Съдържание

IOAA 2015, Теория, кратки задачи, български — Задача 2

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2015

КЪСИ ЗАДАЧИ

Внимание: Бележка към темата

Официалното решение на задача 12 е за кинетична енергия 1 GeV, докато българското условие задава пълна енергия 1 GeV. Решението е запазено с това изрично несъответствие.

Условие

Естествен спътник на една планета има орбитален период 7d 3h 43min и голяма полуос 15.3 пъти по-голяма от средния радиус на планетата. Луната има орбитален период 27d 7h 43min и голяма полуос, която е 60.3 пъти по-голяма от средния радиус на Земята. Приемете, че масите на Луната и на спътника са пренебрежимо малки в сравнение с масите на планетите им. Пресметнете отношението на средните плътности на планетата и Земята.

Решение

Answer and Marking Scheme:

First Version

1 Kepler third Law for satellite and Moon

\frac{P_S^2}{a_S^3}=\frac{P_S^2}{(15.3R_P)^3}=\frac{4\pi^2}{GM_P};

\frac{P_M^2}{a_M^3}=\frac{P_M^2}{(60.3R_E)^3}=\frac{4\pi^2}{GM_E};

[30]

2 Express mass in term of mass density:

\frac{P_S^2}{(15.3R_P)^3}=\frac{4\pi^2}{GM_P}=\frac{4\pi^2}{G\rho_P\frac43\pi R_P^3}

\frac{P_M^2}{(60.3R_E)^3}=\frac{4\pi^2}{GM_E}=\frac{4\pi^2}{G\rho_E\frac43\pi R_E^3}

[30]

3 Evaluate ratio of mass-density:

\frac{\rho_E}{\rho_P}=\frac{60.3^3\times P_S^2}{15.3^3\times P_M^2}

[30]

\frac{\rho_E}{\rho_P}=0.238\approx0.24

[10]

Second Alternate Version

The period of the Satellite: $P_S=7\ days,3\ hours,43\ minutes=0.0196\ years$ ,
Mean orbital radius of the Satellite: $a_S=15.3R_P$ ; $R_P$ : radius of the Planet.
The period of the Moon: $P_M=27\ days,7\ hours,43\ minutes=0.0749\ years$ ,
Mean orbital radius of the Moon: $a_M=60.3R_E$ ; $R_E$ : radius of the Earth.
Mass of the Sun ( $M$ )
Kepler’s Third Law: $G(M+m)=4\pi^2\frac{a^3}{T^2}\rightarrow$
Mass of the Planet: $m_P$
Radius of the Planet: $R_P$
Semi major axis of the Planet = Mean orbital radius of the Planet: $a_P$
Semi major axis of the Satellite = Mean orbital radius of the Satellite: $a_S$
Semi major axis of the Moon = Mean orbital radius of the Moon: $a_M$
Mass of the Earth: $m_E$
Radius of the Earth: $R_E$
Semi major axis of the Earth = Mean orbital radius of the Earth: $a_E$

Planet – Satellite:

G(m_P+m_S)=4\pi^2\frac{a_S^3}{P_S^2},m_P\gg m_S\rightarrow G(m_P)=4\pi^2\frac{a_S^3}{P_S^2}\qquad(1)

(5)

The Earth–the Moon:

G(m_E+m_M)=4\pi^2\frac{a_M^3}{P_M^2},m_E\gg m_M\rightarrow G(m_E)=4\pi^2\frac{a_M^3}{P_M^2}\qquad(2)

(5)

Planet–Sun:

G(M+m_P)=4\pi^2\frac{a_P^3}{P_P^2},M\gg m_P\rightarrow G(M)=4\pi^2\frac{a_P^3}{P_P^2}\qquad(3)

(5)

Earth–Sun:

G(M+m_E)=4\pi^2\frac{a_E^3}{P_E^2},M\gg m_E\rightarrow G(M)=4\pi^2\frac{a_E^3}{P_E^2}\qquad(4)

(5)

From equation (1) and (3):

\frac{m_P}{M}=\frac{4\pi^2\frac{a_S^3}{P_S^2}}{4\pi^2\frac{a_P^3}{P_P^2}}=\frac{(a_S)^3}{(a_P)^3}\frac{(P_P)^2}{(P_S)^2}=\frac{(15.3R_P)^3}{(a_P)^3}\frac{(P_P)^2}{(P_S)^2}=\frac{(15.3R_P)^3}{(a_P)^3}\frac{(P_P)^2}{(0.0196)^2}

(20)

From equation (2) and (4):

\frac{m_E}{M}=\frac{4\pi^2\frac{a_M^3}{P_M^2}}{4\pi^2\frac{a_E^3}{P_E^2}}=\frac{(a_M)^3}{(a_E)^3}\frac{(P_E)^2}{(P_M)^2}=\frac{(60.3R_E)^3}{(a_E)^3}\frac{(P_E)^2}{(P_M)^2}=\frac{(60.3R_E)^3}{(a_E)^3}\frac{(P_E)^2}{(0.0749)^2}=\frac{(60.3R_E)^3}{(1)^3}\frac{(1)^2}{(0.0749)^2}

(20)

\rightarrow\quad\frac{m_E}{m_P}=\frac{\frac{(15.3R_P)^3}{(a_P)^3}\frac{(P_P)^2}{(0.0196)^2}}{\frac{(60.3R_E)^3}{(1)^3}\frac{(1)^2}{(0.0749)^2}}=\frac{(15.3R_P)^3/(0.0196)^2}{(60.3R_E)^3/(0.0749)^2}

(20)

\rightarrow\quad\frac{\rho_P}{\rho_E}=\frac{m_P/Vol_P}{m_E/Vol_E}=\frac{m_P/\frac43\pi(R_P)^3}{m_E/\frac43\pi(R_E)^3}=\frac{(15.3R_P)^3/(0.0196)^2}{(60.3R_E)^3/(0.0749)^2}\cdot\frac{\frac43\pi(R_E)^3}{\frac43\pi(R_P)^3}=\frac{\frac{(15.3)^3}{(0.0196)^2}}{\frac{(60.3)^3}{(0.0749)^2}}=0.24

(20)

Теми и трудност

Трудност: неоценена.

Небесна механика · Слънчева система · Закони на Кеплер · Свойства на планетите

Оригинал в Архива: Short_problem_Final_BG.pdf · официални решения: Short Problem Solution-Marking Scheme 30.07.pdf · допълнителни данни: Short_Problem_Solution.docx