Съдържание

IOAA 2016, Отборен тур — Задача 1. (G1)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от IOAA 2016

Отборен тур · 50 т.

Условие

Космически кораб с маса $m$ и със скорост $\vec{v}$ се приближава към масивна планета с маса $M$ и орбитална скорост $\vec{u}$ . И двете скорости са относно една и съща инерциална отправна система. Разглеждаме един специален случай, в който траекторията на приближаващият се космически кораб е такава, че векторът на скоростта на планетата не променя посоката си в резултат допълнителната скорост, която се придава кораба вследствие на гравитационното взаимодействие между двете тела.

Планета (кръг с надпис Planet) със стрелка u надясно; траекторията на кораба идва отдолу наляво със скорост v (означено spacecraft), заобикаля планетата и излиза горе надясно. — Figure 1

Планета (Planet) със стрелка u надясно; корабът (spacecraft) се приближава отдолу със скорост v под ъгъл θ спрямо пунктирана хоризонтална линия, заобикаля планетата и излиза горе вдясно. — Figure 2

Схема на орбитите на планетите около Слънцето с пунктираната траектория на Voyager 2 и надписи: VOYAGER 2 Launch 20 Aug 77, Jupiter, Saturn 25 Aug 81, Uranus 24 Jan 86, Neptune 25 Aug 89, VOYAGER 2. — Figure 3

В този случай, нарастването на големината на скоростта на космическия кораб може да бъде оценена като се използват закони за запазване. При това се използва измерената стойност на скоростта на космическия кораб на границата на сферата на гравитационно влияние на планетата, в началото и в края на взаимодействието на кораба с гравитационното ѝ поле, и ъгъла на движение на кораба при доближаването към планетата.

(G1.1) Каква ще бъде крайната големината на скоростта ( $\overrightarrow{v_{\mathrm{f}}}$ ) на космическият кораб, ако $\vec{v}$ и $\vec{u}$ имат противоположни посоки (както е показано на Фигура 1)? [3 т.]

(G1.2) Опростете този израз, за случая в който е валидно приближението $m \ll M$ . [1 т.]

(G1.3) Ако ъгълът между $\vec{v}$ и $-\vec{u}$ е $\theta$ и $m \ll M$ (виж Фигура 2), то получете израз за големината на крайната скорост ( $v_{\mathrm{f}}$ ) на сондата, използвайки резултата от предното подусловие. [3 т.]

(G1.4) В таблицата, която е на последната страница, са дадени данни за автоматичната космическа станция Voyager-2, отнасящи се за няколко месеца през 1979г.. Приемете, че наблюдателят се намира в центъра на Слънцето. Разстоянието между наблюдателя и Юпитер е дадено в астрономически единици (AU), а $\lambda$ е хелиоцентричната еклиптична дължина в градуси. Приемете, че всички обекти се намират в равнината на еклиптиката, а също че орбитата на Земята около Слънцето е кръгова. Начертайте графика използвайки данните от една от колоните в таблицата, като функция на датата на наблюдение, за да намерите датата на която космическият апарат максимално се сближава с Юпитер и означете графиката с G1.4. [8 т.]

(G1.5) Намерете разстоянието между Земята и Юпитер ( $d_{\mathrm{E-J}}$ ) в деня на максималното сближаване на космическият апарат с планетата. [4 т.]

(G1.6) В деня на максимално сближаване, в колко часа по стандартно време ( $t_{\mathrm{std}}$ ), приблизително, Юпитер пресича меридиана на мястото за наблюдател, който се намира в Бубанешвар ( $20.27^{\circ}\ \mathrm{N};\ 85.84^{\circ}\mathrm{E};\ \mathrm{UT} + 05{:}30$ ) [6 т.]

(G1.7) В таблицата е дадена скоростта на космическата сонда (в km/s), относно същия наблюдател, за няколко дати, преди и след най-близкото преминаване. С n е означен денят в който се случва най-голямото сближаване. Намерете орбиталната скорост на Юпитер ( $u$ ) и ъгъла $\theta$ използвайки тези данни.

