Съдържание

НЕСФ 2011, Специална тема — Задача 1. Интерференция от три процепа

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2011

Национално есенно състезание по физика, Варна, 12.11.2011 – 13.11.2011 г. — Специална тема · 12 ноември 2011 г. · 10 т.

Условие

Три процепа с незначителна ширина са изрязани успоредно върху екран, както е показано на Фигура 1. Разстоянието между процепите е съответно $\mathrm{d}_1$ и $\mathrm{d}_2$ . Върху екрана с процепите пада монохроматична светлина с дължина на вълната $\lambda$ . Да се намери:

Фигура 1. Трите процепа и разстоянията между тях.

а) Разпределението на интензитета $\mathrm{I}$ на електричното поле от другата страна на екрана като функция на ъгъла $\theta$ (мерен спрямо нормалата към екрана) на голямо разстояние от процепите, ако единичен процеп дава интензитет $\mathrm{I}_0$ ; [2 т.]

б) Колко ще е интензитетът $\mathrm{I}$ на абсолютните максимуми; [2 т.]

в) При какво отношение на $\mathrm{d}_1$ и $\mathrm{d}_2$ ще имаме абсолютен максимум в направление с ъгъл $\theta$ ; [2 т.]

г) При какви ъгли $\theta_0$ и $\theta_1$ се наблюдава нулевият и първият абсолютен максимум в случай че $\mathrm{d}_1 = \mathrm{d}_2 = \mathrm{d}$ ; [2 т.]

д) Нека вместо три да имаме четири процепа на равни разстояния $\mathrm{d}$ един от друг. Намерете интензитета $\mathrm{I}$ на абсолютния максимум, ако единичен процеп дава интензитет $\mathrm{I}_0$ . Да се изведе обща формула за интензитета на абсолютния максимум за $\mathrm{N}$ процепа, отстоящи на равни разстояния $\mathrm{d}$ един от друг. [2 т.]

Решение

Решение от официалния PDF

а) Нека електричните полета далеч от екрана и създавани от всеки процеп в направление $\theta$ да са:

\mathrm{E}_1 = \mathrm{E}_0 e^{i\omega t + i\phi 1}

\mathrm{E}_2 = \mathrm{E}_0 e^{i\omega t + i\phi 2}\quad \text{[0.5т]}

\mathrm{E}_3 = \mathrm{E}_0 e^{i\omega t + i\phi 3}

Тогава пълното електрично поле е

\mathrm{E} = \mathrm{E}_1 + \mathrm{E}_2 + \mathrm{E}_3 \quad \text{[0.5т]}

За простота нека изберем $\phi_1 = 0$ . Изразяваме $\phi_2$ и $\phi_3$ чрез разликата в оптичните пътища (виж Фигура 1.)

Фигура 1. Оптичните пътища в първия официален вариант.

Тогава за интензитета имаме:

\mathrm{I} \sim |\mathrm{E}|^2 = \mathrm{E}_0^2\left(3 + 2\cos\phi_2 + 2\cos\phi_3 + 2\cos(\phi_2+\phi_3)\right) \quad \text{[0.5т]}

Или окончателно имаме:

\mathrm{I} = \mathrm{I}_0\left(3 + 2\cos\frac{2\pi \mathrm{d}_1\sin\theta}{\lambda} + 2\cos\frac{2\pi \mathrm{d}_2\sin\theta}{\lambda} + 2\cos\frac{2\pi(\mathrm{d}_1+\mathrm{d}_2)\sin\theta}{\lambda}\right) \quad \text{[0.5т]}

б) Очевидно интензитетът осцилира за двете функции и ще е максимално голям когато и двете функции са максимални, тоест:

\mathrm{I}_{\max} = 9\mathrm{I}_0 \quad \text{[2т]}

Освен абсолютния максимум ще има и по-малки максимуми.

в) За да имаме абсолютен максимум в направление $\theta$ , трябва да се удовлетворяват следните две равенства

\frac{2\pi \mathrm{d}_1}{\lambda}\sin\theta = 2\mathrm{n}\pi \quad (\mathrm{n} = 0,1,2,3....)

\frac{2\pi(\mathrm{d}_1+\mathrm{d}_2)}{\lambda}\sin\theta = 2\mathrm{m}\pi \quad (\mathrm{m} = 0,1,2,3....) \quad \text{[0.5т]}

\Rightarrow \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{d}_1+\mathrm{d}_2} = \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{d}_1} \quad \text{[0.5т]}

Окончателно имаме:

\frac{\mathrm{d}_2}{\mathrm{d}_1} = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}} - 1 \quad \text{[1т]}

г) За $\mathrm{d}_1 = \mathrm{d}_2 = \mathrm{d}$ имаме абсолютен максимум в направление $\theta$ , когато:

\frac{2\pi \mathrm{d}}{\lambda}\sin\theta = 2\mathrm{n}\pi \quad (\mathrm{n} = 0,1,2,3....)

