НЕСФ 2014, 11–12 клас — Задача 2. Топче, подскачащо по наклонена равнина

• а) $v_1 = \sqrt{2gh}$
• б) $v_{min} = v_1\sin(2\alpha) = \sqrt{2gh}.\sin(2\alpha)$
• в) $h_1 = h\cos^2(2\alpha)$
• г) $L = \frac{4v_1^2}{g}\sin\alpha = 8h\sin\alpha$
• д) $v_2 = v_1\sqrt{1 + 8\sin^2\alpha} = \sqrt{2gh[1 + 8(\sin\alpha)^2]}$
• е) $l = \frac{3}{2}\frac{v_1^2}{g}\sin\alpha = 3h\sin\alpha$
• ж) $k = \frac{l}{L} = \frac{3}{8}$ ≈ $0.375$

а) Скоростта $v_1$ на топчето в момента на първия удар в равнината се намира от закона за запазване на механичната енергия $mgh = \frac{1}{2}mv_1^2$ [0.5 т.], откъдето $v_1 = \sqrt{2gh}$ [0.5 т.].

б) Минималната скорост $v_{min}$ на топчето в интервала време между първия и втория удар се достига, когато то се намира на най-голяма височина [0.25 т.]. Тогава скоростта е хоризонтална [0.25 т.]. Тъй като хоризонталната компонента на скоростта се запазва, а скоростта след удара сключва ъгъл $2\alpha$ с вертикалата [0.25 т.], то $v_{min} = v_1\sin(2\alpha) = \sqrt{2gh}.\sin(2\alpha)$ [0.25 т.].

в) Максималната височина $h_1$, мерена спрямо нивото на първия удар, която топчето достига след първия удар, може да се изчисли от закона за запазване на механичната енергия $\frac{1}{2}mv_1^2 = mgh_1 + \frac{1}{2}mv_{min}^2$ [0.5 т.], откъдето $h_1 = h\cos^2(2\alpha)$ [0.5 т.].

г) Разстоянието L между местата на първия и втория удар на топчето с равнината може да се намери, изчислявайки параметрите на траекторията на движение (парабола) на топчето. В случая по-лесно е да се използва координатна система с абсциса x, успоредна на наклонената равнина и надолу и ордината y, перпендикулярна на наклонената равнина и нагоре. Тогава движението на топчето може да се представи като резултат от две насложени праволинейни движения: по x с ускорение $a_x = g\sin\alpha$ и по y с ускорение $a_y = -g\cos\alpha$. [0.25 т.] Тогава законът за скоростта по двете оси е $v_x = v_1\sin\alpha + g\sin\alpha\, t$, $v_y = v_1\cos\alpha - g\cos\alpha\, t$ ($t = 0$, в момента на първия удар) [0.25 т.], а законът за движение: $x(t) = v_0\sin\alpha t + \frac{1}{2}g\sin\alpha\, t^2$, $y(t) = v_1\cos\alpha t - \frac{1}{2}g\cos\alpha\, t^2$. [0.5 т.] Топчето ще се удари втори път в момента време $t_2$, когато $y(t_2) = 0; t_2 \neq 0$. От закона за движение по оста y намираме $t_2 = 2v_1/g$ [0.5 т.]. Замествайки в закона за движение по оста x, намираме $L = x(t_2) = \frac{4v_1^2}{g}\sin\alpha = 8h\sin\alpha$. [1.5 т.]

д) Скоростта $v_2$ на топчето в момента на втория удар в равнината се намира от закона за запазване на механичната енергия: $\frac{1}{2}mv_1^2 = \frac{1}{2}mv_2^2 - mgL\sin\alpha$ [0.5 т.], откъдето $v_2 = v_1\sqrt{1 + 8\sin^2\alpha} = \sqrt{2gh[1 + 8(\sin\alpha)^2]}$ [0.5 т.].

е) За да се удари топчето перпендикулярно в преградата, в момента $t_{\text{уд}}$ на удара в избраната по-горе координатна система $v_y(t_{\text{уд}}) = v_1\cos\alpha - g\cos\alpha\, t_{\text{уд}} = 0$, [0.5 т.] откъдето $t_{\text{уд}} = v_1/g$. [0.5 т.] В този момент координатата x и следователно положението на преградата $l = x(t_{\text{уд}}) = v_1\sin\alpha\, t_{\text{уд}} + \frac{1}{2}g\sin\alpha\, t_{\text{уд}}^2 = \frac{3}{2}\frac{v_1^2}{g}\sin\alpha = 3h\sin\alpha$. [1 т.]

ж) Отношението $k = \frac{l}{L} = \frac{3}{8}$. [1 т.]