Дата	n-45	n-35	n-25	n-15	n-5	n
$\mathbf{v}_{\mathbf{tot}}$	10.1408	10.0187	9.9078	9.8389	10.2516	25.5150
Дата	n+5	n+15	n+25	n+35	n+45
$\mathbf{v}_{\mathbf{tot}}$	21.8636	21.7022	21.5580	21.3812	21.2365

[12 т.]

(G1.8) Намерете ексцентрицитета $e_{\mathrm{J}}$ на орбитата на Юпитер. [8 т.]

(G1.9) Намерете хелиоцентричната еклиптична дължина $\lambda_{\mathbf{p}}$ , на точката в която Юпитер е в перихелий. [5 т.]

Месец	Дата	λ (∘)	Разстояние (AU)
Юни	1	135.8870	5.1589731906
Юни	2	135.9339	5.1629499712
Юни	3	135.9806	5.1669246607
Юни	4	136.0272	5.1708975373
Юни	5	136.0736	5.1748689006
Юни	6	136.1200	5.1788390741
Юни	7	136.1662	5.1828084082
Юни	8	136.2122	5.1867772826
Юни	9	136.2582	5.1907461105
Юни	10	136.3040	5.1947153428
Юни	11	136.3496	5.1986854723
Юни	12	136.3951	5.2026570402
Юни	13	136.4405	5.2066306418
Юни	14	136.4857	5.2106069354
Юни	15	136.5307	5.2145866506
Юни	16	136.5756	5.2185705999
Юни	17	136.6202	5.2225596924
Юни	18	136.6647	5.2265549493
Юни	19	136.7090	5.2305575243
Юни	20	136.7532	5.2345687280
Юни	21	136.7970	5.2385900582
Юни	22	136.8407	5.2426232385
Юни	23	136.8841	5.2466702671
Юни	24	136.9273	5.2507334797
Юни	25	136.9702	5.2548156324
Юни	26	137.0127	5.2589200110
Юни	27	137.0550	5.2630505798
Юни	28	137.0969	5.2672121872
Юни	29	137.1384	5.2714108557
Юни	30	137.1795	5.2756542053
Юли	1	137.2200	5.2799520895
Юли	2	137.2600	5.2843175880
Юли	3	137.2993	5.2887686308
Юли	4	137.3378	5.2933308160
Юли	5	137.3754	5.2980426654
Юли	6	137.4118	5.3029664212
Юли	7	137.4467	5.3082133835
Юли	8	137.4798	5.3140161793
Юли	9	137.5116	5.3210070441
Юли	10	137.5628	5.3312091210
Юли	11	137.6898	5.3405592121
Юли	12	137.8266	5.3466522674
Юли	13	137.9599	5.3516661563
Юли	14	138.0903	5.3561848203
Юли	15	138.2186	5.3604205657
Юли	16	138.3453	5.3644742164

