Съдържание

НЕСФ 2009, Специална тема — Задача 1. Развиване на кабел

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2009

Национално есенно състезание по физика, Варна, 31 октомври 2009 г. — Специална тема · 31 октомври 2009 г. · 10 т.

Условие

На идеално гладка хоризонтална плоскост лежи малка шайба с маса $M$ , свързана с дълъг, тънък и безмасов кабел с дължина $L_0$ , другият край на който е свързан с вертикален цилиндричен стълб с радиус $R$ (Фигура 1). Първоначално кабелът е изцяло намотан върху цилиндъра, но започва да се развива, когато на шайбата й се предава начална скорост $V_0$ .

Изглед отгоре: окръжност с радиус R (сечението на цилиндричния стълб); от точка на окръжността излиза къс участък кабел до шайбата M, чиято скорост V0 е насочена перпендикулярно на кабела; ъгълът на завъртане θ е отбелязан в центъра между началния и текущия радиус. — Фигура 1

а) Запазва ли се моментът на импулса на шайбата и ако не, кой е законът който се запазва? Защо? [2 т.]

б) Намерете за колко време кабелът изцяло ще се развие от цилиндъра. [3 т.]

в) Намерете уравнението на движение от гледна точка на обобщения ъгъл $\theta$ на завъртане, спрямо началното положение (Фигура 1), като функция на времето. [4 т.]

г) Какво ще се случи, когато кабелът изцяло се развие, ако той е достатъчно здрав и добре закрепен към цилиндъра? [1 т.]

Отговори

Решение

а) Моментът на импулса на шайбата не се запазва, понеже имаме приложен въртящ момент от страна на кабела (допирната точка на кабела върху цилиндъра се мести)[1т]. От друга страна, енергията се запазва, понеже силата на опън от страна на кабела е винаги перпендикулярна на скоростта на шайбата, и следователно не върши работа[1т].

б) От това, че енергията се запазва, следва и че скоростта $V_0$ на шайбата се запазва по големина. За малко време $dt$ , шайбата изминава малък път $ds = V_0 dt$ , а от Фигура 1 се вижда, че $ds = Ld\theta$ , а удължението на кабела се е развило от стълба $\Rightarrow dl = Rd\theta \Rightarrow$

V_0 dt = \frac{L}{R} dl \Rightarrow R V_0 \int_0^T dt = \int_0^{L_0} L\, dl

$\Rightarrow$ времето $T$ , за което кабелът изцяло ще се развие е

T = \frac{L_0^2}{2RV_0} \qquad [3\text{т}]

Геометрия за безкрайно малко завъртане: окръжност с радиус R; при завъртане на dθ допирната точка се измества с dl, а свободната част на кабела нараства от L до L + dl; шайбата M преминава на разстояние ds = V0 dt със скорост V0, перпендикулярна на кабела. — Фигура 1 (към решението на задача 1)

в) От това, че енергията се запазва, имаме:

E = \frac{mV_0^2}{2} = const,

от друга страна, $ds = V_0 dt$ , както и от Фигура 1 имаме $ds = Ld\theta$ , развитата дължина $L$ можем да изразим от ъгъла на завъртане $\theta$ по следния начин: $L = R\theta \Rightarrow$

V_0 = R\theta\dot{\theta},

а за енергията получаваме:

E = \frac{mR^2\theta^2\left(\dot{\theta}\right)^2}{2} = const.

Диференцирайки горното равенство по времето, получаваме уравнението на движение:

\left(\dot{\theta}\right)^2\theta + \theta^2\ddot{\theta} = 0

За $\theta \neq 0 \Rightarrow$

\frac{d}{dt}\left(\dot{\theta}\theta\right) = \frac{d^2}{dt^2}\left(\frac{\theta^2}{2}\right) = 0

Решението на последното уравнение е $\theta^2 = At + B$ , а от началните условия имаме:

\theta(0) = 0 \Rightarrow B = 0

\theta(0)\dot{\theta}(0) = V_0 / R \Rightarrow A = 2V_0 / R

Окончателно получаваме:

\theta(t) = \sqrt{(2V_0 t)/R} \qquad [4\text{т}]

г) След като кабелът напълно се развие, той ще се навие върху цилиндъра, но в обратна посока [1т]

Оригинал в Архива: esenni_2009_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2009_STsolutions.pdf