НЕСФ 2014, 10. клас — Задача 3. Електрически вериги

• а) $R'_{AB} = \frac{R(2R+3R')}{3(R+R')},\qquad R''_{AB} = \frac{(R+2R)(2R'+R')}{3(R+R')} = \frac{3RR'}{R+R'}$

• б) $R = 52{,}5\ \Omega,\qquad R' = 70\ \Omega$

  Две числени стойности: $R = 52{,}5\ \Omega$ и $R' = 70\ \Omega$ (допустимо отклонение 0,5 Ω).

• в) $P_1' = \frac{E^2(3R+R')}{R(2R+R')} \approx 22{,}3\ \mathrm{W},\qquad P_2' = \frac{E^2(3R+R')}{3RR'} \approx 18{,}6\ \mathrm{W}$

  Две числени стойности, всяка с допустимо отклонение 0,1 W.

а) Еквивалентният вид на веригите е показан на фиг. 3 и фиг. 4. Общото съпротивление на веригата във фиг. 3 е $R'_{AB} = \dfrac{R\left(2R+3R'\right)}{3\left(R+R'\right)}$ [1 т], а съпротивлението във фиг. 4 е $R''_{AB} = \dfrac{\left(R+2R\right)\left(2R'+R'\right)}{3\left(R+R'\right)} = \dfrac{3RR'}{R+R'}$. [1 т]

б) Мощността, която се отделя във веригата, е $P = \dfrac{E^2}{R_{AB}}$. [0,5 т] Така получаваме две уравнения за неизвестните съпротивления $R$ и $R'$: $\dfrac{R\left(2R+3R'\right)}{3\left(R+R'\right)} = \dfrac{E^2}{P_1} = 45\ \Omega$ [0,5 т] и $\dfrac{3RR'}{R+R'} = \dfrac{E^2}{P_2} = 90\ \Omega$. [0,5 т] Т.е. $R\left(2R+3R'\right) = 135\left(R+R'\right)$ и $RR' = 30\left(R+R'\right)$. Изразяваме, например, $R'$ от второто уравнение: $R' = \dfrac{30R}{R-30}$ [0,5 т], и го заместваме в първото уравнение [0,5 т], при което получаваме, че $R = 52{,}5\ \Omega$. [1 т] Накрая намираме, че $R' = 70\ \Omega$. [0,5 т]

в) Затварянето на ключовете води до липса на ток през резистора със съпротивление $2R'$. Т.е. еквивалентните схеми изглеждат по следния начин: [1 т]

Еквивалентните съпротивления са $\dfrac{R\left(2R+R'\right)}{3R+R'}$ [0,5 т] и $\dfrac{3RR'}{3R+R'}$ [0,5 т], съответно. За отделените мощности във веригите се получават $P_1' = \dfrac{E^2\left(3R+R'\right)}{R\left(2R+R'\right)} \approx 22{,}3\ \mathrm{W}$ [1 т] и $P_2' = \dfrac{E^2\left(3R+R'\right)}{3RR'} \approx 18{,}6\ \mathrm{W}$. [1 т]