Съдържание

НЕСФ 2022, 10. клас — Задача 1. Трупчета на нишка

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2022

Национално есенно състезание по физика, 11 – 13 ноември 2022 г., Сливен — Тема за IV състезателна група (10. клас) · 11 ноември 2022 г. · 10 т.

Условие

Две трупчета (с неизвестни маси $m_1$ и $m_2$ ) са свързани с безмасова неразтеглива нишка, както е показано на фигурата вляво. Трупчетата са едно върху друго, като коефициентът на триене между трупчетата и между долното трупче и хоризонталната повърхност е един и същ $k$ (неизвестен). Нишката е прекарана през неподвижно окачена безмасова макара. Може да използвате, че земното ускорение е $g \approx 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Съпротивлението на въздуха да се пренебрегне.

а) Дадено е, че ако дърпаме горното трупче надясно със сила $F$ , то силата на опън $T_{\mathrm{г}}$ на нишката е двойно по-голяма от силата на опън $T_{\mathrm{д}}$ на нишката, когато дърпаме долното трупче надясно със същата сила $F$ , т.е. $T_{\mathrm{г}} = 2T_{\mathrm{д}}$ . В двата случая трупчетата се движат спрямо макарата с едно и също по големина ускорение $a$ . Изразете силата $F$ и големината на ускорението $a$ на трупчетата чрез масите $m_1$ и $m_2$ , коефициента на триене $k$ и земното ускорение $g$ . [4,5 т.]

б) Нека първоначално дърпаме горното трупче със силата $F$ от предното подусловие. В даден момент силата на дърпане спада до силата $F_{\mathrm{р}}$ , при която системата се движи равномерно. В този момент силата на опън на нишката намалява три пъти. Намерете отношението $m_2/m_1$ на масите на трупчетата. [2 т.]

в) Докато системата се движи равномерно по начина, описан в предното подусловие, нишката е прерязана и горното трупче започва да се движи спрямо макарата с ускорение $a' = 4\ \mathrm{m/s^2}$ . Определете коефициента на триене $k$ . На колко е равно ускорението $a$ от първото подусловие? [2,5 т.]

г) Ако масата на долното трупче е $m_1 = 1\ \mathrm{kg}$ , пресметнете стойностите на силите $F$ и $F_{\mathrm{р}}$ от предните подусловия. [1 т.]

Решение

а) Освен външната сила $F$ и силата на опън на нишката, при движението на трупчетата трябва да отчетем и силите на триене. На долното трупче действа не само силата на триене $f_1 = k(m_1 + m_2)g$ [0,3 т.] с повърхността, но също така и силата на триене $f_2 = km_2 g$ [0,2 т.] с горното трупче. На горното трупче действа само силата на триене $f_2$ обратно на движението му. Когато дърпаме долното трупче надясно със сила $F$ , от II принцип на Нютон следват уравненията: $F - T_{\mathrm{д}} - f_1 - f_2 = m_1 a$ [0,5 т.] (за долното трупче) и $T_{\mathrm{д}} - f_2 = m_2 a$ [0,5 т.] (за горното трупче). От друга страна, когато дърпаме горното трупче надясно със същата сила $F$ , от II принцип на Нютон следват уравненията: $T_{\mathrm{г}} - f_1 - f_2 = m_1 a$ [0,5 т.] (за долното трупче) и $F - T_{\mathrm{г}} - f_2 = m_2 a$ [0,5 т.] (за горното трупче). Като използваме условието $T_{\mathrm{г}} = 2T_{\mathrm{д}}$ , може да получим, че външната сила $F = \dfrac{6km_2^2 g}{2m_2-m_1}$ [1 т.], а големината на ускорението на трупчетата е $a = \dfrac{km_1 g}{2m_2-m_1}$ [1 т.].

б) Първоначално силата на опън на нишката е $T_{\mathrm{г}} = f_1 + f_2 + m_1 a = \dfrac{4km_2^2 g}{2m_2-m_1}$ . [0,5 т.] Нека да означим силата на опън при равномерно движение с $T_{\mathrm{р}}$ . Системата се движи равномерно, ако ускорението на трупчетата е нула, т.е. $T_{\mathrm{р}} = f_1 + f_2 = k(m_1 + 2m_2)g$ . [0,5 т.] По условие $T_{\mathrm{г}} = 3T_{\mathrm{р}}$ , откъдето следва, че $3m_1^2 = 8m_2^2$ , т.е. $\dfrac{m_2}{m_1} = \dfrac{\sqrt{6}}{4} \approx 0{,}61$ . [1 т.]

в) След прерязването на нишката уравнението на Нютон за движението на горното трупче придобива вида: $F_{\mathrm{р}} - f_2 = m_2 a'$ . [0,5 т.] От уравненията по-горе следва, че силата $F_{\mathrm{р}} = f_1 + 2f_2 = k(m_1 + 3m_2)g$ [0,5 т.], откъдето $k = \dfrac{m_2 a'}{(m_1+2m_2)g} = \dfrac{(3-\sqrt{6})a'}{2g} \approx 0{,}11$ [1 т.]. Ускорението $a = \dfrac{km_1 g}{2m_2-m_1} = \dfrac{m_1 m_2 a'}{4m_2^2-m_1^2} = \dfrac{\sqrt{6}\,a'}{2} \approx 4{,}9\ \mathrm{m/s^2}$ . [0,5 т.]

г) Външната сила $F = \dfrac{6km_2^2 g}{2m_2-m_1} = \dfrac{6m_2^3 a'}{4m_2^2-m_1^2} = \dfrac{9\sqrt{6}\,m_1 a'}{8} \approx 11\ \mathrm{N}$ [0,5 т.], докато силата $F_{\mathrm{р}} = k(m_1 + 3m_2)g = \dfrac{m_2(m_1+3m_2)a'}{m_1+2m_2} = \dfrac{(5\sqrt{6}-6)m_1 a'}{8} \approx 3{,}1\ \mathrm{N}$ [0,5 т.].

Оригинал в Архива: esenni_2023_10problems.pdf · официални решения: esenni_2023_10solutions.pdf