Съдържание

Условие Изисквания за отговорите Отговори Решение

IAO 2011, Теория, Групи α и β — αβ-5. Юпитер изчезва

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IAO 2011

XVI Международная астрономическая олимпиада / XVI International Astronomy Olympiad — Казахстан, Алма-Ата, 22 – 30. IX. 2011 — Round: Theo · 22 септември 2011 г.

Обща информация

Възможно е не всички въпроси да имат верен отговор. Някои въпроси (може би главният въпрос или някой от подвъпросите) могат да нямат смисъл. В този случай, Вие трябва да напишете във Вашия отговор (на английски или руски език) "impossible situation-ситуация невозможна". Разбира се, отговорът трябва да бъде обяснен числено или логически. Данните от таблиците (данни за планети, звезди, константи и т.н.) могат да бъдат използвани за решаването на всяка задача. Отговорите "Да-Yes" или "Нет-No" трябва да бъдат написани на английски или руски език.

Source ownership and groups

The Bulgarian manuscript contains distinct α-1 and β-1 tasks, distinct α/β Planetarium versions, then shared αβ-3–5. Existing IDs p1–p5 are retained; the unrelated β-1 is now p6. The English original supplies the Jupiter photograph and complete reference tables absent from the Bulgarian manuscript. Bulgarian date 18 October 2009 is retained; English question and key say 19 October 2009.

Clipped official sketches

The five-page official key is a preliminary jury sketch. Its page tops are clipped on pages 2–5 in the actual PDF, also visible in fresh PyMuPDF rendering. Missing opening/continuation passages are explicitly marked, not reconstructed. The ray-diagram lower label is partly cut off.

Missing drawings and grading

No detailed grading sheet occurs in the year inventory. The introduction refers to correct student solutions worth 8 points. The requested Mars Bear drawing and promised Jupiter-moon sector/point drawings are absent from the supplied key.

Printed discrepancies

Retained: latitude intermediate −88°28′ versus final −88°23′; solar mass 1.989 × 10⁻³⁰ kg versus reference table 1989000 × 10²⁴ kg; Planetarium inequality R ≪ F; Mars sketch says sunset and discusses eccentricity although the question allows a circular orbit. Jupiter sketch uses “difference in declinations”, reports 1.5% accuracy and gives centre-distance rather than the requested surface distance. These are source statements, not newly calculated answers.

Условие

Нека да предположим, че Юпитер изведнъж е изчезнал. Така спътниците му стават самостоятелни тела.

5.1. Кои Галилееви спътници (Галилеев спътник) и при какви условия (в кой случай) могат да напуснат слънчевата система?

5.2. Кои Галилееви спътници (Галилеев спътник) и при какви условия могат да паднат върху Слънцето?

Изисквания за отговорите

Отговорите на въпросите „кои спътници“ и „в кой случай (при какви условия)“ (конфигурация в момента на изчезване на Юпитер) трябва да са дадени във формата на чертежи, а пресмятанията трябва да са в основата на отговора. Имената на спътниците в решението и на схемите трябва да са изписани на английски език. Считайте орбитата на Юпитер за кръгова.

Отговорите на въпросите "кой спътник" и "в кой случай (при какви условия)" (конфигурация в момента на изчезване на Юпитер) трябва да бъдат дадени във формата на чертежи, а пресмятанията трябва да са в основата на отговора. Имената на спътниците в решението и на схемите трябва да са изписани на английски език. Считайте орбитата на Юпитер за кръгова.

Отговори

Решение

Внимание: Непълно решение

Part of the 5.1 continuation is cut off in the scan. The source promises sector/point drawings later, but those drawings are absent.

Theoretical round. Sketches for solutions. For preliminary work of Jury ONLY.

Note for jury and team leaders. The proposed sketches are not full; the team leaders have to give more detailed explanations for students. But the correct solutions in the students’ papers (enough for 8 pts) may be shorter.

Orbital velocities

Let us find the most important parameters that we need for the solution. The orbital velocities of Jupiter and its moons are,

Jupiter: $T=2\pi\cdot778600000/4332.59/86400=13.069\,\mathrm{km/s}$ ,

and analogously:

Moon	Orbital velocity
Io	17.33 km/s
Europa	13.74 km/s
Ganimede	10.88 km/s
Callisto	8.20 km/s

After disappearance of Jupiter the velocity of each of its former moons relative to the Sun will remain and will be equal to sum of vectors of the velocity of Jupiter relative to the Sun and the velocity of the moons relative to Jupiter.

