Съдържание

НЕСФ 2012, Специална тема — Задача 1. Люлееща се шамандура

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2012

Национално есенно състезание по физика – Вършец, 10 ноември 2012 г. Специална тема · 10 ноември 2012 г. · 10 т.

Условие

Шамандура е съставена от еднородно кълбо с радиус $R$ и плътност $\rho$ , като радиално на кълбото е прикрепена неподвижно пръчка с дължина $l$ и маса, равна на масата на кълбото, както е показано на Фигура 1. Шамандурата плава в морска вода с плътност $\rho_0$ . Плътността на пръчката е по-голяма от $\rho_0$ , а обемът й може да се пренебрегне.

Фигура 1. Шамандурата и потопеният сферичен сектор.

а) Получете уравнение за стойността на ъгъла $\alpha$ (виж Фигура 1), когато шамандурата е в състояние на равновесие. Пространственият ъгъл при върха на изобразения сферичен сектор е равен на $2\pi\left(1-\cos\alpha\right)$ . [3 т.]

б) Намерете периода на малките вертикални трептения на шамандурата около равновесното й положение. Отговорът зависи от дадените величини и ъгъла $\alpha$ . Приемете, че ефективната маса на шамандурата е с 1/3 пъти по-голяма от масата й поради увличането на морската вода при движението на шамандурата. [3 т.]

в) Пресметнете периода на трептенията на пръчката, ако е отклонена на малък ъгъл от вертикалата. Да се счита, че шамандурата се люлее около ос, минаваща през центъра на кълбото. [4 т.]

Решение

а)

Уравнението за стойността на ъгъла $\alpha$ (виж Фигура 1), когато шамандурата е в равновесие, се получава директно от уравнението за равенство на силата на тежестта, която действа върху шамандурата, и Архимедовата сила

\frac{8\pi R^{3}\rho g}{3} = \left(\frac{2\pi\left(1-\cos\alpha\right)R^{3}}{3} - \frac{\pi R^{2}\sin^{2}\alpha\, R\cos\alpha}{3}\right)\rho_{0}g\,.\qquad \textbf{[2т]}

От горното уравнение след преобразувания се получава търсеното уравнение

\cos^{3}\alpha - 3\cos\alpha + 2 - \frac{8\rho}{\rho_{0}} = 0\,.\qquad \textbf{[1т]}

б)

Считаме, че шамандурата е потопена на безкрайно малко разстояние $dy$ надолу от равновесното й положение. Архимедовата сила на допълнително изтласканата вода има квазиеластичен характер от вида

dF = -k\,dy = -\pi R^{2}\sin^{2}\alpha\,\rho_{0}g\,dy \Rightarrow k = \pi R^{2}\sin^{2}\alpha\,\rho_{0}g\,.\qquad \textbf{[2т]}

Като използваме формулата за периода

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\,,\qquad \textbf{[0.5т]}

където ефективната маса $m = \dfrac{32\pi R^{3}\rho}{9}$ , получаваме за периода на малките вертикални трептения на шамандурата

T = \frac{8\pi}{3\sin\alpha}\sqrt{\frac{2R\rho}{\rho_{0}g}}\,.\qquad \textbf{[0.5т]}

в)

Нека пръчката е отклонена на малък ъгъл $\varphi$ от вертикалата. Тогава шамандурата започва да се люлее около равновесното си положение като физично махало с точка на окачване в центъра на кълбото. [0.5т] Инерчният момент на шамандурата около оста, минаваща през центъра на кълбото, е

I = \frac{2}{5}\frac{4\pi R^{3}\rho}{3}R^{2} + \frac{1}{12}\frac{4\pi R^{3}\rho}{3}l^{2} + \frac{4\pi R^{3}\rho}{3}\left(R+\frac{l}{2}\right)^{2} = \frac{4\pi R^{3}\rho}{45}\left(21R^{2}+15Rl+5l^{2}\right).\qquad \textbf{[1т]}

Квазиеластичният въртящ момент е равен на

M = -\frac{4\pi R^{3}\rho}{3}\,g\sin\varphi\left(R+\frac{l}{2}\right) \approx -\frac{4\pi R^{3}\rho}{3}\,g\left(R+\frac{l}{2}\right)\varphi\,.\qquad \textbf{[1т]}

Следователно дирекционният момент на $M$ е

D = \frac{4\pi R^{3}\rho}{3}\,g\left(R+\frac{l}{2}\right).\qquad \textbf{[0.5т]}

За периода на трептенията на пръчката получаваме

T = 2\pi\sqrt{\frac{I}{D}} = 2\pi\sqrt{\frac{2\left(21R^{2}+15Rl+5l^{2}\right)}{15g\left(2R+l\right)}}\,.\qquad \textbf{[1т]}

Оригинал в Архива: esenni_2012_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2012_STsolutions.pdf