НЕСФ 2012, 11–12 клас — Задача 1. Снаряди

• а) $\beta = 45^\circ$

• б) $L_{\max} = \dfrac{v_0^{2}}{g} = 36\ \mathrm{km}$

• в) $\delta_1 = 15^\circ,\quad \delta_2 = 75^\circ$

  От $\sin 2\delta = 1/2$.

• г) $\Delta t = \dfrac{\sqrt{2}\,v_0}{g} \approx 84{,}9\ \mathrm{s}$

а) В хоризонтална посока снарядите се движат със скорост $v_x = v_0 \cos\alpha$ [0.25 т] и след време $t$ се намират в положение с координата $x(t) = v_0 \cos\alpha . t$ (1.1) [0.25 т]. Във вертикална посока снарядите се движат със скорост $v_y(t) = v_0 \sin\alpha - gt$ [0.25 т] и след време $t$ се намират в положение с координата $y(t) = v_0 \sin\alpha . t - \dfrac{gt^2}{2}$ (1.2) [0.25 т]. Снарядите падат на земята в момент време $t_1$, когато $y(t_1) = 0$. От (1.2) следва, че $t_1 = \dfrac{2 v_0 \sin\alpha}{g}$ [0.5 т] (1.3). Замествайки в (1.1), $x(t_1) = \dfrac{v_0 \cos\alpha\, 2 v_0 \sin\alpha}{g} = \dfrac{v_0^{\,2}}{g}\sin(2\alpha)$ (1.4). [1 т] Следователно снарядът ще падне най-далеч, ако $\sin 2\beta = 1$, или $\beta = 45^\circ$ [0.5 т]

б) Замествайки в (1.4) с дадените стойности, $L_{\max} = \dfrac{\left(600\,\mathrm{m/s}\right)^2}{10\,\mathrm{m/s^2}} = 36\ \mathrm{km}$. [1 т]

в) За да паднат снарядите на разстояние $l = L_{\max}/2$, от (1.4) следва, че $\sin 2\delta = \dfrac{1}{2}$ [1 т], откъдето $\delta_1 = 15^\circ$ [1 т] и $\delta_2 = 75^\circ$. [1 т]

г) Интервалът от време $\Delta t$, през който трябва да се изстрелят два снаряда, единият под ъгъл $\delta_1$, а другият под ъгъл $\delta_2$ (виж подусловие в)), така че да паднат на земята едновременно, е (използвайки (1.3)) $\Delta t = \dfrac{2 v_0}{g}\left(\sin 75^\circ - \sin 15^\circ\right) =$ [1 т] $\dfrac{2 v_0}{g} . 2 . \sin 30^\circ . \cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}\, v_0}{g}$ [1 т] $\approx 84{,}9\ \mathrm{s}$. [1 т]