НЕСФ 2003, 10. клас — Задача 1

• а) $v_0 = \sqrt{rg\sin\alpha}$

  От $a_\mathrm{n} = v_0^2/r = g\sin\alpha$.

• б) $h = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{r\cos^2\alpha\sin\alpha}{2}$

• в) $t_1 = \frac{v_0\cos\alpha}{g} = \left(\frac{r\sin\alpha}{g}\right)^{1/2}\cos\alpha$

• г) $t_2 = 4\left(\frac{r\sin\alpha}{g}\right)^{1/2}\cos\alpha$

  В решението междинният израз е отпечатан като $t_2 = \frac{2v_0\cos\alpha}{g}$, но крайната форма (и отношението $t_2/t_1 = 4$) отговаря на $t_2 = \frac{4v_0\cos\alpha}{g}$, което е и коректната стойност.

• д) 4

а) От равенството $a_\mathrm{n} = \dfrac{v_0^2}{r} = g\sin\alpha$ определяме скоростта $v_0 = \sqrt{rg\sin\alpha}$ ....... 1 точка

б) Когато нишката не е опъната, топчето се движи по парабола. Вертикалната компонента на началната му скорост (в точка $A$), е (фиг. 1)

Максималната височина е

.................... 2 точки

в) В най-горната точка вертикалната компонента на скоростта на топчето е нула $v_0\cos\alpha - gt_1 = 0$, откъдето определяме времето на издигане

........ 2 точки

г) Нишката няма да е опъната, докато, движейки се по парабола, топчето не се отдалечи отново на разстояние $r$ от точка $O$, в която е закрепен другият край на нишката. Избираме точка $O$ за начало на правоъгълна координатна система, чиято ос $x$ е хоризонтална (фиг. 2). Тогава при движението по парабола:

В момента $t = t_2$ топчето се намира на разстояние $r$ от началото $O$, т.е. $x^2 + y^2 = r^2$. Вдигаме на квадрат двете страни на уравненията за $x$ и $y$, събираме ги и след като отчетем, че $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ и $v_0^2 = r\sin\alpha$, получаваме

Корените на това уравнение са $t_2 = 0$ (началното положение в точка $A$) и

.... 4 точки

г) $t_2/t_1 = 4$ ......................................... 1 точка