Съдържание

НЕСФ 2008, Специална тема — Задача 1. Устойчивост при плаване

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2008

Национално есенно състезание по физика, Стара Загора, 22-23 ноември 2008 г. — Специална тема · 22 ноември 2008 г. · 10 т.

Условие

а) Еднороден паралелепипед с плътност $\rho$ , размери на основата $L \times L$ и височина $H$ е потопен във вода с плътност $\rho_0$ ( $\rho \le \rho_0$ ). Височината на паралелепипеда е перпендикулярна на водната повърхност. Получете израз за дълбочината на потапяне $h$ на долната основа като функция на $H$ , $\rho$ и $\rho_0$ . [1 т.]

Схема: правоъгълен паралелепипед с квадратна основа L×L и височина H, потопен вертикално във вода; дълбочината на потапяне h е означена със скоба. — Еднороден паралелепипед с основа $L\times L$ и височина $H$ , потопен във вода на дълбочина $h$ .

б) Помощна задача. Дадена е еднородна тънка пластина $ABCD$ с формата на трапец с прав ъгъл при върха $A$ . Дължините на основите са $AB = a$ и $CD = b$ , а височината е $AD = L$ . Осите $X$ и $Y$ на координатната система са по страните $AB$ и $AD$ съответно. Изразете координатите $x_M$ и $y_M$ на центъра на масата на пластината като функция на $a$ , $b$ и $L$ . [2 т.]

Правоъгълен трапец ABCD в координатна система: A в началото, B по оста X, D по оста Y, C горе вдясно. — Тънка пластина $ABCD$ с формата на трапец с прав ъгъл при върха $A$ ; осите $X$ и $Y$ са по страните $AB$ и $AD$ .

в) Тялото, описано в т. а), е наклонено така, че височината му да сключва ъгъл $\theta$ с вертикалата и два от ръбовете на основата му остават хоризонтални. Тялото е потопено на такава дълбочина, че резултантната сила, която му действа е нула. Изразете въртящия момент, който действа на тялото като функция на $H$ , $\rho$ , $\rho_0$ и $\theta$ . [3 т.]

Правоъгълник, наклонен на ъгъл theta спрямо пунктирана вертикална ос, пресечен от хоризонталната водна повърхност. — Наклонено тяло: височината му сключва ъгъл $\theta$ с вертикалата, два от ръбовете на основата остават хоризонтални.

г) При какви стойности на отношението $L/H$ вертикалното положение на паралелепипеда е устойчиво? Изразете отговора чрез $\rho$ и $\rho_0$ . [2 т.]

д) От материал с каква плътност $\rho$ трябва да бъде изработен куб, който да плава устойчиво във вода, когато две от основите му са хоризонтални? Плътността на водата е $\rho_0 = 1000$ kg/m $^3$ . [2 т.]

Отговори

Решение

а) От равенството на силата на тежестта и Архимедовата сила получаваме:

(1)\qquad \rho L^2 H g = \rho_0 L^2 h g

[0.5]

(2)\qquad h = H\,\frac{\rho}{\rho_0}

[0.5]

б) Разделяме мислено пластинката на два триъгълника – $ABC$ и $ADC$ . Площите на двата триъгълника са съответно:

(3)\qquad S_1 = \frac{aL}{2}\quad\text{и}\quad S_2 = \frac{bL}{2},

а координатите на техните центрове на масите – съответно:

(4)\qquad \begin{aligned} x_1 &= \tfrac{1}{3}(a+b) & x_2 &= \tfrac{1}{3}b \\ y_1 &= \tfrac{1}{3}L & y_1 &= \tfrac{2}{3}L \end{aligned}

Тъй като масите на двата триъгълника са пропорционални на техните площи, за центъра на масата на пластинката намираме:

(5)\qquad x_M = \frac{S_1 x_1 + S_2 x_2}{S_1 + S_2} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3(a+b)}

[1.0]

(6)\qquad y_M = \frac{S_1 y_1 + S_2 y_2}{S_1 + S_2} = \frac{L(a+2b)}{3(a+b)}\,.

[1.0]

в) Напречното сечение $ABCD$ на потопената част от тялото има трапецовидна форма. Означаваме $a = AB$ ; $b = CD$ . Обемът на потопената част е:

(7)\qquad V = \frac{(a+b)L^2}{2}\,.

От условието $F_A = G$ за уравновесяване на силите имаме:

(8)\qquad \frac{a+b}{2} = H\,\frac{\rho}{\rho_0} \equiv h\,.