Transcription note: the symbol $T$ labels the speed calculation in the source.

5.1.

A body can leave the Solar system if its total energy in the field of gravitation of the Sun would exceed zero:

-GMm/R+mv^2/2\ge0\quad\text{or}\quad mv^2/2\ge GMm/R.

But also we know that for a circular orbit

mv^2/2=GMm/2R.

Therefore, the body can leave the Solar system if its full speed at the distance of the orbit of Jupiter is at least $2^{1/2}$ times larger than the orbital velocity of Jupiter, i.e. $2^{1/2}\cdot13.07\,\mathrm{km/s}=18.48\,\mathrm{km/s}$ . As we see, for any moon such a velocity is possible. At least, it is reached in a configuration of local opposition of the …

[The continuation is cut off between the bottom of page 4 and the top of page 5. The next surviving word is reproduced below.]

… disappears). The necessary drawing to this question should contain these sectors. Student have to find boundaries of the sectors geometrically from the diagram of geometrical summation of velocities or calculate the angles algebraically.

Answer: Io, Europa, Ganimede, Callisto, every moon in the case being in the sector shown at the drawing.

5.2.

A body can fall into the Sun in the opposite situation, if the velocity relative to the Sun is strongly reduced, namely reduced to zero the orbital component of the velocity, then it will move to the Sun or from the Sun by a thin ellipse and finally fall into the Sun. Or, as an alternative we may keep the velocity large, but its vector should be directed strictly to the Sun, so that the point of perihelion of the (not closed) orbit appear in the Sun. By the same diagram of geometrical summation of velocities we may find that falling into the Sun is possible only for Io and Europa, and for both of them it will take place only in two points, sometime before the local conjunctions with Sun (analog to new moon at Earth) and sometimes after. The necessary drawing to this question should contain these points. The student has to find the points geometrically from the diagram of geometrical summation of velocities or calculate their positions algebraically.

Answer: Io and Europa in the case being in the points of orbit shown at the drawing.

Note: the drawings will be presented for jury sometime later.

Source gap: those promised sector/point diagrams are absent from the supplied solution PDF and the inspected year inventory. They are not invented here.

Parameters of orbits. Physical characteristics of Sun, some planets, Moon and Galilean moons of Jupiter

Элементы орбит. Физические характеристики Солнца, некоторых планет, Луны и Галилеевых спутников Юпитера

Parameters of orbits. Physical characteristics of Sun, some planets, Moon and Galilean moons of Jupiter

Небесное тело, планета / Body, planet	Среднее расстояние от центрального тела, в астр. ед. / Average distance to central body, in astr. units	Среднее расстояние от центрального тела, в млн. км / Average distance to central body, in mln. km	Сидерический (или аналогичный) период обращения, в тропич. годах / Sidereal (or analogous) period, in troph. years	Сидерический (или аналогичный) период обращения, в средних сутках / Sidereal (or analogous) period, in days	Эксцентриситет, e / Eccentricity, e	Экваториальн. диаметр, км / Equat. diameter, km	Масса, $10^{24}$ кг / Mass, $10^{24}$ kg	Средняя плотность, г/см³ / Av. density, g/cm³	Ускор. своб. пад. у пов., м/с² / Grav. acceler. at surf., m/s²	Наклон оси / Axial tilt	Альбедо / Albedo
Солнце Sun	$1{,}6\cdot 10^{9}$	$2{,}5\cdot 10^{11}$	$2{,}2\cdot 10^{8}$	$8\cdot 10^{10}$		1392000	1989000	1,409
Меркурий Mercury	0,387	57,9	0,241	87,97	0,206	4 879	0,3302	5,43	3,70	0,01°	0,06
Венера Venus	0,723	108,2	0,615	224,70	0,007	12 104	4,8690	5,24	8,87	177,36	0,78
Земля Earth	1,000	149,6	1,000	365,26	0,017	12 756	5,9742	5,515	9,81	23,44	0,36
Луна Moon	0,00257	0,38440	0,0748	27,3217	0,055	3 475	0,0735	3,34	1,62	6,7	0,07
Марс Mars	1,524	227,9	1,880	686,98	0,093	6 794	0,6419	3,94	3,71	25,19	0,15
Юпитер Jupiter	5,204	778,6	11,862	4 332,59	0,048	142 984	1899,8	1,33	24,86	3,13	0,66
Сатурн Saturn	9,584	1433,7	29,458	10 759,20	0,054	120 536	568,50	0,70	10,41	26,73	0,68

