НЕСФ 2013, Специална тема — Задача 1. Съотношение за неопределеност в астрофизиката

Национално есенно състезание по физика, Сливен, 16-17 ноември 2013 г. — Специална тема · 16 ноември 2013 г. · 10 т.

Условие

Използвайте съотношението за неопределеност, за да дадете оценъчно решение на следните задачи:

Упътване: Приемете, че при белите джуджета плътността на материята е толкова голяма, че атомите практически за залепени един до друг и са на разстояния от порядъка на размера на атома ( $R\ \hbar\ 10^{-10}\,m$ ). За неутронните звезди приемете, че плътността на материята е толкова голяма, че ядрата на атомите практически се допират и разстоянията между тях са от порядъка на $R\ \hbar\ 10^{-15}\,m$ . Да се пренебрегне налягането, дължащо се на взаимодействието между частиците. Считайте, че кинетичната енергия на електроните (респективно неутроните) е изцяло свързана със съотношението за неопределеност.

Фундаментални физични величини:

• скоростта на светлината във вакуум, $c = 3,00.10^{8}\,m/s$ ;
• редуцирана константа на Планк, $\hbar = \dfrac{h}{2\pi} = 1,05.10^{-34}$ J.s;
• масата на електрона $m_e = 9,11.10^{-31} kg$ ;
• маса на неутрона $m_n = 1,67.10^{-27} kg$ .

а) 1.1 Съотношение за неопределеност и размерност на Вселената

Засега физиците не могат да дадат ясна причина, поради която пространството има три измерения. Ако разглеждаме вселена с n пространствени измерения, се оказва, че електростатичната потенциална енергия между два точкови заряда се задава като:

$U\left(r\right) = k\frac{q_1 q_2}{r^{\,n-2}},$

където $q_1$ и $q_2$ са големините на зарядите, $r$ е разстоянието между тях, а $k$ е електричната константа.

Покажете, че когато n > 3, водородният атом е нестабилен [4 т.]

б) 1.2 Съотношение за неопределеност, бели джуджета и неутронни звезди

Белите джуджета и неутронните звезди са екзотични астрономически обекти. Те се образуват в крайния етап от живота на една звезда, когато звездата е изчерпала цялото „гориво”, което поддържа термоядрените реакции. Тогава звездата се свива под действие на собствената си гравитация. Свиването продължава докато електроните, които изграждат материята, се сближат прекалено близо един до друг и принципът на Паули ги задължи да имат различни нива на енергия. Тогава, за да се добави още един електрон в даден обем, е нужно повишаване на нивото на енергията на електроните. Това поражда налягане на електронния газ, което спира свиването на белите джуджета. За по-масивните звезди налягането на електронния газ не може да противодейства на гравитацията и свиването се прекратява от налягането на неутронния газ (аналогичен на електронния газ).

Оценете налягането в бяло джудже и неутронна звезда като използвате съотношението за неопределеност. Считайте, че електронният газ (респективно неутронният газ) е нерелативистки. [3 т.]

в) Оценете налягането в бяло джудже и неутронна звезда като използвате съотношението за неопределеност. Считайте, че електронният газ (респективно неутронният газ) е ултрарелативистки. [3 т.]

Отговори

Решение

Оригинал в Архива: esenni_2013_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2013_STsolutions.pdf