Съдържание

НЕСФ 2024, 9. клас — Задача 1. Оптимизация на доставки

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НЕСФ 2024

Есенно национално състезание по физика, гр. Бургас — тема за IX клас (трета възрастова група) · 10 т.

Условие

Глюкозо-фруктозният сироп е важен продукт за хранителната индустрия. Близо до брега на река се намира завод за хранителната добавка. С цел по-бърз превоз на продукцията към другата страна на реката е построен въжен мост, по който по въжета във всяка посока се движат по две колони вагонетки. Пълните със сироп вагонетки се движат от единия бряг на реката до другия и се връщат празни. Разстоянието между вагонетките на всяко въже е $L = 50$ m. Вагонетките се движат със скорост $u_1 = 3$ m/s, обемът на всяка е $V_1 = 1,5$ m $^3$ . Заводът се намира на разстояние $l = 2$ km от товарната станция на въжения мост. Камиони-цистерни извършват непрекъснати курсове от завода до товарната станция на моста, като се движат със средна скорост $u_2 = 27$ km/h. Товарният обем на цистерните е $V_2 = 5$ m $^3$ .

А) Изразете обема сироп $Q_1$ , пренесен за единица време по въжената станция, чрез $V_1$ , $L$ , $u_1$ [1,5 т.]

Б) Изразете обема сироп $Q_2$ , доставен за единица време от камионите, чрез $V_2$ , $S$ , $u_2$ ( $S$ е разстоянието между пътуващите камиони) [1,5 т.]

В) Определете минималния брой $N$ необходими камиони-цистерни, така че въжената станция да не се налага да спира. Да се пренебрегне времето за товарене и разтоварване на сиропа от камионите-цистерни и вагонетките. [4,5 т.]

Г) Често пъти сиропът се добавя към пчелен мед. Разполагате с два еднакви съда, единият е пълен с пчелен мед, а другият със същия обем глюкозо-фруктозен сироп. От съда със сиропа се загребва един черпак и се изсипва в съда с мед. Разбърква се добре. След това от получената смес се загребва един черпак (същия обем) и се изсипва обратно в съда със сиропа.

Определете кой обем е по-голям – на меда в съда със сироп или на сиропа в съда с мед. [2,5 т.]

Решение

А) Определяме обема $Q_1$ на сиропа, превозващ се за единица време по въжения мост:

Q_1 = 2\frac{V_1}{t_1}, \qquad t_1 = \frac{L}{u_1}, \qquad \textbf{(0,5 + 0,5 = 1 т)}

където $t_1$ е времето, необходимо на празна вагонетка да пристигне на товарната станция на мястото на тръгнала вече натоварена вагонетка.

Q_1 = 2\frac{V_1 u_1}{L} \qquad \text{(0,5 т)}

Б) Обемът $Q_2$ , който камионите доставят за единица време $t_2$ , е равен на:

Q_2 = \frac{V_2}{t_2}, \qquad t_2 = \frac{S}{u_2}, \qquad \textbf{(0,5 + 0,5 = 1 т)}

където $t_2$ е времето на пристигане на следващия камион след разтоварване на предишния, а $S$ е разстоянието между пътуващите камиони.

Q_2 = \frac{V_2 u_2}{S} \qquad \text{(0,5 т)}

В) По маршрута ще има $N$ на брой камиони.

N = \frac{2l}{S} \qquad \textbf{(1 т)}

За оптимално натоварване на въжения мост обемът, превозван от камионите, не трябва да бъде по-малък от обема сироп, превозван чрез въжения мост.

Q_1 = Q_2 \qquad \textbf{(1 т)}

2\frac{V_1 u_1}{L} = \frac{V_2 u_2}{2l}\cdot N \qquad \textbf{(0,5 т)}

Откъдето:

N = \frac{4l}{L}\cdot\frac{V_1 u_1}{V_2 u_2} = 19,2 \qquad \text{(1 т)}

Необходими са поне $N = 20$ камиона за максимално натоварване на въжената линия (1 т).

Г) Нека с $V$ отбележим обема на черпака. При загребване с черпака от сместа в съда със сиропа ще имаме в черпака $xV$ мед и $(1 - x).V$ сироп (1 т). По този начин в съда с мед ще попадне $(1 - x).V$ сироп (0,5 т). Съответно в съда със сиропа ще остане $V - x.V = (1 - x)V$ мед (0,5 т), т.е. поравно (0,5 т).

Решението е примерно. Да се признаят всички решения за верни, ако след правилни разсъждения и математически пресмятания се стига до верен отговор.

Оригинал в Архива: 9_202411_burhas_9_petkov_zad.pdf · официални решения: 9_202411_burhas_9_petkov_resh.pdf · допълнителни данни: errata.txt