Съдържание

НЕСФ 2010, Специална тема — Задача 1. Изкачване на бордюр

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2010

Национално есенно състезание по физика 2010, Специална тема · 5 ноември 2010 г. · 10 т.

Условие

Автомобил с маса $m$ и радиус на колелата $R$ трябва да изкачи бордюр с височина $h$ , както е показано на фигурата. Разстоянието между осите на предните и на задните колела е $L$ . Центърът на масата $C$ на автомобила е разположен симетрично спрямо предната и задната оси. При изкачване на бордюра предните и задните гуми не приплъзват спрямо пътя. Автомобилът се движи толкова бавно, че на практика се намира в състояние на статично равновесие. Удобно е да изразите аналитичните отговори чрез „ъгъла на атака“ $\alpha$ , както е дефиниран на чертежа, вместо непосредствено чрез височината $h$ .

Схематичен страничен изглед на автомобил с две колела, изкачващ бордюр; означени h, L, R, C и ъгъл алфа. — Чертеж към задача 1: автомобил пред бордюр с височина $h$ ; означени са предните и задните колела, центърът на масата $C$ , междуосието $L$ , радиусът $R$ и ъгълът на атака $\alpha$ .

А) Приемете, че автомобилът е със задвижване на предните колела, т.е. въртящият момент $M$ на двигателя е приложен към предната ос, а задните гуми могат да се въртят свободно. В този случай определете:

А1. Минималния коефициент $\mu$ на триене между гумите и пътя, за да може автомобилът да премине бордюра, без гумите да боксуват, както и общата сила на реакция $N_1$ , с която бордюрът действа върху предните гуми.

А2. Минималния въртящ момент $M$ върху предната ос, нужен за преодоляване на бордюра. [4 т.]

Б) Разгледайте автомобил със задвижване на задните колела, т.е. в случая въртящият момент $M$ на двигателя е приложен към задната ос, а предните гуми могат да се въртят свободно. В този случай определете:

Б1. Минималния коефициент $\mu$ на триене между гумите и пътя, за да може автомобилът да премине бордюра, без гумите да боксуват, както и общата сила на реакция $N_1$ , с която бордюрът действа върху предните гуми.

Б2. Минималния въртящ момент $M$ върху задната ос, нужен за преодоляване на бордюра. [4 т.]

В) Нека автомобилът има следните данни: $m = 1000$ kg, $R = 0.3$ m, $L = 2.5$ m, височината на бордюра е $h = 0.1$ m и $g = 10$ m/s $^2$ . Попълнете със съответните числени стойности таблицата:

Задвижване на	$\mu$	$N_1$ (N)	$M$ (N·m)
предни колела
задни колела

[2 т.]

Отговори

Решение

А1) На фигурата са показани силите, които действат на автомобила. Върху задната гума не действа сила на триене, защото тя се върти свободно.

Чертеж на автомобил с две колела върху бордюр; означени сили f, N1, N2, G, размери h, L, R и център C.

[1 т] – × 0.25 т за правилно начертана сила

От условието за баланс на силите по $X$ :

N_1\sin\alpha = f\cos\alpha\,; \qquad \text{(1)}\quad \textbf{[0.5 т]}

и по $Y$ :

N_1\cos\alpha + f\sin\alpha + N_2 = mg\,. \qquad \text{(2)}\quad \textbf{[0.5 т]}

Записваме условие за уравновесяване на въртящите моменти спрямо предната ос:

fR + mg\,\frac{L}{2} = N_2 L \qquad \text{(3)}\quad \textbf{[0.5 т]}

От трите уравнения определяме:

f = \frac{mgL\sin\alpha}{2(R\sin\alpha + L)} \qquad \text{(4)}\quad \textbf{[0.25 т]}

N_1 = \frac{mgL\cos\alpha}{2(R\sin\alpha + L)} \qquad \text{(5)}\quad \textbf{[0.25 т]}

За да се движи автомобилът без боксуване, е нужно $f \le \mu N_1$ , откъдето определяме:

\mu \ge \tan\alpha \qquad \text{(6)}\quad \textbf{[0.5 т]}

А2) Разглеждаме предната гума като отделно тяло. От условието за уравновесяване на въртящите моменти върху гумата:

M = fR = \frac{mgLR\sin\alpha}{2(R\sin\alpha + L)} \qquad \text{(7)}\quad \textbf{[0.5 т]}

Б1) Действащите в този случай сили са представени на чертежа:

[1 т] – × 0.25 т за правилно начертана сила

Чертеж на автомобил с две колела върху бордюр; силата на триене f е приложена на задното колело.

От условито за баланс на силите по $X$ :

N_1\sin\alpha = f\,; \qquad \text{(8)}\quad \textbf{[0.5 т]}

и по $Y$ :

N_1\cos\alpha + N_2 = mg\,. \qquad \text{(9)}\quad \textbf{[0.5 т]}

Записваме условие за уравновесяване на въртящите моменти спрямо предната ос:

fR + mg\,\frac{L}{2} = N_2 L \qquad \text{(10)}\quad \textbf{[0.5 т]}

От трите уравнения (8) – (10) определяме:

f = \frac{mgL\sin\alpha}{2(R\sin\alpha + L\cos\alpha)} \qquad \text{(11)}\quad \textbf{[0.25 т]}

N_1 = \frac{mgL}{2(R\sin\alpha + L\cos\alpha)} \qquad \text{(12)}\quad \textbf{[0.25 т]}

N_2 = \frac{mg(2R\sin\alpha + L\cos\alpha)}{2(R\sin\alpha + L\cos\alpha)} \qquad \text{(13)}\quad \textbf{[0.25 т]}

За да се движи автомобилът без боксуване е нужно $f \le \mu N_2$ , откъдето определяме:

\mu \ge \frac{L\sin\alpha}{L\cos\alpha + 2R\sin\alpha} = \frac{\tan\alpha}{1 + 2\!\left(R/L\right)\tan\alpha} \qquad \text{(14)}\quad \textbf{[0.25 т]}

Б2) Аналогично на т. А2) въртящият момент на двигателя се уравновесява от въртящия момент на силата на триене:

M = fR = \frac{mgLR\sin\alpha}{2(R\sin\alpha + L\cos\alpha)} \qquad \text{(15)}\quad \textbf{[0.5 т]}

В) При зададената височина $h$ имаме:

\cos\alpha = 1 - \frac{h}{R} = \frac{2}{3} \approx 0.667\,;\quad \sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} \approx 0.745\,;\quad \tan\alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \approx 1.12 \qquad \textbf{[0.5 т]}

Като използваме останалите числени данни, попълваме таблицата:

Задвижване на	$\mu$	$N_1$ (N)	$M$ (N·m)
предни колела	1.12	3060	1030
задни колела	0,88	6610	1480

[1.5 т] – по 0.25 т за всяка правилно пресметната стойност

Оригинал в Архива: esenni_2010_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2010_STsolutions.pdf