Съдържание

НЕСФ 2012, 10. клас — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2012

Национално есенно състезание по физика 2012, Вършец — тема за 10. клас · 10 ноември 2012 г. · 10 т.

Условие

В кабината на асансьор е окачено математично махало. Когато асансьорът е неподвижен, то има период на трептене $T_0 = 1\ \mathrm{s}$ . Когато асансьорът се движи вертикално с постоянно ускорение $a$ , за време $t = 6\ \mathrm{s}$ махалото извършва $N = 5$ трептения.

Земното ускорение е $g \approx 9{,}8\ \mathrm{m/s}^2$ .

а) Изведете формула за периода $T_1$ на махалото, когато асансьорът се движи с ускорение $a$ нагоре и съответно формула за периода $T_2$ на махалото, когато асансьорът се движи с ускорение $a$ надолу. [5 т.]

б) Определете посоката на движение на асансьора. [2 т.]

в) Намерете ускорението $a$ . [3 т.]

Отговори

Решение

а) Периодът на трептене на математично махало в неподвижен асансьор е

T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}. \qquad \textbf{(1 т.)}

Когато махалото не трепти, силата на реакция $R_0 = mg$ , където $m$ е масата на махалото. При движение нагоре с ускорение $a$ силата $F = ma$ (насочена нагоре) е резултантна на силата на реакция $R_1$ (насочена нагоре) и силата на тежестта $mg$ (насочена надолу) при неподвижно махало, т.е.

F = R_1 - mg, \qquad R_1 = m(g+a) = mg_1. \qquad \textbf{(1 т.)}

Тогава за периода $T_1$ имаме израза

T_1 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_1}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a}}. \qquad \textbf{(1 т.)}

При движение надолу с ускорение $a$ силата $F = ma$ (насочена надолу) е резултантна на силата на реакция $R_2$ (насочена нагоре), и силата на тежестта $mg$ (насочена надолу) при неподвижно махало, т.е.

F = mg - R_2, \qquad R_2 = m(g-a) = mg_2. \qquad \textbf{(1 т.)}

Тогава за периода $T_2$ имаме израза

T_2 = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g_2}} = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g-a}}. \qquad \textbf{(1 т.)}

б) При движението периодът на махалото е

T = \frac{t}{N} = 1{,}2\ \mathrm{s} > 1\ \mathrm{s} = T_0, \qquad \textbf{(1 т.)}

откъдето следва, че асансьорът се движи надолу. (1 т.)

в) От отношението

\frac{T_0}{T_2} = \sqrt{\frac{g-a}{g}}, \qquad \textbf{(1 т.)}

намираме

a = g\left(1 - \frac{T_0^2}{T_2^2}\right) \approx 3\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}. \qquad \textbf{(2 т.)}

Оригинал в Архива: esenni_2012_10problems.pdf · официални решения: esenni_2012_10solutions.pdf