Съдържание

Условие 1.1 Съотношение за неопределеност и размерност на Вселената 1.2 Съотношение за неопределеност, бели джуджета и неутронни звезди Отговори Решение

НЕСФ 2013, Специална тема — Задача 1. Съотношение за неопределеност в астрофизиката

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2013

Национално есенно състезание по физика, Сливен, 16-17 ноември 2013 г. — Специална тема · 16 ноември 2013 г. · 10 т.

Условие

Използвайте съотношението за неопределеност, за да дадете оценъчно решение на следните задачи:

1.1 Съотношение за неопределеност и размерност на Вселената

а) Засега физиците не могат да дадат ясна причина, поради която пространството има три измерения. Ако разглеждаме вселена с n пространствени измерения, се оказва, че електростатичната потенциална енергия между два точкови заряда се задава като:

U\left(r\right) = k\frac{q_1 q_2}{r^{\,n-2}},

където $q_1$ и $q_2$ са големините на зарядите, $r$ е разстоянието между тях, а $k$ е електричната константа.

Покажете, че когато n > 3, водородният атом е нестабилен [4 т.]

1.2 Съотношение за неопределеност, бели джуджета и неутронни звезди

Белите джуджета и неутронните звезди са екзотични астрономически обекти. Те се образуват в крайния етап от живота на една звезда, когато звездата е изчерпала цялото „гориво”, което поддържа термоядрените реакции. Тогава звездата се свива под действие на собствената си гравитация. Свиването продължава докато електроните, които изграждат материята, се сближат прекалено близо един до друг и принципът на Паули ги задължи да имат различни нива на енергия. Тогава, за да се добави още един електрон в даден обем, е нужно повишаване на нивото на енергията на електроните. Това поражда налягане на електронния газ, което спира свиването на белите джуджета. За по-масивните звезди налягането на електронния газ не може да противодейства на гравитацията и свиването се прекратява от налягането на неутронния газ (аналогичен на електронния газ).

б) Оценете налягането в бяло джудже и неутронна звезда като използвате съотношението за неопределеност. Считайте, че електронният газ (респективно неутронният газ) е нерелативистки. [3 т.]

в) Оценете налягането в бяло джудже и неутронна звезда като използвате съотношението за неопределеност. Считайте, че електронният газ (респективно неутронният газ) е ултрарелативистки. [3 т.]

Упътване: Приемете, че при белите джуджета плътността на материята е толкова голяма, че атомите практически за залепени един до друг и са на разстояния от порядъка на размера на атома ( $R\ \hbar\ 10^{-10}\,m$ ). За неутронните звезди приемете, че плътността на материята е толкова голяма, че ядрата на атомите практически се допират и разстоянията между тях са от порядъка на $R\ \hbar\ 10^{-15}\,m$ . Да се пренебрегне налягането, дължащо се на взаимодействието между частиците. Считайте, че кинетичната енергия на електроните (респективно неутроните) е изцяло свързана със съотношението за неопределеност.

Фундаментални физични величини:

скоростта на светлината във вакуум, $c = 3,00.10^{8}\,m/s$ ;
редуцирана константа на Планк, $\hbar = \dfrac{h}{2\pi} = 1,05.10^{-34}$ J.s;
масата на електрона $m_e = 9,11.10^{-31} kg$ ;
маса на неутрона $m_n = 1,67.10^{-27} kg$ .

Отговори

1.1 Съотношение за неопределеност и размерност на Вселената, а) $\frac{d^{2}E(r)}{dr^{2}} = \frac{\hbar^{2}}{r^{4}m}\left(4-n\right)$

Екстремумът на $E(r)$ е минимум само при $n<4$ ; за $n>3$ (т.е. $n\ge 4$ ) минимум няма и атомът е нестабилен.
1.2 Съотношение за неопределеност, бели джуджета и неутронни звезди, б) $\text{бяло джудже: } S \approx \frac{\hbar^{2}}{4\pi m_e R^{5}} \approx 9,6.10^{10}\,N/m^{2},\qquad \text{неутронна звезда: } S \approx \frac{\hbar^{2}}{4\pi m_n R^{5}} \approx 5,25.10^{32}\,N/m^{2}$

Задачата иска и двете оценки. Числената стойност в полето value е за бялото джудже ( $R \approx 10^{-10}\,m$ , $m_e$ ); за неутронната звезда ( $R \approx 10^{-15}\,m$ , $m_n$ ) източникът дава $S \approx 5{,}25.10^{32}\,N/m^{2}$ .
1.2 Съотношение за неопределеност, бели джуджета и неутронни звезди, в) $\text{бяло джудже: } S \approx \frac{\hbar c}{4\pi R^{4}} \approx 2,5.10^{13}\,N/m^{2},\qquad \text{неутронна звезда: } S \approx \frac{\hbar c}{4\pi R^{4}} \approx 2,5.10^{33}\,N/m^{2}$

Задачата иска и двете оценки. Числената стойност в полето value е за бялото джудже ( $R \approx 10^{-10}\,m$ ); за неутронната звезда ( $R \approx 10^{-15}\,m$ ) източникът дава $S \approx 2{,}5.10^{33}\,N/m^{2}$ .

