Съдържание

IAO 2002, Теория, Група α, български — Задача 6

Оригинал на условието (текст)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2002

2002 - теоретичен тур

Внимание: Бележка към темата

Запазен е българският текстов вариант, с пълните официални английски решения и възстановеното оригинално приложение за кометата. Руският вариант е съпоставен; различията са обозначени. Ключът не съдържа поисканите рисунки за задачи 2 и 4.

Източници и група

VII IAO, Нижний Архыз, 22–29.10.2002. Българските шест задачи съответстват на оригиналната група A. Ключът означава задачи 1–3 като Groups AB и 4–6 като Group A. Всички английски и руски листове за тази група са прочетени; различната група B не е приписана на това издание.

Условие

Асансьор се изкачва от повърхността на Земята до геостационарен спътник. Оценете (поне грубо) на какво разстояние от спътника силата на тежестта, действаща на човека, ще е равна на една стотна от обикновената.

Отговори

Решение

Finally necessary to find the distance $x$ where $g_{\mathrm{eff}}=0.01g_0$ .

g_{\mathrm{eff}}=GM/R^2-\omega^2R=g_0R_0^2/R^2-\omega^2R,

where $g_0$ and $R_0$ are values near the earth surface. But at first necessary to find the radius $R_S$ of the geostationary satellite's orbit; at this position $g_{\mathrm{eff}}=0$ :

GM/R_S^2=\omega^2R_S,

R_S^3=GM/\omega^2=g_0R_0^2/\omega^2=g_0(R_0T/2\pi)^2,

where $T$ is period of the Earth revolution.

R_S=\{g_0R_0^2/\omega^2\}^{1/3}\approx42\,200\ \mathrm{km}.

For small variations one may use formula

g_{\mathrm{eff}}(A+x)=g_{\mathrm{eff}}(A)+g_{\mathrm{eff}}'x.

So in measuring gravitation very near the satellite (the satellite is zero point and $g_{\mathrm{eff}}=0$ ), for the small variations of the distance $x$ directed from Earth,

g_{\mathrm{eff}}(x)=g_{\mathrm{eff}}'x=(-2GM/R_S^3-\omega^2)x.

So for $g_{\mathrm{eff}}=0.01g_0$ one can calculate

x=\frac{0.01g_0}{-2GM/R_S^3-\omega^2}=\frac{0.01g_0}{-2g_0R_0^2/R_S^3-(2\pi/T)^2}.

Taking into account that $R_S^3=g_0(R_0T/2\pi)^2$ ,

x=\frac{0.01g_0}{-3(2\pi/T)^2}\approx-6150\ \mathrm{km}.

The sign 'minus' means that these 6150 km are in a direction opposite to our axis direction: the position of the point before the satellite. Of course, the value 6150 km already is not a 'small variation', but it is enough to make desirable estimation: about 6000 km.

Бележка за източника: английският текст нарича $T$ „period of the Earth revolution“; руският уточнява, че е периодът на въртене около собствената ос.

Оригинал в Архива: bgalphatheo.txt · официални решения: commonsol.jpg · допълнителни данни: alphasol.jpg · допълнителни данни: alphatheo.jpg · допълнителни данни: alphatheodata.jpg · допълнителни данни: alphatheo.jpg · допълнителни данни: alphasol.jpg · допълнителни данни: commonsol.jpg