_0$ и $I_1$ токами через резисторы $R_2$ можно пренебречь. Поэтому эти силы токов равны

I_0\approx I_1=\frac{U_0}{7R_1}=1{,}0\,\text{А}.\qquad (4)

2.2 Разность сил токов $\Delta I=(I_0-I_1)$ равна сумме сил токов «утечки» через резисторы $R_2$ . Выберем произвольный резистор, номер которого обозначим $k\ (k=1,2,\ldots7)$ . В рамках использованного приближения, напряжение на этом резисторе равно

U'_k=U_0-I_0R_1k=\frac{U_0}7(7-k).\qquad (5)

Поэтому сила тока через этот резистор равна

I'_k=\frac{U'_k}{R_2}=\frac{U_0}{7R_2}(7-k).\qquad (6)

Осталось просуммировать эти силы токов:

\Delta I=(I_0-I_1)=\sum_{k=1}^7 I'_k=\sum_{k=1}^7\frac{U_0}{7R_2}(7-k).\qquad (7)

Элементарный расчет приводит к результату

\Delta I=\frac{U_0}{3R_2}=0{,}33\,\text{мА}.\qquad (8)

Задача 3.

3.1 Расчет сопротивления бесконечной цепочки достаточно известен. Обозначим это сопротивление $R_x$ . Если от бесконечной цепочки мысленно отключить первое звено, то сопротивление оставшейся цепочки также будет равно $R_x$ . Это позволяет построить эквивалентную схему цепочки.

Эквивалент первого звена бесконечной цепи

Запишем теперь выражение для сопротивления всей цепочки

R_x=R_1+\frac{R_xR_2}{R_x+R_2}.\qquad (9)

Это выражение следует рассматривать как квадратное уравнение для нахождения неизвестного сопротивления $R_x$ :

R_x^2-R_xR_1-R_1R_2=0.\qquad (10)

Положительный корень этого уравнения определяется по формуле (отрицательное сопротивления физического смысла не имеет):

R_x=\frac{R_1+\sqrt{R_1^2+4R_1R_2}}2.\qquad (11)

При $R_1=R_0$ , $R_2=2R_0$ сопротивление цепочки оказывается равным:

R_x=2R_0.\qquad (12)

3.2 Рассмотрим произвольное звено бесконечной цепочки, схема которого и направления сил токов показаны на рисунке. Для этих сил токов можно записать два равенства

I_{k-1}=I_k+I'_k,\qquad I_kR_x=I'_kR_2.\qquad (13)

Из этих выражений следует, что

I_k=\frac{I_{k-1}}{1+\frac{R_x}{R_2}}.\qquad (13)

Это рекуррентное соотношение определяет геометрическую прогрессию для последовательности значений сил токов. В явном виде можно записать формулу для геометрической прогрессии

I_k=\gamma^kI_0.\qquad (14)

где

\gamma=\left(1+\frac{R_x}{R_2}\right)^{-1},\quad I_0=\frac{U_0}{R_x}.\qquad (15)

3.3 Подстановка параметров цепи в эти формулы дает $\gamma=\frac12$ , $I_0=\frac{U_0}{2R_0}$ . Тогда значения всех сил токов описываются формулой

I_k=\frac{U_0}{2R_0}\cdot2^{-k}.\qquad (16)

Иными словами, после каждого звена сила тока уменьшается в два раза.

3.4 При условии $R_2\gg R_1$ в формуле (11) надо оставить только самое большое слагаемое, которое определяет сопротивление всей цепи

R_x=\frac{R_1+\sqrt{R_1^2+4R_1R_2}}2\approx\sqrt{R_1R_2}.\qquad (17)

3.5 В этом случае значения сил токов также образуют геометрическую прогрессию

Знаменатель этой прогрессии и сила тока в цепи равны

\gamma=\left(1+\frac{R_x}{R_2}\right)^{-1}=\left(1+\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}\right)^{-1}\approx\left(1-\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}\right)^{-1},\qquad I_k=\frac{U_0}{\sqrt{R_1R_2}}.\qquad (18)

Тогда явный вид формулы для значений сил токов записывается в виде:

I_k=\frac{U_0}{\sqrt{R_1R_2}}\left(1-\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}\right)^k.\qquad (19)

Задача 4

4.1 Сопротивление медной жилы длиной $\Delta l$ рассчитывается по формуле

R_1=\rho_1\frac{4\Delta l}{\pi d_0^2}.\qquad (20)

Подставив численные значения, получим (все величины в системе СИ):

R_1=1{,}7\cdot10^{-8}\frac{4\cdot10^4}{\pi\cdot(2\cdot10^{-2})^2}=0{,}54\,\text{Ом}.\qquad (21)

Сопротивление всего кабеля

R_{1\Sigma}=R_1\frac{L}{\Delta l}=0{,}54\frac{5000}{10}=270\,\text{Ом}.\qquad (22)

4.2 Ток через изоляцию протекает перпендикулярно оси кабеля, поэтому ее сопротивление равно

R_2=\rho_2\frac h{\pi\left(d+\frac h2\right)\Delta l}=1{,}7\cdot10^{10}\frac{5{,}0\cdot10^{-3}}{\pi\cdot25\cdot10^{-3}\cdot10^4}=1{,}1\cdot10^5\,\text{Ом}.\qquad (23)

Толщина изоляции сравнима с диаметром жилы, поэтому площадь поперечного сечения увеличивается по мере удаления от жилы. Поэтому в качестве разумного приближения взято сечении на половине слоя изоляции.