Месец	Дата	λ (∘)	Разстояние (AU)
Юли	17	138.4707	5.3684017790
Юли	18	138.5949	5.3722377051
Юли	19	138.7183	5.3760047603
Юли	20	138.8409	5.3797188059
Юли	21	138.9628	5.3833913528
Юли	22	139.0841	5.3870310297
Юли	23	139.2048	5.3906444770
Юли	24	139.3250	5.3942369174
Юли	25	139.4448	5.3978125344
Юли	26	139.5641	5.4013747321
Юли	27	139.6831	5.4049263181
Юли	28	139.8016	5.4084696349
Юли	29	139.9198	5.4120066575
Юли	30	140.0377	5.4155390662
Юли	31	140.1553	5.4190683021
Август	1	140.2725	5.4225956100
Август	2	140.3895	5.4261220723
Август	3	140.5062	5.4296486357
Август	4	140.6225	5.4331761326
Август	5	140.7387	5.4367052982
Август	6	140.8546	5.4402367851
Август	7	140.9702	5.4437711745
Август	8	141.0856	5.4473089863
Август	9	141.2007	5.4508506867
Август	10	141.3157	5.4543966955
Август	11	141.4303	5.4579473912
Август	12	141.5448	5.4615031166
Август	13	141.6591	5.4650641822
Август	14	141.7731	5.4686308707
Август	15	141.8869	5.4722034391
Август	16	142.0006	5.4757821220
Август	17	142.1140	5.4793671340
Август	18	142.2272	5.4829586711
Август	19	142.3402	5.4865569133
Август	20	142.4530	5.4901620256
Август	21	142.5657	5.4937741595
Август	22	142.6781	5.4973934544
Август	23	142.7904	5.5010200385
Август	24	142.9024	5.5046540300
Август	25	143.0143	5.5082955377
Август	26	143.1260	5.5119446617
Август	27	143.2375	5.5156014948
Август	28	143.3488	5.5192661222
Август	29	143.4599	5.5229386226
Август	30	143.5709	5.5266190687
Август	31	143.6817	5.5303075275

Решение

Внимание: Непълно решение

The supplied key gives complete primary solutions for G1.1–G1.9, but prints only the heading “Alternative solution in COM frame” without that alternative derivation.

Противоположни посоки: планетата се движи надясно със скорост u, корабът се приближава отдолу със скорост v, заобикаля планетата и се отдалечава по посоката на u. — Figure 1

Общ случай: планетата се движи надясно със скорост u, корабът се приближава със скорост v под ъгъл θ спрямо хоризонталата и се отдалечава, отклонен нагоре. — Figure 2

Схема на траекторията на Voyager 2 с отпечатаните надписи на планетите и датите на прелитане. — Figure 3

G1.1

Solution:

Let $\vec{v_f}$ and $\vec{u_f}$ be the final velocity of the spacecraft and the planet respectively. As the planet For anti-parallel case, using conservation of linear momentum,

M\vec{u} + m\vec{v} = M\vec{u_f} + m\vec{v_f}

\therefore\ Mu - mv = Mu_f + mv_f

u_f = u - \frac{m}{M}(v_f+v)

Now, using conservation of energy,

Mu^2 + mv^2 = Mu_f^2 + mv_f^2

u^2 + \frac{m}{M}v^2 = \left(u - \frac{m}{M}(v_f+v)\right)^2 + \frac{m}{M}v_f^2

\cancel{u^2} + \cancel{\frac{m}{M}}v^2 = \cancel{u^2} + \frac{m}{M}\cdot\cancel{\frac{m}{M}}(v_f+v)^2 - 2u\cancel{\frac{m}{M}}(v_f+v) + \cancel{\frac{m}{M}}v_f^2

0 = \frac{m}{M}(v_f+v)^2 - 2u(v_f+v) + (v_f^2 - v^2)

0 = \frac{m}{M}(v_f+v)\cancel{(v_f+v)} - 2u\cancel{(v_f+v)} + \cancel{(v_f+v)}(v_f-v)

0 = \frac{m}{M}(v_f+v) - 2u + v_f - v

\therefore\ v_f\left(1+\frac{m}{M}\right) = 2u + \left(1-\frac{m}{M}\right)v

v_f = \frac{2u + \left(1-\frac{m}{M}\right)v}{\left(1+\frac{m}{M}\right)}

Alternative solution in COM frame

G1.2

Solution:

If $m \ll M$ ,

v_f \approx 2u+v

G1.3

Solution:

As velocity vector of the planet is not changing direction, there is no momentum transfer in direction perpendicular to $\vec{u}$ . We will resolve $\vec{v}$ and $\vec{v_f}$ into components parallel and perpendicular to $\vec{u}$ .

