Съдържание

НЕСФ 2014, 11–12 клас — Задача 1. Електрически предпазител (бушон)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2014

Национално есенно състезание по физика 2014, тема за 11.-12. клас · 8 ноември 2014 г. · 10 т.

Условие

Електрическият предпазител (разг. бушон) е устройство, което предпазва електрически вериги от претоварване и сериозни повреди. Най-простият вид е т. нар. предпазител със стопяема жичка. Представлява тънка метална жичка в керамично или стъклено тяло. Включва се последователно в електрическата верига. Когато през него протича ток с големина под някаква критична стойност $I_{\text{кр}}$ , неговото електрично съпротивление е малко. Когато през жичката протече електрически ток, по-голям от допустимия $I_{\text{кр}}$ , жичката се стапя и електрическата верига се прекъсва.

В тази задача жичката в бушона е от чист калай. Температурата на топене на калая е $t_{\text{топ}} = 232\ ^{\circ}\mathrm{C}$ . Температурата на околната среда е $t_{\text{ок}} = 20\ ^{\circ}\mathrm{C}$ . Специфичното електрично съпротивление на калая при $0\ ^{\circ}\mathrm{C}$ е $\rho_0 = 1{,}00.10^{-7}\ \Omega.\mathrm{m}$ . То се променя с температурата линейно по закона $\rho(t) = \rho_0.(1 + \alpha.t)$ , където t е температурата на калая в $^{\circ}\mathrm{C}$ , а $\alpha = 4{,}20.10^{-3}\ ^{\circ}\mathrm{C}^{-1}$ . Жичката има форма на цилиндър с дължина $l = 1{,}00\ \mathrm{cm}$ и радиус $r = 0{,}500\ \mathrm{mm}$ . Предполага се, че нагрятата жичка отдава топлина (количество топлина за единица време) на околната среда по закона $\frac{\Delta Q}{\Delta t} = hS(t - t_{\text{ок}})$ , където S е площта на околната повърхност на жичката, а $h = 50{,}0\ \mathrm{W/m^2}.^{\circ}\mathrm{C}$ . Също така се предполага, че всички части на жичката имат една и съща температура. Намерете:

а) електричното съпротивление $R_{\text{ок}}$ и $R_{\text{топ}}$ на жичката съответно при температури $t_{\text{ок}}$ и $t_{\text{топ}}$ . [2 т.]

б) големината $I_{\text{кр}}$ на тока, при която жичката се стапя. [3 т.]

в) температурата $t_{5\mathrm{A}}$ на жичката, когато през нея протича ток с големина 5 A. [3,5 т.]

г) електричната мощност P, която се отделя в жичката, когато през нея протича ток с големина 5 A. [1,5 т.]

Отговори

Решение

а) Електричното съпротивление $R_{\text{ок}}$ и $R_{\text{топ}}$ на жичката при температури $t_{\text{ок}}$ и $t_{\text{топ}}$ е равно съответно на $R_{\text{ок}} = \rho_0(1 + \alpha t_{\text{ок}}).\frac{l}{\pi r^2}$ [0,5 т.] $= 1{,}38\ \mathrm{m\Omega}$ [0,5 т.] и $R_{\text{топ}} = \rho_0(1 + \alpha t_{\text{топ}}).\frac{l}{\pi r^2}$ [0,5 т.] $= 2{,}51\ \mathrm{m\Omega}$ . [0,5 т.]

б) Големината $I_{\text{кр}}$ на тока, при която жичката се стапя, се намира от равенството на отделената в жичката електрична мощност и отделената в околната среда топлинна мощност: $I_{\text{кр}}^{\,2}R_{\text{топ}} = h2\pi r l(t_{\text{топ}} - t_{\text{ок}})$ [1,0 т.], откъдето $I_{\text{кр}} = \sqrt{\dfrac{h2\pi r l(t_{\text{топ}} - t_{\text{ок}})}{R_{\text{топ}}}}$ [0,5 т.] $= 11{,}5\ \mathrm{A}$ . [1,5 т.]

в) Температурата $t_5$ на жичката, когато през нея протича ток с големина 5 A, се намира от равенството на отделената в жичката електрична мощност и отделената в околната среда топлинна мощност: $I_{5\mathrm{A}}^{\,2}\rho_0(1 + \alpha t_{5\mathrm{A}}).\frac{l}{\pi r^2} = h2\pi r l(t_{5\mathrm{A}} - t_{\text{ок}})$ [0,5 т.], откъдето $1 + \alpha t_{5\mathrm{A}} = \frac{h2\pi^2 r^3}{I_{5\mathrm{A}}^{\,2}\rho_0}(t_{5\mathrm{A}} - t_{\text{ок}}) = B(t_{5\mathrm{A}} - t_{\text{ок}})$ , където $B \equiv \frac{h2\pi^2 r^3}{I_{5\mathrm{A}}^{\,2}\rho_0}$ . [0,5 т.] Тогава $t_{5\mathrm{A}} = (1 + Bt_{\text{ок}})/(B - \alpha)$ [1,5 т.] $= 44\ ^{\circ}\mathrm{C}$ . [1 т.]

г) Електричната мощност P, която се отделя в жичката, когато през нея протича ток с големина 5 A, е $P = I^2R(t_{5A}) = I^2\rho_0(1 + \alpha t_{5A}).\frac{l}{\pi r^2}$ [0,5 т.] $= 37{,}7\ \mathrm{mW}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: esenni_2014_11-12problems.pdf · официални решения: esenni_2014_11-12solutions.pdf