Съдържание

НЕСФ 2023, 10. клас — Задача 1. Електричен дипол

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2023

Национално есенно състезание по физика, 17-19 ноември 2023 г., Копривщица — Тема за 10.клас (IV състезателна група) · 17 ноември 2023 г. · 10 т.

Условие

Електричен дипол наричаме система от два електрични заряда $q$ и $-q$ , които се намират на малко разстояние $l$ един от друг. Той се характеризира с величината електричен диполен момент $p = ql$ , насочен от отрицателния към положителния заряд.

а) Намерете силата $F_1$ (по големина и посока), с която положителен точков заряд $Q$ действа на дипол, разположен на разстояние $r \gg l$ , ако диполният момент $p$ е насочен по съединяващата ги права. Разгледайте двете възможни ориентации на дипола. Разстоянието $r$ между точковия заряд и дипола е разстоянието между точковия заряд и средата на разстоянието между двата заряда на дипола. [3 т.]

б) Получете израз за интензитета $E$ на електричното поле на разстояние $r \gg l$ на електричен дипол с диполен момент $p = ql$ в точка, лежаща върху правата, по която е насочен диполният момент. Всеки заряд на дипола създава независимо от другия електрично поле, а интензитетът на полето на дипола е векторна сума от интензитетите им. Как зависи посоката на интензитета на полето от ориентацията на дипола върху правата? Разстоянието $r$ се отчита от средата на отсечката, съединяваща зарядите. [2,5 т.]

в) Определете силата $F_{12}$ (по големина и посока), с която електричен дипол с диполен момент $p_1 = q_1 l_1$ действа на дипол с диполен момент $p_2 = q_2 l_2$ , когато те са ориентирани по съединяващата ги права. Разстоянието $r \gg l_1, l_2$ е разстоянието от средата на първия дипол до средата на втория дипол. [4,5 т.]

Отговори

Решение

Задача 1. а) Нека диполът е ориентиран по посока на интензитета на полето, създадено от точковия заряд $Q$ . Тогава резултантната сила е

F_1 = qE(r_-) - qE(r_+),

(0,5 т,)

където

r_- = r - \frac{l}{2}, \qquad r_+ = r + \frac{l}{2}.

(0,5 т.)

Тъй като $r_- < r_+$ , резултантната сила е насочена към заряда-източник, т.е. зарядът $Q$ привлича дипола. (0,25 т.) Ето защо имаме

F_1 = \frac{kqQ}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2} - \frac{kqQ}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} = kqQ\,\frac{2lr}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \approx \frac{2kQql}{r^3},

(1 т.)

чийто окончателен вид е

F_1 = k\frac{2Qp}{r^3}.

(0,25 т.)

Промяната на ориентацията на дипола на противоположна не променя големината на силата, а само посоката й, т.е. зарядът отблъсква дипола. (0,5 т.)

б) Нека диполният момент е насочен надясно. На разстояние $r$ имаме

E_+(r) = \frac{kq}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2}, \qquad E_-(r) = \frac{kq}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2},

(1 т.)

като те са насочени в противоположни посоки. (0,25 т.) Посоката на резултантния интензитет съвпада с посоката на диполния момент (0,25 т.) и по големина е

E(r) = \frac{kq}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2} - \frac{kq}{\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} = \frac{2kqlr}{\left(r-\frac{l}{2}\right)^2\left(r+\frac{l}{2}\right)^2} \approx k\frac{2p}{r^3}.

(1 т.)

в) По определение търсената сила при еднакво ориентирани диполи е

F_{12} = q_2E_1(r_-) - q_2E_1(r_+) = k\frac{2p_1q_2}{\left(r-\frac{l_2}{2}\right)^3} - k\frac{2p_1q_2}{\left(r+\frac{l_2}{2}\right)^3}.

(2 т.)

Привеждаме под общ знаменател и отчитаме условието $r \gg l_2$ , при което получаваме

F_{12} = k\frac{2p_1q_2\left(3r^2l_2 + l_2^3/4\right)}{\left(r-\frac{l_2}{2}\right)^3\left(r+\frac{l_2}{2}\right)^3} \approx k\frac{6p_1p_2}{r^4}.

(1 т.)

Силата е насочена към първия дипол (0,5 т.). Едновременната промяна на посоките на диполните моменти не променя посоката на силата (0,5 т.). Ако диполите са противоположно насочени, големината на силата не се променя, но дипол 2 се отблъсква от дипол 1. (0,5 т.)

Оригинал в Архива: esenni_2024_10problems.pdf · официални решения: esenni_2024_10solutions.pdf