v_x = -v\cos\theta \qquad\qquad v_y = v\sin\theta

v_{f_x} = 2u + v\cos\theta \qquad\quad v_{f_y} = v\sin\theta

v_f^2 = v_{f_x}^2 + v_{f_y}^2 = (2u + v\cos\theta)^2 + (v\sin\theta)^2

= 4u^2 + 4uv\cos\theta + v^2\cos^2\theta + v^2\sin^2\theta

= 4u^2 + 4uv\cos\theta + v^2

\therefore\ \boxed{v_f = \sqrt{4u^2 + v^2 + 4uv\cos\theta}}

G1.4

Solution:

Графика с надпис G1.4: еклиптичната дължина (135–145 градуса) като функция на датата (от Jun-01 до Aug-30 1979); кривата расте бавно до около 137,5° към Jul-10, след това стръмно до около 143,6° към Aug-30.

From the graph, it can be inferred that the encounter with Jupiter occured on 10th July (day 191) and its distance from the Sun on that day is 5.33121 AU

G1.5

Solution:

The day number of Vernal Equinox is 80. Thus, ecliptic longitude of the Sun as seen from the Earth on the day of encounter will be,

\lambda_\odot = (191 - 80)*360^\circ/365.25 = 109.4045^\circ

Thus, the ecliptic longitude of the Earth as seen from the Sun on the day of encounter will be,

\lambda_\oplus = 180^\circ + 109.4045^\circ = 289.4045^\circ

Applying cosine rule,

d_{\oplus-J} = \sqrt{d_\oplus^2 + d_J^2 - 2d_\oplus d_J\cos\Delta\lambda}

= \sqrt{1^2 + 5.3312^2 - 2\times 1 \times 5.3312 \times \cos(289.4045^\circ - 137.5628^\circ)}

= 6.2308\ \mathrm{AU}

i.e. the Earth is 6.2308 AU from Jupiter on that day.

G1.6

Solution:

Thus, the angle of eastern elongation for Jupiter ( $\angle SEJ$ ) on that day would be,

\xi = \sin^{-1}\left(\frac{5.3312 \times \sin(289.4045^\circ - 137.5628^\circ)}{6.2308}\right)

= 23.8146^\circ

It would rise 95 minutes after the Sun rise, i.e. around 7:35am. It would transit the meridian after around 6 hours i.e. around 13:35 local time or 13:22 IST.

For more precise answer, R.A. of Jupiter on the day of encounter is approximately,

\lambda_{J_\mathrm{geocentric}} = 109.4045^\circ + 23.8146^\circ = 133.2191^\circ

\tan\alpha_J = \tan\lambda_{J_\mathrm{geocentric}}\,\cos\epsilon

= \tan 133.2191^\circ\,\cos 23^\circ 26'

\therefore\ \alpha_J = 135.68^\circ = 9^h\ 3^m

Thus, it will culminate at that sidereal time. On that day, sidereal time at noon is 07:24 (111 days from V.E. times 4 minutes). Thus, it will culminate 1 hour 39 minutes after the local noon i.e. at 13:39 local time or at about 13:26 IST.

Слънцето S в центъра, орбитата на Земята и Юпитер J на външна орбита; стрелка с надпис „To V.E.“ нагоре от S; начертани са отсечките SE и SJ. — Figure 4

Геометрия на прелитането: Слънцето S горе вдясно с ъгъл δλ между направленията към A и C; пътят на кораба A–B–C близо до Юпитер J с ъгли φ1 при A и φ2 при C и направление JD, означено с u.

G1.7

Solution:

In Figure 5, path of Voyager-2 is shown as A-B-C. The Sun is shown as S and the Jupiter is shown as J. From the data we note that $r$ is increasing continuously. The same should be reflected in the diagram. For practical purpose, J and B are the same points. The direction of velocity vector of Jupiter is given by $JD$ . In the figure,

\angle ASB = \delta\lambda_1 \qquad\qquad \angle ASB = \delta\lambda_2

\angle ASC = \delta\lambda \qquad\qquad \angle ABD = \theta

\angle ABC = \theta_1 \qquad\qquad \angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = \theta_1 - \theta

\angle SAB = \phi_1 \qquad\qquad \angle SCB = \phi_2

Now the lines originating from the Sun indicate radial direction on the respective dates. Let us take speed of the spacecraft sufficiently far from the day 190, to avoid any influence of Jupiter in initial and final velocity estimation. We can choose dates 35 days on either side of July 10 i.e. June 5 and August 14.

