НЕСФ 2018, 11–12 клас — Задача 1. Снежни топки

• Част А $\tan\alpha = 4,\quad \alpha \approx 76^\circ$

• Част Б $v_0 = \frac{1}{2}\left(u\cos\beta + \operatorname{ctg}\beta\,\sqrt{u^2\sin^2\beta + 2gL\sin\beta}\right) \approx 13\ \mathrm{m/s}$

  Времето на полет е $t' = \dfrac{u\sin\beta + \sqrt{u^2\sin^2\beta + 2gL\sin\beta}}{g} \approx 1{,}5\ \mathrm{s}$.

Част А В координатната система на фигурата вляво законът за движение на снежната топка е: $x(t) = v_0\cos\alpha\, t$, $y(t) = v_0\sin\alpha\, t - \frac{gt^2}{2}$, където $t$ е изминалото време от хвърлянето на топката. [1 т.] Максималната височина на издигане се определя от условието за нулиране на скоростта по $y$: $v_0\sin\alpha - gt_{y\max} = 0$, откъдето след заместване в закона за движение по $y$ следва, че $y_{\max} = \frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$. [1 т.] Разстоянието $x_{\max}$ от точката на хвърляне до мястото на падане на топката се определя от условието $y(t_{x\max}) = 0$, след което се замести полученото $t_{x\max} = \frac{2v_0\sin\alpha}{g}$ в закона за движение по $x$: $x_{\max} = \frac{v_0^2\sin 2\alpha}{g}$. [1 т.] След като приравним $x_{\max} = y_{\max}$, получаваме, че $\tan\alpha = 4$, т.е. $\alpha \approx 76^\circ$. [1 т.]

Част Б Ще използваме координатна система като в Част А. Законът за движение на топката е: $x_{\mathrm{т}}(t) = v_0 t$, $y_{\mathrm{т}}(t) = -\frac{gt^2}{2}$, където $t$ е изминалото време от хвърлянето на топката. [1 т.] Законът за движение на Георги е: $x_{\Gamma}(t) = (L + ut)\cos\beta$, $y_{\Gamma}(t) = -(L + ut)\sin\beta$. [1 т.] За да може снежната топка да уцели Георги, трябва $x_{\mathrm{т}}(t') = x_{\Gamma}(t')$ и $y_{\mathrm{т}}(t') = y_{\Gamma}(t')$. [0,5 т.] Оттук $v_0 t' = (L + ut')\cos\beta$ и $-\frac{gt'^2}{2} = -(L + ut')\sin\beta$. [0,5 т.] От второто уравнение следва, че търсеното време на полет $t' = \frac{u\sin\beta + \sqrt{u^2\sin^2\beta + 2gL\sin\beta}}{g} \approx 1{,}5\ \mathrm{s}$. [2 т.] Съответно получаваме, че търсената начална скорост е $v_0 = \frac{(L + ut')\cos\beta}{t'} = u\cos\beta + \frac{gL\cos\beta}{u\sin\beta + \sqrt{u^2\sin^2\beta + 2gL\sin\beta}} = \frac{1}{2}\left(u\cos\beta + \operatorname{ctg}\beta\,\sqrt{u^2\sin^2\beta + 2gL\sin\beta}\right) \approx 13\ \mathrm{m/s}$. [1 т.]