Съдържание

IOAA 2015, Теория, кратки задачи, български — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2015

КЪСИ ЗАДАЧИ

Внимание: Бележка към темата

Официалното решение на задача 12 е за кинетична енергия 1 GeV, докато българското условие задава пълна енергия 1 GeV. Решението е запазено с това изрично несъответствие.

Условие

В орбита около звездата Gliese 876 са наблюдавани няколко планети. Масата на тази звезда е $M_G=0.33\pm0.03M_\odot$ , а данните за планетите са дадени в таблицата:

Gliese System	Маса	Голяма полуос (AU)
Gliese 876 b	$2.276M_J$	0.2083
Gliese 876 c	$0.714M_J$	0.1296
Gliese 876 d	$6.8M_\oplus$	0.0208
Gliese 876 e	$15M_\oplus$	0.334

където $M_\odot$ е масата на Слънцето, $M_J$ е масата на Юпитер ( $M_J=1.89813\times10^{27}\,kg$ ), а $M_\oplus$ е масата на Земята. Считайте, че всички тези планети се движат по своите орбити в една и съща посока. Казваме, че две планети имат резонансни орбити, ако синодичният период на едната планета, относно втората, е целочислено кратен на сидеричния период на втората планета.

Има ли планети в системата на Gliese 876, които имат резонансни орбити?

Решение

Answer and Marking Scheme:

1 Determine planet periods

[50]

Synodic period of planet 1 and 2 (assume $P_1 < P_2$ ) is $\frac{1}{P_S} = \frac{1}{P_1} - \frac{1}{P_2} \;\rightarrow\; P_S = \frac{P_1P_2}{P_2 - P_1}$

Resonant orbit happens if

P_S = mP_1 \;\rightarrow\; \frac{P_1P_2}{P_2 - P_1} = mP_1 \;\rightarrow\; m = \frac{P_2}{P_2 - P_1} > 1,\ \mathrm{integer}

Using the data of the Gliesean system we have

Gliese System	Mass (kg)	Semi Major Axis (m)	Period (Earth, days) $P = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{GM_G}}$
Gliese 876 star	$6.64359\times10^{29}$
Gliese 876 b	$4.31938\times10^{27}$	$3.1161\times10^{10}$	60.07568
Gliese 876 c	$1.35564\times10^{27}$	$1.9388\times10^{10}$	29.48304
Gliese 876 d	$4.079\times10^{25}$	$3.1116\times10^{9}$	1.8956
Gliese 876 e	$8.7194\times10^{25}$	$5.0011\times10^{10}$	122.1432

2 Calculate resonant orbit for each planet

From the results above we see that

Gliese 876 c and Gliese 876 b have resonant orbit

m = \frac{P_b}{P_b - P_c} = 1.96 \approx 2

[25]

Gliese 876 b and Gliese 876 e have resonant orbit

m = \frac{P_e}{P_e - P_b} = 1.9679 \approx 2

[25]

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Небесна механика · Закони на Кеплер · Синодични периоди

Оригинал в Архива: Short_problem_Final_BG.pdf · официални решения: Short Problem Solution-Marking Scheme 30.07.pdf · допълнителни данни: Short_Problem_Solution.docx