НЕСФ 2024, 8. клас — Задача 1. Движение на магистрала

• а) $a_\text{у} = \frac{v_{100}}{t_{0-100}} = \frac{\frac{100}{3{,}6}\ \mathrm{m/s}}{10{,}00\ \mathrm{s}} \approx 2{,}78\ \mathrm{m/s^2}$

• б) $a_\text{з} = \frac{v_{80}^2}{2s} = \frac{\left(\frac{80}{3{,}6}\ \mathrm{m/s}\right)^2}{2\cdot 24{,}7\ \mathrm{m}} \approx 10{,}00\ \mathrm{m/s^2}$

  Точната стойност е $9{,}997\ \mathrm{m/s^2}$; авторското решение работи със закръглената $10{,}00\ \mathrm{m/s^2}$.

• в) $l_\text{р} = l_1 - l_{1\text{у}} - l_{1\text{з}} \approx 176{,}9\ \mathrm{m},\qquad t_1 = t_{1\text{у}} + t_\text{р} + t_{1\text{з}} \approx 20{,}22\ \mathrm{s}$

  Стойностите са по авторското решение, което ползва закръглените ускорения. С точните ускорения се получава $l_\text{р} \approx 176{,}8$ m и $t_1 \approx 20{,}21$ s (вж. errata.txt в архива).

• г) $v_x = \sqrt{\frac{2}{\frac{1}{a_\text{у}}+\frac{1}{a_\text{з}}}\left(l_2 + \frac{v_\text{тун}^2}{2a_\text{у}}\right)} \approx 35{,}5\ \mathrm{m/s} \approx 127{,}6\ \mathrm{km/h}$

  В решението същата стойност се използва по-нататък като $35{,}45$ m/s. С точните ускорения $v_x \approx 35{,}4$ m/s ($\approx 127{,}6$ km/h).

• д) $t = t_1 + t_\text{т} + t_2 = 20{,}22\ \mathrm{s} + 13{,}50\ \mathrm{s} + 8{,}30\ \mathrm{s} = 42{,}02\ \mathrm{s}$

  Стойността е по авторското решение със закръглени ускорения (вж. errata.txt в архива).

а) Ускорението $a_\text{у} = \dfrac{v_{100}}{t_{0-100}}$ [0,5 т.] $= \dfrac{\frac{100}{3{,}6}\ \mathrm{m/s}}{10{,}00\ \mathrm{s}} \approx 2{,}78\ \mathrm{m/s^2}$. [0,5 т.]

б) Ускорението $a_\text{з} = \dfrac{v_{80}^{\,2}}{2s}$ [0,5 т.] $= \dfrac{\left(\frac{80}{3{,}6}\ \mathrm{m/s}\right)^2}{2.24{,}7\ \mathrm{m}} \approx 10{,}00\ \mathrm{m/s^2}$. [0,5 т.]

в) Автомобилът ускорява от покой до $v_{max}$ за време $t_{1\text{у}} = \dfrac{v_{max}}{a_\text{у}} = \dfrac{v_{max}t_{0-100}}{v_{100}}$ [0,3 т.] $= 14{,}00$ s. [0,2 т.] За това време той изминава разстояние $l_{1\text{у}} = \dfrac{v_{max}^{\,2}}{2a_\text{у}} = \dfrac{v_{max}^{\,2}t_{0-100}}{2v_{100}}$ [0,3 т.] $\approx 272{,}2$ m. [0,2 т.]

