Съдържание

НЕСФ 2006, Специална тема — Задача 1. Спиране на автомобил

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2006

Национално есенно състезание по физика 2006, Специална тема · 17 ноември 2006 г. · 10 т.

Условие

Автомобил с маса $m$ се движи със скорост $v_0$ , когато внезапно спира. Радиусът на колелата му е $r$ , разстоянието между центровете на предните и задните колела е $l$ , а центърът на масата му е на височина $h$ от шосето, на равни разстояния от колелата. Коефициентът на триене при хлъзгане е $k$ . Силата на триене при търкаляне е пренебрежимо малка. Намерете:

а) спирачния път $L$ . Приемете, че всички колела се хлъзгат през цялото време на спирането. [2 т.]

б) в какъв интервал трябва да е стойността на коефициента на триене за да не се отлепят задните колела от шосето. [3 т.]

в) спирачния път $L_1$ , ако спирачките действат само на предните колела. Отговорът изразете чрез $L$ , $k$ , $h$ и $l$ . [2 т.]

г) спирачния път $L_2$ , ако спирачките действат само на задните колела. Отговорът изразете чрез $L$ , $k$ , $h$ и $l$ . [2 т.]

д) изчислете $L_1$ и $L_2$ , ако $k = 0{,}8$ , $h = l/4$ и $L = 20$ m. [1 т.]

Отговори

Решение

а) Силите, действащи на спиращия автомобил са следните (виж Фиг. 1 [1 т])

Схема на спиращ автомобил: правоъгълен корпус върху две колела с радиус r на разстояние l едно от друго; в центъра на масата C е приложена силата mg на височина h над шосето; реакциите R1 и R2 сочат нагоре, силите на триене F_тр1 и F_тр2 сочат по посока на движението. — Фиг. 1

Ускорението на колата се създава от силите на триене $F_{\text{тр}1}$ и $F_{\text{тр}2}$ , действащи съответно на предните и задните колела. Следователно,

F_{\text{тр}1} + F_{\text{тр}2} = ma \qquad \text{(1.1)}

При хлъзгане

F_{\text{тр}i} = kR_i \qquad i = 1,\,2\ . \qquad \text{(1.2)}

Вертикалните сили се уравновесяват:

R_1 + R_2 = mg \qquad \text{(1.3)}

От (1.1), (1.2) и (1.3) следва

a = kg \qquad \text{(1.4)}

При начална скорост $v_0$ и ускорение $a$ , спирачният път $L$ е

L = \frac{v_0^{\,2}}{2a} = \frac{v_0^{\,2}}{2kg} \qquad \textbf{[1 т]} \qquad \text{(1.5)}

б) за да не се отлепят задните колела от шосето, не трябва да има въртене около хоризонтална ос при спирането. Следователно сумата от моментите на силите, действащи на колата, спрямо нейният център на масата, трябва да е нула.

F_{\text{тр}1}.h + F_{\text{тр}2}.h + R_2.\frac{l}{2} = R_1.\frac{l}{2} \qquad \text{(1.6)}

Замствайки силите на триене от (1.2), (1.6) се преобразува до

kR_1.h + kR_2.h + R_2.\frac{l}{2} = R_1.\frac{l}{2} \qquad \textbf{[1 т]} \qquad \text{(1.7)}

откъдето

R_2 = R_1\,\frac{\dfrac{l}{2} - kh}{\dfrac{l}{2} + kh} \qquad \text{(1.8)}

замествайки в (1.3), за $R_1$ се получава

R_1 = \frac{mg\left(\dfrac{l}{2} + kh\right)}{l} = mg\left(\frac{1}{2} + \frac{kh}{l}\right) \qquad \textbf{[1 т]} \qquad \text{(1.9)}

тъй като и двете реакции на опорите са положителни, то

R_1 < mg\ . \qquad \text{(1.10)}

От (1.10) и (1.9) за интервала стойности на коефициента на триене се получава

0 < k < \frac{l}{2h} \qquad \textbf{[1 т]} \qquad \text{(1.11)}

в) Силите, действащи на спиращия автомобил, в този случай са следните (виж Фиг. 2 [0,5 т])

Същата схема на автомобила, но с една-единствена сила на триене F_тр1, приложена на предното колело. — Фиг. 2

Ускорението на колата се създава само от силата на триене $F_{\text{тр}1}$ , действаща на предните колела. Следователно,

F_{\text{тр}1} = ma_1 \qquad \text{(1.12)}

уравнение (1.7) в този случай изглежда така

kR_1.h + R_2.\frac{l}{2} = R_1.\frac{l}{2} \qquad \text{(1.13)}

откъдето

R_2 = R_1\left(1 - \frac{2kh}{l}\right) \qquad \textbf{[0,5 т])} \qquad \text{(1.14)}

замествайки в (1.13)

R_1 = \frac{mg}{2\left(1 - \dfrac{kh}{l}\right)} \qquad \text{(1.15)}

използвайки (1.2) и замествайки в (1.12)

a_1 = \frac{kg}{2\left(1 - \dfrac{kh}{l}\right)} \qquad \text{(1.16)}

а спирачният път $L_1$ :

L_1 = \frac{v_0^{\,2}}{2a_1} = 2L\left(1 - \frac{kh}{l}\right) \qquad \textbf{[1 т]} \qquad \text{(1.17)}

г) Силите, действащи на спиращия автомобил, в този случай са следните (виж Фиг. 3 [0,5 т])

Същата схема на автомобила, но с една-единствена сила на триене F_тр2, приложена на задното колело. — Фиг. 3

Ускорението на колата се създава само от силата на триене $F_{\text{тр}2}$ , действаща на задните колела. Следователно,

F_{\text{тр}2} = ma_2 \qquad \text{(1.18)}

уравнение (1.7) в този случай изглежда така

kR_2.h + R_2.\frac{l}{2} = R_1.\frac{l}{2} \qquad \text{(1.19)}

откъдето

R_1 = R_2\left(1 + \frac{2kh}{l}\right) \qquad \text{(1.20)}

замествайки в (1.19)

R_2 = \frac{mg}{2\left(1 + \dfrac{kh}{l}\right)} \qquad \textbf{[0,5 т])} \qquad \text{(1.21)}

използвайки (1.2) и замествайки в (1.18)

a_2 = \frac{kg}{2\left(1 + \dfrac{kh}{l}\right)} \qquad \text{(1.22)}

а спирачният път $L_2$ :

L_2 = \frac{v_0^{\,2}}{2a_2} = 2L\left(1 + \frac{kh}{l}\right) \qquad \textbf{[1 т]} \qquad \text{(1.23)}

д) при дадените стойности за $L_1$ и $L_2$ се получава съответно

L_1 = 2.20\,\text{m}\left(1 - \frac{0{,}8}{4}\right) = 32\,\text{m} \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad \text{(1.24)}

L_2 = 2.20\,\text{m}\left(1 + \frac{0{,}8}{4}\right) = 48\,\text{m} \qquad \textbf{[0,5 т]} \qquad \text{(1.25)}

Оригинал в Архива: esenni_2006_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2006_STsolutions.pdf