Съдържание

НЕСФ 2014, 10. клас — Задача 1. Пързаляне с шейна

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2014

Национално есенно състезание по физика 2014, тема за 10. клас · 8 ноември 2014 г. · 10 т.

Условие

Момче с шейна в горния край на склон с наклон α, хоризонтален участък с дължина l и коефициент на триене k, и втори склон с наклон β; земното ускорение g е насочено надолу. — Фиг. 1

Момче се спуска с шейна по склон с ъгъл $\alpha = 30^{\circ}$ спрямо хоризонта, както е показано на фиг. 1. Общата маса на момчето и шейната е $m = 40\ \mathrm{kg}$ . В началния момент момчето се намира на височина $h_0 = 10\ \mathrm{m}$ спрямо подножието на склона и е с нулева скорост. След време $t = 3,5\ \mathrm{s}$ от началото на спускането шейната се намира в подножието на склона. Приемете, че коефициентът на триене при хлъзгане $k$ не се променя по протежение на трасето, а земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Съпротивлението на въздуха се пренебрегва.

Упътване: По време на движението на шейната върху склоновете силата на тежестта може да се представи като векторна сума на две сили, едната от които с големина $G_{\mathrm{X}} = mg\sin\theta$ е успоредна на склона, а втората с големина $G_{\mathrm{Y}} = mg\cos\theta$ е перпендикулярна на склона и насочена към него. С $\theta$ е означен ъгълът на наклона спрямо хоризонта, който в нашия случай може да бъде $\alpha$ или $\beta$ .

а) Определете коефициента на триене при хлъзгане $k$ . [2 т] [2 т.]

б) След като достига подножието на склона, шейната продължава да се движи по хоризонтален участък и изминава разстояние $l$ преди да достигне до друг склон с неизвестен наклон $\beta$ ( $\tan\beta > k$ ). Ако е известно, че големината на скоростта на шейната намалява с 20% при преминаването на хоризонталния участък, намерете на колко е равно $l$ . [3 т] [3 т.]

в) След това шейната продължава движението си по склона с неизвестен наклон, като достига максимална височина $h$ . От тази височина момчето се спуска свободно обратно по склона и преминава отново през хоризонталния участък, като в подножието на първия склон окончателно спира. Определете стойността на $h$ . На колко е равен ъгълът $\beta$ ? [4 т] [4 т.]

г) Намерете работата $A_f$ , която извършва силата на триене по време на движението на шейната. [1 т] [1 т.]

Отговори

Решение

а) Шейната се движи равноускорително с ускорение $a_1 = g\left(\sin\alpha - k\cos\alpha\right)$ и нулева начална скорост. [0,5 т] Следователно, изминатият път до подножието на склона е $s_1 = \dfrac{h_0}{\sin\alpha} = \dfrac{a_1t^2}{2} = \dfrac{g\left(\sin\alpha - k\cos\alpha\right)t^2}{2}$ [0,5 т], т.е. $k = \tan\alpha - \dfrac{2h_0}{\sin\alpha\cos\alpha\, g t^2} = \dfrac{17}{49\sqrt{3}} \approx 0{,}20$ . [1 т]

б) Скоростта в подножието на склона е $v_1 = a_1 t = g\left(\sin\alpha - k\cos\alpha\right)t = \dfrac{2h_0}{t\sin\alpha}$ . [0,5 т] При преминаване на хоризонталния участък на шейната действа постоянна сила на триене $f = kmg$ , насочена обратно на посоката на движение. [0,5 т] Съществува следната връзка между скоростта в подножието на склона $v_1$ и скоростта в края на хоризонталния участък $v_2$ : $\dfrac{mv_1^2}{2} = \dfrac{mv_2^2}{2} + kmgl$ [0,5 т], откъдето $l = \dfrac{v_1^2 - v_2^2}{2kg} = \dfrac{v_1^2\left(1-0{,}8^2\right)}{2kg} = \dfrac{0{,}72h_0^2}{kgt^2\sin^2\alpha} \approx 12\ \mathrm{m}$ . [1,5 т]

в) При движението по склона с неизвестен наклон на шейната действа постоянна сила на триене $f = kmg\cos\beta$ , насочена обратно на посоката на движение. [0,5 т] Използваме следната връзка между скоростта в подножието на склона $v_2$ и максималната височина на издигане $h$ : $\dfrac{mv_2^2}{2} = mgh + kmg\cos\beta\,\dfrac{h}{\sin\beta} = mgh + kmgh\cot\beta$ . [0,5 т] Още едно уравнение следва от условието работата на силата на триене да е равна на изменението на механичната енергия от началото на изкачването на склона с наклон $\beta$ до момента на окончателно спиране на шейната: $\dfrac{mv_2^2}{2} = 2kmgh\cot\beta + kmgl$ . [0,5 т] От тези две уравнения се получава, че $h = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{v_2^2}{2g}+kl\right) = \dfrac{v_1^2}{4g} = \dfrac{h_0^2}{gt^2\sin^2\alpha} = \dfrac{kl}{0{,}72} \approx 3{,}3\ \mathrm{m}$ . [1,5 т] От уравненията следва също така, че $\tan\beta = \dfrac{k}{0{,}28} \approx 0{,}71$ . [0,5 т] Окончателно: $\beta \approx 36^{\circ}$ . [0,5 т]

г) Работата $A_f$ може да се намери от условието работата на силата на триене да е равна на изменението на механичната енергия от началото на първото спускане до окончателния край на движението: $mgh_0 = kmgh\cot\alpha + kmgl + 2kmgh\cot\beta + kmgl = A_f = 4\ \mathrm{kJ}$ . [1 т.]

(Бележка на транскрипцията: първият член в последното уравнение е отпечатан с $h$ , а трябва да е $kmgh_0\cot\alpha$ — вж. transcription.notes.)

Оригинал в Архива: esenni_2014_10problems.pdf · официални решения: esenni_2014_10solutions.pdf