Съдържание

НЕСФ 2007, Специална тема — Задача 1. Махало – нелинейност и затихване

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2007

Национално есенно състезание по физика, Враца, 16 – 18 ноември 2007 г. — Специална тема · 16 ноември 2007 г. · 10 т.

Условие

Махало – нелинейност и затихване. Тяло се люлее около точка под действие на силата на тежестта. Максималният ъгъл $\alpha_0$ на завъртане на тялото се пресмята чрез измерване на дължината x (виж Фиг. 1). h = 48.0 cm. Измерени са следните данни за зависимостта на времето за пет периода (5T) на махалото като функция на амплитудата му на трептене (дадена чрез x) (виж Табл. 1):

Схема на люлеещо се тяло: вертикалната височина h, ъгълът на завъртане α₀ и хоризонталното отместване x. — Фиг.1

Табл. 1

x, cm	5T, s	x, cm	5T, s
2.5	6.75475	15.0	6.79200
5.0	6.75825	17.5	6.80325
7.5	6.76400	20.0	6.81750
10.0	6.77125	22.5	6.83825
12.5	6.78100	25.0	6.85625

Теорията твърди, че при незатихващи трептения на махало, периодът $T(\alpha_0)$ на трептене зависи от ъгловата амплитуда $\alpha_0$ приблизително така:

T(\alpha_0) = T(0)\left[1 + k\sin^2\!\left(\frac{\alpha_0}{2}\right)\right], \qquad (1.1)

където T(0) е периодът при много малки амплитуди, а k – неизвестен коефициент. Начертайте в подходящи координати дадената зависимост и от графиката намерете:

а) периода T(0) [2 т] [2 т.]

б) коефициента k [2 т] [2 т.]

в) Изследвано е и затихването на същото махало. След като е пуснато от ъгъл $\alpha_0(0)$ в определени моменти време t след пускането му е измервано времето за 5 периода T на махалото (виж Табл. 2). Теорията твърди, че в приближение на слабо затихване [ $\alpha_0(t) - \alpha_0(t+T) \ll \alpha_0(t)$ ], малки ъгли $\alpha(t)$ и сила на съпротивление на въздуха, пропорционална на квадрата на ъгловата скорост на махалото, амплитудата на трептене $\alpha_0(t)$ зависи от t приблизително така:

\alpha_0(t) = \frac{\alpha_0(0)}{1 + \alpha_0(0)\gamma t} \qquad (1.2)

Табл.2

t, s	5T, s
60	6.785
120	6.783
180	6.780
240	6.779
300	6.776
360	6.775

Начертайте в подходящи координати дадената зависимост и от графиката намерете:

в) ъгъла $\alpha_0(0)$ [2 т] [2 т.]

г) коефициента $\gamma$ [2 т] [2 т.]

д) в най-простия модел на махало, съставено от малко топче, закачено на нишка, трептящо с малка амплитуда и действаща сила на съпротивление върху топчето $F_{съпр} = bv^2$ (v – скоростта на топчето), докажете зависимостта (1.2) и изразете коефициента $\gamma$ чрез параметрите на задачата. [2т] [2 т.]

Отговори

Решение

Решения на задачите от специалната тема

Задача 1. Махало – нелинейност и затихване. а, б) За да се обработи най-лесно графичната зависимост, трябва да се изберат такива координати, че графиката да е права линия. За да се извършват най-малко пресмятания, най-удобно е да се изчертае зависимостта $5T = f\!\left[\sin^2(\alpha_0/2)\right]$ . Тогава, ако правата се описва с уравнението $y = ax + b$ , то $b = 5T(0)$ , а $a = 5T(0)k$ . За всички измервания пресмятаме $\sin^2(\alpha_0/2)$ (виж. Табл.1 [1т.]). $\alpha_0 = \arctan(x/h)$ (h = 48.0 cm). Начертаваме графиката [1т.] (виж. Фиг.1).

Графика 5T (s) спрямо sin^2(alpha/2) с линейна регресия y = a·x + b, a = 1.78329 s, b = 6.75241 s, откъдето T(0) = 1.3505 s и k = 0.2641. — Фиг.1

Табл.1

x, cm	5T, s	$\sin^2\!\left(\dfrac{\alpha_0}{2}\right) \times 10^{-4}$
2.5	6.75475	6.77
5.0	6.75825	26.9
7.5	6.76400	59.9
10.0	6.77125	105.1
12.5	6.78100	161.4
15.0	6.79200	227.6
17.5	6.80325	302.5
20.0	6.81750	384.6
22.5	6.83825	472.7
25.0	6.85625	565.4

От параметрите на получената права се получава за периода при малки амплитуди $T(0)$ = 1.3505 s [1т.], а за неизвестния коефициент k = 0.2641 [1т.] Теоретичната стойност е k = 0.25.