4.3 Не смотря на то, что кабель представляет непрерывную систему, можно разбить ее на отдельные куски некоторой длины $\Delta l$ (например 10 км). В этом случае эквивалентной схемой является бесконечная цепочка, рассмотренная в задаче 3.

4.4 Для расчета отношения сил токов на выходе и входе следует воспользоваться формулой (19)

I_1=I_0\left(1-\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}\right)^N.\qquad (24)

Здесь $N=\frac L{\Delta l}$ . Выразим отношение сопротивлений, входящих в эту формулу

\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}=\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}\frac{4\Delta l}{\pi d_0^2}\cdot\frac{\pi\left(d_0+\frac h2\right)\Delta l}{h}}=\alpha\Delta l.\qquad (25)

Введенная здесь постоянная величина, равна

\alpha=\sqrt{\frac{\rho_1}{\rho_2}\frac{4\left(d_0+\frac h2\right)}{d_0^2h}}=5{,}0\cdot10^{-7}\,\text{м}^{-1}.\qquad (26)

Теперь можно переписать формулу (24) в виде

\frac{I_1}{I_0}=\left(1-\sqrt{\frac{R_1}{R_2}}\right)^N=(1-\alpha\Delta l)^{\frac L{\Delta l}}.\qquad (27)

Можно убедиться в том, что при $\alpha\Delta l\ll1$ результаты расчетов практически не зависят от искусственно выбранного значения $\Delta l$ .

Так при $\Delta l=10\,\text{км}$ получаем

\frac{I_1}{I_0}=(1-\alpha\Delta l)^{\frac L{\Delta l}}=(1-5{,}0\cdot10^{-7}\cdot10^4)^{500}=0{,}082.\qquad (28)

т.е. сила тока уменьшилась примерно в 20 раз. Понятно, что не утечка тока являлась основной причиной неработоспособности трансатлантического кабеля!

Дополнение (от участников олимпиады не требуется). Строго говоря, в формуле (27) необходимо устремить $\Delta l\to0$ . В этом случае

\frac{I_1}{I_0}=(1-\alpha\Delta l)^{\frac L{\Delta l}}=\exp(-\alpha L)=0{,}082,

что совпадает с ранее полученным результатом.

Также можно указать смысл постоянной $\alpha$ : обратная ей величина $\frac1\alpha\approx2000\,\text{км}$ есть расстояние на котором сила тока в кабеле убывает в $e\approx2{,}7$ раз.

Схемы оценивания

Задание 1. Как Уильям Томсон стал лордом Кельвином

Схемы оценивания 9 класс. Код работы___________.

Пункт	Содержание	Всего за часть	Всего за пункт	Баллы
	Задача 1.	10
	Засчитываются правильные ответы с коэффициентами в обыкновенных дробях
1.1	Значения сил токов 6×0,5=3		3	3
1.2	Значение сопротивления всей цепи		5	5
	Значение силы тока $I_0$			1
	Значение силы тока $I_3$			1
1.3	Значение отношения $I_1/I_0$		2	1
	Значение отношения $I_2/I_1$			1
	Задача 2.	10
2.1	Основная идея – начальное пренебрежение токами через поперечные резисторы		4	3
	Значения сил токов $I_0\approx I_1$			1
2.2	Разность токов $\Delta I=(I_0-I_1)$ есть сумма токов утечки		6	2
	Значения напряжений на поперечных резисторах (5)			1
	Значения сил токов (6)			1
	Суммирование сил токов (8)			1
	Численное значение			1
	Задача 3.	15
3.1	Идея расчета – отбросить первое звено		5	2
	Уравнение (9)			1
	Решение (11)			1
	Результат (12)			1
3.2	Рекуррентное соотношение (13)		3	1
	Формула для геометрической прогрессии (14) с указанием отношения сил токов (16)			2
3.3	Формула (16)		2	2
3.4	Приближенное выражение (17)		5	2
	Значение знаменателя прогрессии			1
	Сила тока в цепи $I_0$			1
	Формула (19)			1
	Задача 4	15
	(за не правильное округление штраф -1 балл)
4.1	Формула для сопротивления (20)		3	1
	Численное значение (21)			1
	Сопротивление всего кабеля (22)			1
4.2	Формула для сопротивления изоляции		4	1
	Использованное среднее значение площади радиуса изоляции			1
	Численное значение			1
	Сопротивление всей изоляции			1
4.3	Эквивалентная схема цепочка Задачи 3		2	2
4.4	Использование формулы (24)		6	2
	Формула (27) при $N>100$			2
	Численное значение отношения сил токов			2
	ВСЕГО за задание	50

Оригинальная схема оценивания: 9 кл. Задание 1. Как Уильям Томсон стал лордом Кельвином

Оригинал в Архива: 2024_theoretical_problems.pdf · официални решения: 2024_theoretical_solutions.pdf · допълнителни данни: 2024_theoretical_shemes.pdf