\delta\lambda_1 = 137.5628^\circ - 136.0736^\circ = 1.4892^\circ

l(AB) = \sqrt{l(SA)^2 + l(SB)^2 - 2 \times l(SA) \times l(SB) \times \cos\delta\lambda_1}

= \sqrt{5.17487^2 + 5.33121^2 - 2 \times 5.17487 \times 5.33121 \times \cos 1.4892^\circ}

= 0.20755\ \mathrm{au}

\phi_1 = \sin^{-1}\left(\frac{l(SB)\sin\delta\lambda_1}{l(AB)}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{5.33121 \times \sin 1.4892^\circ}{0.20755}\right)

= \sin^{-1}(0.66755)

\phi_1 = 41.8783^\circ \quad\text{or}\quad 138.1217^\circ

\delta\lambda_2 = 141.2007^\circ - 137.5628^\circ = 3.6379^\circ

l(BC) = \sqrt{l(SC)^2 + l(SB)^2 - 2 \times l(SC) \times l(SB) \times \cos\delta\lambda_2}

= \sqrt{5.45085^2 + 5.33121^2 - 2 \times 5.45085 \times 5.33121 \times \cos 3.6379^\circ}

= 0.36253\ \mathrm{au}

\phi_2 = \sin^{-1}\left(\frac{l(SB)\sin\delta\lambda_2}{l(BC)}\right) = \sin^{-1}\left(\frac{5.33121 \times \sin 3.6379^\circ}{0.36253}\right)

= \sin^{-1}(0.66755)

\phi_2 = 68.9199^\circ \quad\text{or}\quad 111.0801^\circ

from the figure, $\phi_1$ should be obtuse and $\phi_2$ may be acute. In $\square SABC$

\delta\lambda = \lambda_2 - \lambda_1 = 141.2007^\circ - 136.0736^\circ

= 5.1271^\circ

\therefore\ \theta_1 = 360^\circ - \delta\lambda - \phi_1 - \phi_2

= 360^\circ - 5.1271^\circ - 138.1217^\circ - 68.9199^\circ

\theta_1 = 147.8313^\circ

In $\triangle SBC$ , we notice

\angle SBC = 180^\circ - \phi_2 - \delta\lambda_2

= 180^\circ - 68.9199^\circ - 3.6379^\circ

= 107.4422^\circ

\tan\angle DBC = \frac{v_{y_f}}{v_{x_f}} = \frac{v\sin\theta}{v\cos\theta + 2u}

\tan(\theta_1 - \theta) = \frac{\sin\theta}{\cos\theta + 2\frac{u}{v}}

\therefore\ \frac{2u}{v} = \frac{\sin\theta}{\tan(\theta_1 - \theta)} - \cos\theta

We use this expression to find $|\vec{u}|$ .

v_f^2 = 4u^2 + v^2 + 4uv\cos\theta

\frac{v_f^2}{v^2} = \frac{4u^2}{v^2} + 1 + \frac{4u}{v}\cos\theta

\left(\frac{v_f}{v}\right)^2 = \left(\frac{2u}{v}\right)^2 + 1 + 2\left(\frac{2u}{v}\right)\cos\theta

= \left(\frac{\sin\theta}{\tan(\theta_1 - \theta)} - \cos\theta\right)^2 + 1 + 2\left(\frac{\sin\theta}{\tan(\theta_1 - \theta)} - \cos\theta\right)\cos\theta

