Съдържание

НЕСФ 2014, 9. клас — Задача 3. Електростатика

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2014

Национално есенно състезание по физика 2014, тема за 9. клас · 8 ноември 2014 г. · 10 т.

Условие

Три заряда с големина q са закрепени неподвижно във върховете на равностранен триъгълник. Четвърти заряд със същата големина q е поставен на безкрайно голямо разстояние от триъгълника. Зарядите са положителни.

а) Три заряда q във върховете на равностранен триъгълник 1, 2, 3 и четвърти заряд q под основата, на равни разстояния от заряди 1 и 2, под ъгъл 30° спрямо основата. б) Същият триъгълник, като свободният заряд q лежи на средата на основата, на разстояние a/2 от заряди 1 и 2. — Фиг. 3

а) Намерете каква работа трябва да се извърши, за да се доближи (придърпа) свободният заряд до триъгълника, както е показано на фиг. 3 а). Във фигурата свободният заряд е на равни разстояния от заряди 1 и 2. [3 т.] [3 т.]

б) Намерете с каква сила действа триъгълникът на свободния заряд [3 т.] и с каква сила действа свободният заряд на триъгълника. [1 т.] [4 т.]

в) Каква допълнителна работа трябва са се извърши, за да се премести свободният заряд от положението, изобразено на фиг. 3 а), до положението, изобразено на фиг. 3 б)? Във фиг. 3 б) зарядът лежи на основата на триъгълника на равни разстояния от заряди 1 и 2. [3 т.]

Полезни формули:

потенциал на електростатичното поле на точков заряд: $\varphi = \dfrac{kq}{r}$ ( $k = 9.10^{9}$ N·m $^2$ /C $^2$ );

Питагорова теорема: $\mathrm{a}^2 + \mathrm{b}^2 = \mathrm{c}^2$ , където a и b са дължините на катетите на правоъгълен триъгълник, а c е хипотенузата. [3 т.]

Отговори

Решение

а) Работата $A$ намираме чрез потенциала на електричното поле $\varphi_{\text{а}}$ , създадено от триъгълника, в точката, където е поставен зарядът q:

A = q\,\varphi_{\text{а}}\ [0.5\ \text{т.}]

Потенциалът $\varphi_{\text{а}}$ е сума от потенциалите на трите заряда в триъгълника:

\varphi_{\text{а}} = k\frac{q}{s_1} + k\frac{q}{s_2} + k\frac{q}{s_3}\ [0.5\ \text{т.}],

където $s_1$ , $s_2$ и $s_3$ са разстоянията между свободния заряд и зарядите в точки 1, 2 и 3. Изпълнено е $s_1 = s_2 = \mathrm{s}$ .

Използваме Питагорова теорема, за да пресметнем разстоянието s: $\frac{s^2}{4} + \frac{a^2}{4} = s^2$ [0.2 т.], като използваме свойството, че в правоъгълен триъгълник с ъгъл от 30 градуса отношението между катета и хипотенузата е 1/2 (виж фигурата) [0.2 т.].

Равностранен триъгълник със страна a и върхове 1, 2, 3; височина x от връх 3 към основата; свободният заряд под основата на разстояние s/2 от нея и на разстояние s от заряд 2, при ъгъл 30°. — Геометрия към задача 3 а)

Така за s намираме: $s = \frac{a}{\sqrt{3}}$ [0.1 т]. По същия начин за височината $x$ получаваме $x = \frac{\sqrt{3}}{2}a$ [0.1 т.]. Намираме $s_3$ като сума от височината $x$ и разстоянието s/2:

s_3 = \frac{\sqrt{3}}{2}a + \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}\ [\mathbf{0.1}\ \text{т.}]

Така получаваме: $\varphi_{\text{а}} = k\frac{q}{a}\frac{5\sqrt{3}}{2}$ [0.3 т.] и съответно

\mathrm{A} = k\frac{q^2}{a}\frac{5\sqrt{3}}{2}\ [\mathbf{1}\ \text{т.}].

б) Силата, с която действат зарядите от триъгълника върху свободния заряд, е векторна сума от сили: $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3}$ [1 т.]. От съображения за симетрия силата $\vec{F}$ е с вертикално направление (виж фигурата долу).

Същата геометрия, с векторите F1, F2 и F3, действащи на свободния заряд; F1 и F2 сключват ъгъл 30° с хоризонталата, а F3 е вертикална надолу. — Силите, действащи на свободния заряд

Проекциите на $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ във вертикално направление получаваме като разделим големините им на 2 (имаме срещулежащ ъгъл от 30 градуса). Така големината на пълната сила $\vec{F}$ , която бележим с F, е равна на

F = F_1 + F_3\ [1\ \text{т.}],

където $F_1$ и $F_3$ са големините на $\vec{F_1}$ и $\vec{F_3}$ и сме отчели, че $F_1 = F_2$ . Следователно имаме

F = \frac{kq}{s^2} + \frac{kq}{(x+s/2)^2} = \frac{15}{4}\frac{kq}{a^2}\ [1\ \text{т.}].

От третия принцип на Нютон следва, че големината на силата, с която свободният заряд действа на триъгълника, е равна на силата F, с която триъгълникът действа на свободния заряд [1т].

в) Допълнителната работа A може да се пресметне чрез напрежението между двете точки (виж фигурата долу):

\mathrm{A} = q(\varphi_{\text{б}} - \varphi_{\text{а}})\ [1\ \text{т.}],

където $\varphi_{\text{б}}$ е потенциалът на свободния заряд в положението, указано във фиг. 3 б). Изведохме $\varphi_{\text{а}} = k\frac{q}{a}\frac{5\sqrt{3}}{2}$ . За $\varphi_{\text{б}}$ имаме $\varphi_{\text{б}} = kq\left(\frac{1}{\left(\frac{a}{2}\right)} + \frac{1}{\left(\frac{a}{2}\right)} + \frac{1}{x}\right) = \frac{kq}{a}\frac{2(6+\sqrt{3})}{3}$ [1 т.], където $x$ е разстоянието между свободния заряд и заряда в точка 3 (виж фигурата долу). Следователно за допълнителната работа получаваме

\mathrm{A} = \frac{kq^2}{a}\frac{(24-11\sqrt{3})}{6}\ [1\ \text{т.}].

Оригинал в Архива: esenni_2014_9problems.pdf · официални решения: esenni_2014_9solutions.pdf