\frac{4\pi \mathrm{d}}{\lambda}\sin\theta = 2\mathrm{m}\pi \quad (\mathrm{m} = 0,1,2,3....) \quad \text{[0.5т]}

Очевидно нулевият максимум е при $\mathrm{n} = 0$ и $\mathrm{m} = 0$ , което отговаря на $\theta_0 = 0$ [0.5т]

А първият до него максимум е при $\mathrm{n} = 1$ и $\mathrm{m} = 2$ , което отговаря на $\theta_1 = \operatorname{Arcsin}\left(\dfrac{\lambda}{\mathrm{d}}\right)$ [1т]

д) Аналогично на първата точка за електричното поле имаме

\mathrm{E} = \mathrm{E}_1 + \mathrm{E}_2 + \mathrm{E}_3 + \mathrm{E}_4

\Rightarrow \mathrm{I}_{\max} = 16\mathrm{I}_0 \quad \text{[1т]}

Вече лесно може да се обобщи за $\mathrm{N}$ процепа

\mathrm{I}_{\max} = \mathrm{N}^2\mathrm{I}_0 \quad \text{[1т]}

Решение от сканираното издание

а) Електричните полета далеч от екрана създадени от трите процепа са съответно

E_1=E_0\cos\left(\frac{2\pi c}{\lambda}t+\phi_1\right)

E_2=E_0\cos\left(\frac{2\pi c}{\lambda}t+\phi_2\right)\qquad\text{[0.5т]}

E_3=E_0\cos\left(\frac{2\pi c}{\lambda}t+\phi_3\right)

Пълното електрично поле е

E=E_1+E_2+E_3\qquad\text{[0.5т]}

За простота нека изберем момента време да е $t=0$ и $\phi_1=0$ . Тогава $\phi_2$ и $\phi_3$ може да изразим чрез разликата в оптичните пътища (виж Фигура 1.)

Фигура 1. Оптичните пътища в сканираното решение.

Тогава за интензитета имаме

I=E^2=E_0^2\left[1+\cos\left(\frac{2\pi\Delta_1}{\lambda}\right)+\cos\left(\frac{2\pi(\Delta_1+\Delta_2)}{\lambda}\right)\right]^2\qquad\text{[0.5т]}

Или окончателно имаме

I=I_0\left[1+\cos\left(\frac{2\pi d_1}{\lambda}\sin\theta\right)+\cos\left(\frac{2\pi(d_1+d_2)}{\lambda}\sin\theta\right)\right]^2\qquad\text{[0.5т]}

б) Очевидно интензитетът осцилира за двете функции и ще е максимално голям, когато и двете функции са максимални, тоест:

\mathrm{I}_{\max} = 9\mathrm{I}_0 \quad \text{[2т]}

Освен абсолютния максимум ще има и по-малки максимуми.

в) За да имаме абсолютен максимум в направление $\theta$ , трябва да се удовлетворяват следните две равенства

\frac{2\pi \mathrm{d}_1}{\lambda}\sin\theta = 2\mathrm{n}\pi \quad (\mathrm{n} = 0,1,2,3....)

\frac{2\pi(\mathrm{d}_1+\mathrm{d}_2)}{\lambda}\sin\theta = 2\mathrm{m}\pi \quad (\mathrm{m} = 0,1,2,3....) \quad \text{[0.5т]}

\Rightarrow \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{d}_1+\mathrm{d}_2} = \frac{\mathrm{n}}{\mathrm{d}_1} \quad \text{[0.5т]}

Окончателно имаме

\frac{\mathrm{d}_2}{\mathrm{d}_1} = \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}} - 1 \quad \text{[1т]}

г) За $\mathrm{d}_1 = \mathrm{d}_2 = \mathrm{d}$ имаме абсолютен максимум в направление $\theta$ , когато

\frac{2\pi \mathrm{d}}{\lambda}\sin\theta = 2\mathrm{n}\pi \quad (\mathrm{n} = 0,1,2,3....)

\frac{4\pi \mathrm{d}}{\lambda}\sin\theta = 2\mathrm{m}\pi \quad (\mathrm{m} = 0,1,2,3....) \quad \text{[0.5т]}

Очевидно нулевият максимум е при $\mathrm{n} = 0$ и $\mathrm{m} = 0$ , което отговаря на $\theta_0 = 0$ [0.5т], а първият до него максимум е при $\mathrm{n} = 1$ и $\mathrm{m} = 2$ , което отговаря на $\theta_1 = \operatorname{Arcsin}\left(\dfrac{\lambda}{\mathrm{d}}\right)$ [1т]

д) Аналогично на първата точка имаме за електричното поле

\mathrm{E} = \mathrm{E}_1 + \mathrm{E}_2 + \mathrm{E}_3 + \mathrm{E}_4 \Rightarrow

I=E^2=E_0^2\left[1+\cos\left(\frac{2\pi\Delta_1}{\lambda}\right)+\cos\left(\frac{2\pi(\Delta_1+\Delta_2)}{\lambda}\right)+\cos\left(\frac{2\pi(\Delta_1+\Delta_2+\Delta_3)}{\lambda}\right)\right]^2

\Rightarrow \mathrm{I}_{\max} = 16\mathrm{I}_0 \quad \text{[1т]}

Вече лесно може да се обобщи за $\mathrm{N}$ процепа $\Rightarrow$

\mathrm{I}_{\max} = \mathrm{N}^2\mathrm{I}_0 \quad \text{[1т]}

Оригинал в Архива: esenni_2011_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2011_STsolutions.pdf · допълнителни данни: ST_spec.pdf