НЕСФ 2023, 12. клас — Задача 1

• 1.1. $n(x) = A + Bx,\quad x = 1/\lambda^2$

  Полагане $x = 1/\lambda^2$ дава линейна зависимост $n(x) = A + Bx$.

• 1.2. x = 1/λ² (μm⁻²): 6.1; 5.3; 4.2; 3.4; 2.9; 2.3; 2.0; 1.4 — с две значещи цифри, нанесени срещу съответните n.

  Точки се дават и за използване на възможно най-голяма площ от листа, за означаване на величините и размерностите по осите и за нанасяне на всички точки.

• 1.3. 0.0077 μm²

  $B$ е в интервала $(7.6 - 7.8)\times10^{-3}$ (в оригинала размерността е отпечатана като $\mu\mathrm{m}^{-2}$); $A$ е в интервала $1.647 - 1.648$ (безразмерна).

Решение 1.1. В уравнение (1.1) може да положим $1/\lambda^2$ да бъде нова променлива $x$, която ще има размерност $\mathrm{m}^{-2}$ и тогава получаваме линейна зависимост от вида $n(x) = A + Bx$. (1 т.)

Решение 1.2. В таблицата се пресметнати стойностите за $x$ в $\mu\mathrm{m}^{-2}$. (0.5 т.) Стойностите са записани с две значещи цифри, тъй като се променят в голям интервал и не могат да се нанесат с по-голяма точност на предоставената хартия. (1 т.) Фигурата е показана по-долу. Точки за фигурата се дават за: използване на възможно най-голяма площ от листа (1 т.); означаване на величините и техните размерности по съответните оси (1.5 т.); изчертаване на всички точки от таблицата (1 т.).

Решение 1.3. След като нанесем точките от таблицата на графиката и прекараме права линия през тях, може да определим $A$ и $B$ по два начина:

• $A$ и $B$ могат да се определят по две точки от линейната зависимост. Те трябва да са на възможно най-голямо разстояние една от друга и координатите им да могат да бъдат определени точно от графиката. Такива две точки са т. $P_1$ и т. $P_2$. Наклонът се определя като $B = \Delta P_y/\Delta P_x = (1.697 - 1.656)/(6.4 - 1.1) = 0.041/5.3 = 7.7 \times 10^{-3}\ \mu\mathrm{m}^{-2}$. С $\Delta P_{x,y}$ сме означили разликата в $x, y$ координатите на двете точки. (2 т.) Свободния член $A$ може да определим след като вече знаем наклона и координатите на т. $P_1$, $A = P_{1y} - BP_{1x} = 1.656 - 7.7 \times 10^{-3} \times 1.1 = 1.647$. (2 т.)
• тъй като стойностите за $x$ са в интервала $(1.4 - 6.1)\ \mu\mathrm{m}^{-2}$ може абсцисата да започне от $0.0$, така при пресичане на правата линия с ординатата получаваме директно стойността на $A$, която е в интервала $(1.647 - 1.648)$. (2 т.) За да определим наклона $B$, избираме т. $P_2$ от правата, такава че да се намира на най-голямо разстояние от т. $A$ и координатите се определят възможно най-точно от графиката. Така може да определим наклона на графиката $B = (P_{2y} - A_y)/(P_{2x} - A_x)$, който ще е в интервала $(7.6 - 7.8) \times 10^{-3}\ \mu\mathrm{m}^{-2}$, в зависимост от използваната стойност за $A$. (2 т.)

Забележка: всички стойности за $A$ и $B$ са закръглени съответно до 4 и 2 значещи цифри. Не се дават точки ако са написани стойности в посочените интервали, но не е обяснено как са получени. Ако стойностите са пресметнати с помощта на линейна регресия и това е описано в решението, се дава само (1 т.).