От друга страна:

(9)\qquad a - b = L\tan\theta,

откъдето намираме:

(10)\qquad a = h + \tfrac{1}{2}L\tan\theta \quad\text{и}\quad b = h - \tfrac{1}{2}L\tan\theta\,.

Архимедовата сила е приложена в центъра $M$ на масата на „изместената“ вода (метацентъра), който съсгласно с (5), (6) и (10) има координати:

(11)\qquad x_M = \frac{h}{2} + \frac{L^2\tan^2\theta}{24h}

[0.5]

(12)\qquad y_M = \frac{L}{2} - \frac{L^2\tan\theta}{12h}\,.

[0.5]

В същата координатна система координатите на центъра $N$ на масата на паралелепипеда са:

(13)\qquad x_N = \frac{H}{2};

[0.1]

(14)\qquad y_N = \frac{L}{2}\,.

[0.1]

Силата на тежестта и Архимедовата сила образуват двойка сили с въртящ момент:

(15)\qquad M = mg\cos\theta\,(y_M - y_N) - mg\sin\theta\,(x_M - x_N),

[1.0]

като въртящият момент е приет за положителен, когато води до увеличаване на ъгъла $\theta$ , т.е. по посоката на въртене на часовниковата стрелка. Като използваме формулите (11) – (14), получаваме:

(16)\qquad M = \frac{mg\sin\theta}{24h\cos^2\theta}\left(12H^2\,\frac{\rho}{\rho_0}\left(1-\frac{\rho}{\rho_0}\right)\cos^2\theta - L^2(1+\cos^2\theta)\right).

[0.8]

г) Вертикалното положение е устойчиво, когато при малък ъгъл $\theta$ на отклонение знакът на въртящия момент е противоположен на знака на ъгъла. [0.5]

В приближение на малки ъгли $\sin\theta \approx \theta$ и $\cos\theta \approx 1$ . Следователно в този случай:

(17)\qquad M \approx -\frac{mg\theta}{12h}\left(L^2 - 6H^2\,\frac{\rho}{\rho_0}\left(1-\frac{\rho}{\rho_0}\right)\right)

[0.5]

и условието за устойчивост е:

(18)\qquad \frac{L}{H} > \sqrt{6\,\frac{\rho}{\rho_0}\left(1-\frac{\rho}{\rho_0}\right)}\,.

[1.0]

д) За куб $L/H = 1$ . Полагаме $x = \rho/\rho_0$ и получаваме следното условие за устойчивост:

(19)\qquad 1 > \sqrt{6x(1-x)},

откъдето:

(20)\qquad 6x^2 - 6x + 1 > 0\,.

[0.5]

Нулите на квадратния тричлен са:

(21)\qquad x_{1,2} = \frac{3 \mp \sqrt{3}}{6} = \begin{cases} 0.211 \\ 0.789 \end{cases}.

[0.5]

Условието е изпълнено, когато $0 < x < x_1$ или $x_2 < x < 1$ (вж. фигурата). Следователно плътността на материала трябва да бъде:

(22)\qquad 0 < \rho < 211\ \mathrm{kg/m^3}\quad\text{или}\quad 789\ \mathrm{kg/m^3} < \rho < 1000\ \mathrm{kg/m^3}\,.

[1.0]

Трапец ABCD с начертани диагонали и медиани; отбелязани точки (x1,y1) и (x2,y2) — центровете на масите на двата триъгълника. — Разделяне на трапеца $ABCD$ на триъгълниците $ABC$ и $ADC$ с центровете на масите им $(x_1,y_1)$ и $(x_2,y_2)$ .

Наклонен правоъгълник ABCD с оси X и Y, ъгъл theta спрямо вертикалата; вектор G надолу от точка N и вектор F_A нагоре от точка M. — Наклоненото тяло с ъгъл $\theta$ : център на масата $N$ със силата на тежестта $\mathbf{G}$ и метацентър $M$ с Архимедовата сила $\mathbf{F}_A$ .

Парабола y = 6x^2 − 6x + 1, пресичаща оста x малко след 0,2 и малко преди 0,8; на оста са отбелязани 0.5 и 1.0. — Графика на $y = 6x^2 - 6x + 1$ с нулите ѝ около $x = 0{,}211$ и $x = 0{,}789$ .

Оригинал в Архива: esenni_2008_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2008_STsolutions.pdf