Спутник / Moon	Среднее расстояние от центра планеты, в астр. ед. / Average distance to planet center, in astr. units	Среднее расстояние от центра планеты, в тыс. км / Average distance to planet center, in thous. km	Сидерич. период обращения в средних сутках / Sidereal period in days	Наклонение орбиты (°) / Orbit inclination (°)	Эксцентриситет, e / Eccentricity, e	Диаметр, км / Diameter, km	Масса, $10^{21}$ кг / Mass, $10^{21}$ kg	Средняя плотность, г/см³ / Av. density, g/cm³	Ускор. своб. пад. у пов., м/с² / Grav. acceler. at surf., m/s²	Макс. блеск, вид. с Земли ) / Max. magn. From Earth )	Геом Альбедо / Geom Albedo
Ио Io	0,00282	421,70	1,769137	0,050°	0,0041	3 643	89,31	3,53	1,80	$5{,}02^{m}$	0,63
Европа Europa	0,00449	671,03	3,551181	0,471°	0,0094	3 122	48,00	3,01	1,32	$5{,}29^{m}$	0,67
Ганимед Ganymede	0,00716	1070,41	7,154553	0,204°	0,0011	5 262	148,19	1,94	1,43	$4{,}61^{m}$	0,43
Каллисто Callisto	0,01259	1882,71	16,689018	0,205°	0,0074	4 821	107,59	1,83	1,23	$5{,}65^{m}$	0,20

*) В среднем противостоянии. *) In mean opposition.

Some constants and formulae

Некоторые константы и формулы

Some constants and formulae

Константа	Значение / Value	Constant
Скорость света в вакууме, c (м/с)	299 792 458	Speed of light in vacuum, c (m/s)
Гравитационная постоянная, G (Н·м²/кг²)	$6.674\cdot 10^{-11}$	Constant of gravitation, G (N·m²/kg²)
Солнечная постоянная, A (Вт/м²)	1367	Solar constant, A (W/m²)
Параметр Хаббла, H₀ (км/с/МПк), среднее значение	71	mean value, Hubble parameter, H₀ (km/s/Mpc)
Параметр Хаббла, H₀ (км/с/МПк), диапазон значений	50-100	diapason of values, Hubble parameter, H₀ (km/s/Mpc)
Постоянная Планка, h (Дж·с)	$6.626\cdot 10^{-34}$	Plank constant, h (J·s)
Заряд электрона, e (Кл)	$1.602\cdot 10^{-19}$	Charge of electron, e (C)
Масса электрона, mₑ (кг)	$9.109\cdot 10^{-31}$	Mass of electron, mₑ (kg)
Соотношение масс протона и электрона	1836.15	Proton-to-electron ratio
Постоянная Фарадея, F (Кл/моль)	96 485	Faraday constant, F (C/mol)
Магнитная постоянная, μ₀ (Гн/м)	$1.257\cdot 10^{-6}$	Magnetic constant, μ₀ (H/m)
Универсальная газовая постоянная, R (Дж/моль/K)	8.314	Universal gas constant, R (J/mol/K)
Постоянная Больцмана, k (Дж/K)	$1.381\cdot 10^{-23}$	Boltzmann constant, k (J/K)
Стандартная атмосфера (Па)	101 325	Standard atmosphere (Pa)
Постоянная Стефана-Больцмана, σ (Вт/м²/K⁴)	$5.670\cdot 10^{-8}$	Stefan-Boltzmann constant, σ (W/m²/K⁴)
Константа смещения Вина, b (м·K)	0.002897	Wien’s displacement constant, b (m·K)
Лабораторная длина волны Hα (Å)	6562.81	Laboratory wavelength of Hα (Å)
Длина тропического года, T (сут)	365.242199	Tropical year length, T (days)
Показатель преломления воды при 20°C, n	1.334	Refractive index of water for 20°C, n
Момент инерции шара	$I = {}^{2}/_{5}\, MR^{2}$	Moment of inertia of a solid ball
Площадь сферы	$S = 4\pi R^{2}$	Area of sphere
π	3.14159265	π
e	2.71828183	e
Золотое сечение, φ	1.61803399	Golden ratio, φ

Оригинал в Архива: bgtheo.pdf · официални решения: theosol.pdf · допълнителни данни: alphatheo.pdf · допълнителни данни: betatheo.pdf · допълнителни данни: data_1.png · допълнителни данни: data_2.png