НЕСФ 2014, 10. клас — Задача 2. Заредени топчета

• а) $E = 2\frac{kq}{l^2}\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}kq}{l^2},\qquad U = \frac{2kq}{l}$

  Интензитетът е насочен вертикално нагоре.

• б) $a = \frac{T_2}{m} = \frac{5g}{\sqrt{3}} \approx 29\ \mathrm{m/s^2}$

• в) $m = \frac{2T}{\sqrt{3}g} \approx 0{,}23\ \mathrm{kg},\qquad q = 2l\sqrt{\frac{T}{k}} \approx 15\ \mathrm{\mu C}$

  Две числени стойности: $m \approx 0{,}23\ \mathrm{kg}$ (допустимо отклонение 0,01 kg) и $q \approx 15\ \mathrm{\mu C}$ (допустимо отклонение 0,5 μC).

• г) $v = \sqrt{gl\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)} \approx 1{,}9\ \mathrm{m/s}$

а) Интензитетът в точката на окачване е равен на векторната сума на интензитетите, създавани от отделните заряди. [0,5 т] Поради симетрията в разположението на зарядите интензитетът е насочен вертикално нагоре и има големина $E = 2\dfrac{kq}{l^2}\cos 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}kq}{l^2}$. [1 т] Електричният потенциал е сума на потенциалите, създавани от зарядите в точката: $U = \dfrac{2kq}{l}$. [0,5 т]

б) От условието за равновесие на топчетата, когато долната нишка още не е прерязана, получаваме две уравнения: $\dfrac{kq^2}{l^2} - T_1\cos 60^{\circ} - T_2 = 0$ [0,5 т] и $mg - T_1\sin 60^{\circ} = 0$ [0,5 т], където с $T_1$ и $T_2$ сме означили големините на силите на опън на горните и долната нишки, съответно. Прерязването на нишката води до изчезване на члена $T_2$ в първото уравнение, при което ускорението в този момент ще има големина $a = \dfrac{kq^2}{ml^2} - \dfrac{T_1\cos 60^{\circ}}{m} = \dfrac{T_2}{m}$. [0,5 т] Изискването максималната височина на издигане на топчетата да е височината на точката на окачване се изразява чрез следното уравнение (като използваме и закона за запазване на енергията): $\dfrac{kq^2}{l} - 2mgh = \dfrac{kq^2}{2l}$ [0,5 т], където $h = l\sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}l}{2}$ (избираме нулевото ниво на гравитационната потенциална енергия да е при точката на окачване). Така получаваме връзката $\dfrac{kq^2}{l^2} = 2\sqrt{3}mg$ [0,5 т], която заедно с горните две уравнения ни дава, че $T_2 = \dfrac{5mg}{\sqrt{3}}$ [0,5 т], т.е. $a = \dfrac{5g}{\sqrt{3}} \approx 29\ \mathrm{m/s^2}$. [1 т]

в) Когато топчетата са в най-горно положение, скоростта им е нула, и от условието за равновесие в радиално направление получаваме $T = \dfrac{kq^2}{4l^2} = \dfrac{\sqrt{3}mg}{2}$ [1 т], откъдето следва, че $m = \dfrac{2T}{\sqrt{3}g} \approx 0{,}23\ \mathrm{kg}$ [0,5 т], а $q = 2l\sqrt{\dfrac{T}{k}} \approx 15\ \mathrm{\mu C}$. [0,5 т]

г) Използваме закона за запазване на енергията, който дава: $\dfrac{kq^2}{l} - \dfrac{2\sqrt{3}mgl}{2} = \dfrac{2mv^2}{2} + \dfrac{kq^2}{\sqrt{2}l} - \dfrac{2mgl}{\sqrt{2}}$ [1 т], откъдето следва, че $v = \sqrt{gl\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}\right)} \approx 1{,}9\ \mathrm{m/s}$. [1 т]