Съдържание

IAO 2002, Теория, Група α, руски — Задача 6

Оригинал на условието (изображение)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2002

Задачи теоретического тура — Group A · 22 октомври 2002 г.

Примечания к источнику

Ключ ссылается на рисунок к задаче 2, но рисунок не приложен. Рисунок с медведем к задаче 4 также отсутствует. В решении 2 обсуждается проекционный множитель 2^(1/2), но он пропущен в напечатанной формуле S; формула сохранена.

Условие

Лифт ведёт с поверхности Земли на геостационарный спутник. Оцените (по крайней мере, грубо), на каком расстоянии до (ниже) спутника сила тяжести, действующая на человека, будет равна одной сотой от обычной.

Решение

В конечном счёте необходимо найти расстояние $x$ до спутника, где $g_{\mathrm{eff}}=0.01\cdot g_0$ .

g_{\mathrm{eff}}=GM/R^2-\omega^2R=g_0R_0^2/R^2-\omega^2R,

где $g_0$ и $R_0$ – величины около поверхности земли. Но сначала найдём радиус $R_S$ геостационарной орбиты, в этой точке $g_{\mathrm{eff}}=0$ :

GM/R_S^2=\omega^2R_S,

R_S^3=GM/\omega^2=g_0R_0^2/\omega^2=g_0(R_0T/2\pi)^2,

где $T$ – период обращения Земли вокруг своей оси.

R_S=\{g_0R_0^2/\omega^2\}^{1/3}\approx42\,200\ \mathrm{km}.

Для малых изменений можно использовать формулу

g_{\mathrm{eff}}(A+x)=g_{\mathrm{eff}}(A)+g_{\mathrm{eff}}'\cdot x.

Поэтому при измерении гравитации близко к спутнику (спутник – это нулевая точка и $g_{\mathrm{eff}}=0$ ) для малых изменений расстояний $x$ , направленных от Земли,

g_{\mathrm{eff}}(x)=g_{\mathrm{eff}}'\cdot x=(-2GM/R_S^3-\omega^2)\cdot x.

Для $g_{\mathrm{eff}}=0.01\cdot g_0$ можно вычислить, что

x=0.01\cdot g_0/\{-2GM/R_S^3-\omega^2\}=0.01\cdot g_0/\{-2g_0R_0^2/R_S^3-(2\pi/T)^2\},

учитывая, что $R_S^3=g_0(R_0T/2\pi)^2$ ,

x=0.01\cdot g_0/\{-3\cdot(2\pi/T)^2\}\approx-6150\ \text{км}.

Знак ‘минус’ означает, что эти 6150 км в сторону, противоположную выбранного нами направления оси: точка находится ‘до спутника’. Конечно, величина 6150 км – это уж не ‘малые изменения’, но вполне достаточны для грубой оценки: около 6 000 км.

Оригинал в Архива: alphatheo.jpg · официални решения: commonsol.jpg · допълнителни данни: alphasol.jpg · допълнителни данни: alphatheodata.jpg