Автомобилът намалява скоростта си от $v_{max}$ до $v_\text{тун}$ за време $t_{1\text{з}} = \dfrac{v_{max}-v_\text{тун}}{a_\text{з}}$ [0,3 т.] $= \dfrac{\frac{140\ \mathrm{m}}{3{,}6\ \mathrm{s}} - \frac{80\ \mathrm{m}}{3{,}6\ \mathrm{s}}}{10{,}00\ \mathrm{m/s^2}} \approx 1{,}67$ s. [0,2 т.] За това време той изминава разстояние $l_{1\text{з}} = \dfrac{v_{max}^{\,2}-v_\text{тун}^{\,2}}{2a_\text{з}}$ [0,3 т.] $= \dfrac{\left(\frac{140}{3{,}6}\ \mathrm{m/s}\right)^2 - \left(\frac{80}{3{,}6}\ \mathrm{m/s}\right)^2}{2.10{,}00\ \mathrm{m/s^2}} \approx 50{,}9$ m. [0,2 т.] Автомобилът изминава равномерно $l_\text{р} = l_1 - l_{1\text{у}} - l_{1\text{з}}$ [0,3 т.] $= 500{,}0\ \mathrm{m} - 272{,}2\ \mathrm{m} - 50{,}9\ \mathrm{m} = 176{,}9$ m. [0,2 т.] Това разстояние той ще измине за време $t_\text{р} = \dfrac{l_\text{р}}{v_{max}}$ [0,3 т.] $= \dfrac{176{,}9\ \mathrm{m}}{\frac{140\ \mathrm{m}}{3{,}6\ \mathrm{s}}} \approx 4{,}55$ s. [0,2 т.] Така времето за движение $t_1$ от тръгването до тунела е $t_1 = t_{1\text{у}} + t_\text{р} + t_{1\text{з}}$ [0,3 т.] $= 14{,}00\ \mathrm{s} + 4{,}55\ \mathrm{s} + 1{,}67\ \mathrm{s} = 20{,}22$ s. [0,2 т.]

г) Разстоянието, което автомобилът изминава, докато ускорява от скорост $v_\text{тун}$ до скорост $v_x$ е $l_{2\text{у}} = \dfrac{v_x^{\,2}-v_\text{тун}^{\,2}}{2a_\text{у}}$. [0,5 т.] Разстоянието, което автомобилът изминава, докато спира от скорост $v_x$ е $l_{2\text{з}} = \dfrac{v_x^{\,2}}{2a_\text{з}}$. [0,5 т.] Тъй като $l_2 = l_{2\text{у}} + l_{2\text{з}}$, то $l_2 = \dfrac{v_x^{\,2}-v_\text{тун}^{\,2}}{2a_\text{у}} + \dfrac{v_x^{\,2}}{2a_\text{з}}$, [0,5 т.] откъдето $v_x = \sqrt{\dfrac{2}{\left(\frac{1}{a_\text{у}}+\frac{1}{a_\text{з}}\right)}\left(l_2 + \dfrac{v_\text{тун}^{\,2}}{2a_\text{у}}\right)}$ [0,5 т.], $= \sqrt{\dfrac{2}{\left(\frac{1}{10{,}00\ \mathrm{m/s^2}}+\frac{1}{2{,}78\ \mathrm{m/s^2}}\right)}\left(200{,}0\ \mathrm{m} + \dfrac{\left(\frac{80}{3{,}6}\ \mathrm{m/s}\right)^2}{2.2{,}78\ \mathrm{m/s^2}}\right)} \approx 35{,}5$ m/s $\approx 127{,}6$ km/h. [1,0 т.]

д) Автомобилът се движи в тунела време $t_\text{т} = \dfrac{l_\text{т}}{v_\text{тун}}$ [0,1 т.] $= \dfrac{300\ \mathrm{m}}{\frac{80}{3{,}6}\ \mathrm{m/s}} = 13{,}50$ s. [0,2 т.] Времето на движение след тунела е $t_2 = \dfrac{v_x-v_\text{тун}}{a_\text{у}} + \dfrac{v_x}{a_\text{з}}$ [0,4 т.] $= \dfrac{35{,}45\ \mathrm{m/s} - \frac{80}{3{,}6}\ \mathrm{m/s}}{2{,}78\ \mathrm{m/s^2}} + \dfrac{35{,}45\ \mathrm{m/s}}{10{,}00\ \mathrm{m/s^2}} \approx 8{,}30$ s. [0,4 т.] Цялото време $t = t_1 + t_\text{т} + t_2$ [0,1 т.] $= 20{,}22\ \mathrm{s} + 13{,}50\ \mathrm{s} + 8{,}30\ \mathrm{s} = 42{,}02$ s. [0,3 т.]