в,г) От получената в първите две подусловия на задачата линейна зависимост между времето за 5 периода на трептене T на махалото и $\sin^2(\alpha_0/2)$ [ $5T = 6.75241 + 1.78329.\sin^2\!\left(\alpha_0/2\right)$ ] се намира зависимостта на амплитудата на трептене $\alpha_0(t)$ като функция на времето t (виж Табл.2) [1т.]. Ур-ие (1.2) може да се преобразува до:

\frac{1}{\alpha_0(t)} = \frac{1}{\alpha_0(0)} + \gamma t

Следователно, реципрочната стойност на моментната амплитуда $\alpha_0(t)$ на трептене е линейна функция на времето. Начертаваме графиката [1т.] (виж. Фиг.2). От параметрите на получената права се получава за началния ъгъл $\alpha_0(0)$ = 0.284 rad [1т.], а за неизвестния коефициент $\gamma$ = 0.0026 s $^{-1}$ [1т.]

Табл.2

t, s	5T, s	$\sin^2\!\left(\dfrac{\alpha_0(t)}{2}\right)$	$\alpha_0(t)$ , rad	$\alpha_0(t)^{-1}$ , rad $^{-1}$
60	6.785	0.01828	0.2712	3.68729
120	6.783	0.01715	0.2627	3.80664
180	6.78	0.01547	0.24941	4.0094
240	6.779	0.01491	0.24483	4.08448
300	6.776	0.01323	0.23054	4.33765
360	6.775	0.01267	0.22558	4.43304

д) за намиране на зависимостта на амплитудата на трептене $\alpha_0(t)$ от времето първо намираме извършената работа на силата на съпротивление $F_{съпр} = bv^2$ за четвърт период:

A_{T/4} = \int_0^{\alpha_0(t)} dA = \int_0^{\alpha_0(t)} -F_{съпр}\,dx = -\int_0^{\alpha_0(t)} bv^2 l\,d\alpha \qquad (1.1)

Използвайки закона за запазване на енергията, който при слабо затихване е спазен за интервал време от порядъка на един период, скоростта $v(\alpha)$ е:

v(\alpha) = \sqrt{2gl(\cos\alpha - \cos\alpha_0)} \qquad (1.2)

За работата $A_{T/4}$ получаваме:

A_{T/4} = -2bgl^2\int_0^{\alpha_0(t)}(\cos\alpha - \cos\alpha_0)\,d\alpha = -2bgl^2[\sin\alpha_0(t) - \alpha_0(t)\cos\alpha_0(t)] \qquad (1.3)

Графика 1/alpha (rad^-1) спрямо t (s) с линейна регресия y = a·x + b, a = 0.0026 s^-1, b = 3.52 rad^-1, откъдето α(0) = 0.284 rad и γ = 0.0026 s^-1. — Фиг. 2

Използвайки дадените приближени формули за тригонометричните функции, (1.3) се преобразува до

A_{T/4} = -2bgl^2\left\{\left[\alpha_0(t) - \frac{\alpha_0(t)^3}{6}\right] - \alpha_0(t)\left[1 - \frac{\alpha_0(t)^2}{2}\right]\right\} = -2bgl^2\frac{\alpha_0(t)^3}{3} \qquad (1.4)

Работата $A_T$ за един период е $A_T = 4A_{T/4} = -\dfrac{8}{3}bgl^2\alpha_0(t)^3$ [0.5 т.] (1.5)

За време, равно на един период, енергията на махалото ще намалее с

\Delta E = \frac{dE}{dt}T = \frac{dE}{d\alpha}\frac{d\alpha}{dt}T = \frac{d}{d\alpha}\{mgl[1 - \cos\alpha_0(t)]\}\frac{d\alpha_0(t)}{dt}T = mglT\sin\alpha_0(t)\frac{d\alpha_0(t)}{dt} \quad [\mathbf{0.5т.}] \qquad (1.6)

Приравнявайки (1.5) и (1.6) при малки ъгли ( $\sin\alpha_0 \approx \alpha_0$ ) се получава

-\frac{8}{3}bgl^2\alpha_0(t)^3 = mglT\alpha_0(t)\frac{d\alpha_0(t)}{dt} \qquad (1.7)

След преобразования (1.7) изглежда така: $\dfrac{d\alpha}{\alpha_0(t)^2} = -\dfrac{8}{3}\dfrac{bl}{mT}dt$ [0.5т.] (1.8)

След интегриране на двете страни на равенството се получава: $-\dfrac{1}{\alpha_0(t)} = -\dfrac{8}{3}\dfrac{bl}{mT}t + C$ (1.9)

От началните условия ( $t = 0$ , $-\dfrac{1}{\alpha_0(0)} = C$ ), следователно $-\dfrac{1}{\alpha_0(t)} = -\dfrac{8}{3}\dfrac{bl}{mT}t - \dfrac{1}{\alpha_0(0)}$ (1.10)

или $\alpha_0(t) = \dfrac{\alpha_0(0)}{1 + \alpha_0(0)\dfrac{8}{3}\dfrac{bl}{mT}t}$ . Сравнявайки с дадената зависимост $\gamma = \dfrac{8}{3}\dfrac{bl}{mT}$ [0.5т.] (1.11)

Оригинал в Архива: esenni_2007_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2007_STsolutions.pdf