Съдържание

НЕСФ 2006, 11–12 клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2006

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · Национално есенно състезание по физика – Банкя, 17-19.10.2006 · Тема за 11. – 12. клас · 17 октомври 2006 г.

Внимание: Бележка към темата

В отпечатаното решение на задача 1 е записано s=x₂−x₁, а след него е дадена положителната стойност s=ha/g. В задача 3 са запазени отпечатаните КПД=Uₙ/(U₀−Uₙ) и 1/9, въпреки несъответствието им с предходните изрази за енергията. Това са особености на източника, а не поправени физични резултати.

Условие

Задача 1. Двете подусловия на задачата са независими. И в двете подусловия приемете, че земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ .

а) На какъв ъгъл $\alpha$ спрямо вертикалата трябва да бъде наклонена оста на витлото на хеликоптер, за да може хеликоптерът да се движи с постоянна скорост $v = 30\ \mathrm{m/s}$ в хоризонтално направление (фиг. 1.1)? Масата на хеликоптера е $m = 2000\ \mathrm{kg}$ . На хеликоптера действа сила на съпротивление на въздуха с големина $f = kv^2$ , където $k = 2\ \mathrm{kg/m}$ е коефициент на пропорционалност.
$\underline{Упътване.}$ Ако ъгълът $\alpha$ е изразен в радиани, можете да използвате с точност до две значещи цифри приблизителните равенства: $\sin\alpha \approx \mathrm{tg}\alpha \approx \alpha$ , когато $\alpha < 0{,}25\ \mathrm{rad}\ (15^{\circ})$ . [5 т.]

Хеликоптер, движещ се надясно със скорост v; оста на витлото е наклонена под ъгъл α спрямо вертикалата (прекъсната линия). — Фиг. 1.1

Вагон, движещ се надясно със скорост v0; върху масичка с височина h стои топче; показани са хоризонтално разстояние s и траектория на падащото топче. — Фиг. 1.2

б) Влак се движи с постоянна скорост $v_0 = 50\ \mathrm{km/h}$ . На ръба на масичката в едно от купетата по посока на движение на влака, е поставено малко топче (фиг. 1.2). Влакът започва да спира с постоянно ускорение $a = 1\ \mathrm{m/s^2}$ . На какво разстояние $s$ от ръба на масичката в хоризонтално направление ще падне топчето? Височината на масичката е $h = 50\ \mathrm{cm}$ (5 точки)

Отговори

Решение

Задача 1. а) На фигурата са изобразени силите, действащи на хеликоптера: подемна сила на витлото $F$ , насочена по оста на витлото, сила на тежестта $G$ и сила на въздушно съпротивление $f$ . ………………[1 т. за чертеж с правилно означени сили]

Понеже хеликоптерът се движи с постоянна скорост ( $\vec{a} = 0$ ), трите сили се уравновесяват:

\vec{f} + \vec{G} + \vec{F} = 0

………………[1 т. за векторно равенство]

Проектираме векторното равенство по осите $X$ и $Y$ :
$X$ : $F\sin\alpha - f = 0$ ; ………………[0,5 т.]
$Y$ : $F\cos\alpha - G = 0$ . ………………[0,5 т.]

Като изключим $F$ , получаваме:

\mathrm{tg}\alpha = \frac{f}{G} = \frac{kv^2}{mg}\,.\ \dots\dots\dots\ [\textbf{1 т. за израз за tgα или друга функция на α}]

Приемаме, че $\alpha\ (\mathrm{rad}) \approx \mathrm{tg}\alpha$ . Така, окончателно намираме:

\alpha \approx \frac{kv^2}{mg} = \frac{2\ \mathrm{kg/m}\cdot(30\ \mathrm{m/s})^2}{2000\ \mathrm{kg}\cdot 10\ \mathrm{m/s^2}} = 0{,}09\ \mathrm{rad}\ (\approx 5{,}2^{\circ})\dots\dots\ [\textbf{1 т. за числена стойност в градуси или радиани}]

б) След като влакът започне да спира, топчето продължава да се движи спрямо Земята с начална скорост $v_0$ , насочена хоризонтално. В избраната координатна система законите за движение на топчето са:
[1 т. за чертеж с означена координатна система]

$X$ : $x_1 = v_0 t$ ; ………………[0,5 т.]
$Y$ : $y_1 = \dfrac{gt^2}{2}$ . ………………[0,5 т.]

Решение на б): координатна система O-X-Y (Y надолу); топче с начална скорост v0; вагон, движещ се равнозакъснително; отбелязани x1, x2 и s.

В същото време вагонът се движи равнозакъснително в хоризонтално направление:

x_2 = v_0 t - \frac{at^2}{2}\ \dots\dots\dots\ [\textbf{0,5 т.}].

В момента, когато топчето докосне пода, $y_1 = h$ . Оттук намираме времето за падане на топчето: $t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ ………………[0,5 т.].

В момента на падане топчето се намира на разстояние от основата на масичката:

s = x_2 - x_1\ \dots\dots\dots\ [\textbf{1 т.}].

Като заместим израза за $t$ , намираме:

s = h\,\frac{a}{g} = 5\ \mathrm{cm}.\ \dots\dots\ [\textbf{0,5 т. за буквен израз + 0,5 т. за числена стойност}].

Оригинал в Архива: esenni_2006_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2006_11-12solutions.pdf