Съдържание

НЕСФ 2011, 10. клас — Задача 1. Намали скоростта – спести гориво

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2011

Национално есенно състезание по физика, Варна, 12–13 ноември 2011 г. — Тема за 10. клас · 12 ноември 2011 г. · 10 т.

Условие

Разходът на гориво на автомобил при движение със скорост $v = 100\ \mathrm{km/h}$ по хоризонтален път е $D = 0{,}1\ \ell\mathrm{/km}$ . Топлината на изгаряне на горивото* е $\lambda = 50\ \mathrm{MJ}/\ell$ , а коефициентът на полезно действие на двигателя – $\eta = 20\%$ .

Масата на автомобила е $m = 1000\ \mathrm{kg}$ , земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Приемете, че силата $f$ на въздушно съпротивление, действаща на автомобила, е пропорционална на квадрата на неговата скорост $v$ : $f = cv^2$ , където $c$ е коефициент на пропорционалност.

* Топлината на изгаряне $\lambda$ е равна на количеството топлина, което се отделя при изгаряне на 1 литър гориво.

** Наклонът на пътя се дефинира като $k = h/s$ , където $h$ е промяната на височината при изминаване на разстояние $s$ по пътя.

А) Получете израз и пресметнете силата $f$ на въздушно съпротивление, която действа на автомобила при тази скорост. [3 т.]

Б) Какъв ще бъде разходът $D_1$ на гориво при движение на автомобила със същата скорост нагоре по път с наклон $k = 0{,}05$ **? [3,5 т.]

В) С каква скорост $v_1$ трябва да се движи автомобилът по наклонения път така, че разходът на гориво да бъде същия, както при движение със скорост $v$ по хоризонтален път? [3,5 т.]

Отговори

Решение

А) Когато автомобилът изминава разстояние $s$ , двигателят му консумира гориво с обем:

$V = Ds$ , [0,5 т]

при изгарянето на което се отделя количество топлина:

$Q = \lambda V = D\lambda s$ . [0,5 т]

От това количество топлина в полезна работа се трансформира:

$A = \eta Q = \eta D\lambda s$ . [0,5 т]

Понеже автомобилът се движи с постоянна скорост по хоризонтален път, не се променят нито неговата кинетична, нито неговата потенциална енергия. Следователно сумарната работа на двигателя и на силата на триене е нула:

$A - fs = \eta D\lambda s - fs = 0$ [1,0 т]

Оттук получаваме:

$f = \eta D\lambda = 0{,}2\cdot 0{,}1\cdot 10^{-3}\ \ell\mathrm{/m}\cdot 50\cdot 10^{6}\ \mathrm{J}/\ell = 1000\ \mathrm{N}$ [0,5 т]

Б) Когато автомобилът изминава разстояние $s$ по наклонен път, автомобилът се издига на височина:

$h = ks$ [0,5 т]

и потенциалната му енергия се увеличава с:

$\Delta E_p = mgh = mgks$ . [0,5 т]

Понеже автомобилът се движи с постоянна скорост, неговата кинетична енергия е постоянна, т.е. $\Delta E_k = 0$ . [0,5 т]

Работата, която извършва двигателят, е:

$A = \eta D_1\lambda s$ ,

където $D_1$ е новият разход на гориво. От закона за запазване на енергията следва:

$\Delta E_p + \Delta E_k = mgks = \eta D_1\lambda s - fs$ , [1,0 т]

откъдето намираме:

$D_1 = \dfrac{mgk + f}{\eta\lambda} = 1{,}5\cdot10^{-4}\ \ell\mathrm{/m} = 0{,}15\ \ell\mathrm{/km}$ [1,0 т]

В) Когато автомобилът се движи със скорост $v_1$ , му действа сила на триене:

$f_1 = cv_1^2$ . [0,5 т]

От друга страна

$c = \dfrac{f}{v^2}$ , [0,5 т]

откъдето следва:

$f_1 = f\left(\dfrac{v_1}{v}\right)^2$ . [0,5 т]

От закона за запазване на енергията следва:

$\Delta E_p + \Delta E_k = mgks = \eta D\lambda s - f\left(\dfrac{v_1}{v}\right)^2 s$ , [1,0 т]

откъдето намираме:

$v_1 = v\sqrt{\dfrac{\eta D\lambda - mgk}{f}} = v\sqrt{1 - \dfrac{mgk}{f}} \approx 71\ \mathrm{km/h}$ . [1,0 т]

Оригинал в Архива: esenni_2011_10problems.pdf · официални решения: esenni_2011_10solutions.pdf