Решение

а)

Разглеждаме атома на водорода. Енергията на атома на водорода е сума от кинетичната енергия на движение на електрона и потенциалната енергия на взаимодействие между електрона и протона:

E\left(r,p\right) = \frac{p^{2}}{2m} - k\frac{e^{2}}{r^{\,n-2}}\qquad \textbf{[0.5т]}

Като оценка ще приемем, че импулсът на електрона $p$ е равен на неопределеността в импулса $\Delta p$ . Тогава от съотношението за неопределеност на Хайзенберг следва:

p \approx \hbar/r\qquad \textbf{[0.5т]}

Енергията на атома на водорода като функция на $r$ ще има вида

E\left(r\right) = \frac{\hbar^{2}}{2mr^{2}} - k\frac{e^{2}}{r^{\,n-2}}\qquad \textbf{[0.5т]}

Намираме първата производна на $E\left(r\right)$ спрямо $r$ , приравняваме я на нула и намираме:

r^{\,n-4} = \frac{kme^{2}\left(n-2\right)}{\hbar^{2}}\qquad \textbf{[0.5т]}

Намираме и втората производна на $E\left(r\right)$ спрямо $r$ :

\frac{d^{2}E\left(r\right)}{dr^{2}} = 3\frac{\hbar^{2}}{mr^{4}} - k(n-2)(n-1)\frac{e^{2}}{r^{n}} = \frac{\hbar^{2}}{r^{4}m}\left(4-n\right)\qquad \textbf{[1т]}

Следователно енергията има минимум, когато $n<4$ (имаме стабилен атом на водорода само ако $n<4$ ). [1т]

б)

Тъй като електроните в бялото джудже образуват електронен газ, който е изроден, те не са локализирани в един атом, а обикалят колективно между всички атоми. Атомите са плътно прилепнали помежду си и разстоянията между тях са от порядъка на размера на самите атоми. Тогава може да приемем, че осреднено всеки електрон се намира в сфера с радиус R. Импулса определяме от съотношението за неопределеност на Хайзенберг:

P \approx \hbar/R\qquad \textbf{[0.5т]}

Тогава за кинетичната енергия на всеки електрон имаме

E = \frac{P^{2}}{2m_e} \approx \frac{\hbar^{2}}{2m_e R^{2}}\qquad \textbf{[0.75т]}

За налягането $S$ , което създават електроните, имаме

S = -\frac{dE}{dV}\qquad \textbf{[0.75т]},

където $dV = 4\pi R^{2}dR$ е изменението на обема $\Rightarrow$

S \approx \frac{\hbar^{2}}{4\pi m_e R^{5}} \approx 9,6.10^{10}\,N/m^{2}\qquad \textbf{[0.5т]}

Аналогично за неутронната звезда имаме, че неутроните се движат в едно голямо „ядро” и на всеки неутрон се пада сфера с радиус $R\ \hbar\ 10^{-15}\,m$ . Тогава за налягането, което създават неутроните, имаме:

S \approx \frac{\hbar^{2}}{4\pi m_n R^{5}} \approx 5,25.10^{32}\,N/m^{2}\qquad \textbf{[0.5т]}

в)

Решаваме аналогично на предишната подточка, като сега вместо класическата формула между кинетична енергия и импулс ( $E = \dfrac{P^{2}}{2m_e}$ ) ползваме ултрарелативистко приближение $E = Pc$ [0.5т] $\Rightarrow$

E = Pc \approx \frac{\hbar c}{R}\qquad \textbf{[0.75т]}

Тогава за налягането $S$ , което създават електроните, имаме

S = -\frac{dE}{dV}\qquad \textbf{[0.75т]},

където $dV = 4\pi R^{2}dR$ е изменението на обема $\Rightarrow$

S \approx \frac{\hbar c}{4\pi R^{4}} \approx 2,5.10^{13}\,N/m^{2}\qquad \textbf{[0.5т]}

Аналогично за неутронната звезда ( $R\ \hbar\ 10^{-15}\,m$ ) имаме:

S \approx \frac{\hbar c}{4\pi R^{4}} \approx 2,5.10^{33}\,N/m^{2}\qquad \textbf{[0.5т]}

Оригинал в Архива: esenni_2013_STproblems.pdf · официални решения: esenni_2013_STsolutions.pdf