= \left(\frac{\sin\theta}{\tan(\theta_1 - \theta)}\right)^2 - \cancel{\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\tan(\theta_1 - \theta)}} + \cos^2\theta + 1 + \cancel{\frac{2\sin\theta\cos\theta}{\tan(\theta_1 - \theta)}} - 2\cos^2\theta

= \frac{\sin^2\theta}{\tan^2(\theta_1 - \theta)} + 1 - \cos^2\theta

= \frac{\sin^2\theta}{\tan^2(\theta_1 - \theta)} + \sin^2\theta = \sin^2\theta\left(\cot^2(\theta_1 - \theta) + 1\right)

= \frac{\sin^2\theta}{\sin^2(\theta_1 - \theta)}

\therefore\ \frac{v_f}{v} = \frac{\sin\theta}{\sin(\theta_1 - \theta)} = \frac{\sin\theta}{\sin\theta_1\cos\theta - \cos\theta_1\sin\theta}

\therefore\ \frac{v}{v_f} = \sin\theta_1\cot\theta - \cos\theta_1

\tan\theta = \frac{\sin\theta_1}{\frac{v}{v_f} + \cos\theta_1}

= \frac{\sin 147.8313^\circ}{\frac{10.0187}{21.3812} + \cos 147.8313^\circ} = -1.4088

\therefore\ \theta = 180^\circ - 54.6328^\circ = 125.3672^\circ

v_f^2 = 4u^2 + v^2 + 4uv\cos\theta

21.3812^2 = 4u^2 + 10.0187^2 + 4u \times 10.0187\cos 125.3672^\circ

0 = u^2 - 5.7990u - \frac{(457.1557 - 100.3743)}{4}

0 = u^2 - 5.7990u - 89.1953

\therefore\ u = \frac{5.7990 + \sqrt{5.7990^2 + 4 \times 89.1953}}{2}

= 12.7789\ \mathrm{km\ s^{-1}}

Jupiter's orbital velocity on the day of encounter is $12.779\ \mathrm{km\ s^{-1}}$ and the angle between the initial velocity of the spacecraft and Jupiter's velocity vectors is 125°22′.

G1.8

Solution:

The angle between $\vec{r}$ and $\vec{u}$ on the day of encounter will be,

\psi = \angle SBC - (\theta_1 - \theta)

= 107.4422^\circ - 147.8313^\circ + 125.3672^\circ

= 84.9781^\circ

Now we use angular momentum conservation to estimate eccentricity. If $u_p$ and $r_p$ represent perihelion velocity and perihelion distance of Jupiter,

r_pu_p = a_J(1-e)\sqrt{\frac{GM_\odot}{a_J}\left(\frac{1+e}{1-e}\right)}

= \sqrt{GM_\odot a_J (1-e^2)}

r_pu_p = ru\sin\psi

\therefore\ 1 - e^2 = \frac{r^2u^2\sin^2\psi}{GM_\odot a_J}

= \frac{5.33121^2 \times 1.496 \times 10^{11} \times (12.7789 \times 10^3)^2 \sin^2 84.9781^\circ}{6.6741 \times 10^{-11} \times 1.9891 \times 10^{30} \times 5.20260}

= 0.99761

\therefore\ e = \sqrt{1 - 0.99761} = 0.0489

The eccentricity of Jupiter's orbit is $0.0489$ .

G1.9

Solution:

To estimate longitude of perihelion, one should estimate true anomaly of Jupiter on that day.

r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\Theta}

\therefore\ 0.0489\cos\Theta = \frac{a(1-e^2)}{r} - 1 = \frac{5.20260 \times 0.99761}{5.33121} - 1

= -0.02646

\Theta = 122.754^\circ

Thus, the longitude of perihelion of Jupiter is,

\lambda_p = \lambda_J - \Theta

= 137.5628^\circ - 122.754^\circ

\lambda_p = 14.809^\circ

Data

Month	Date	λ (°)	Distance (AU)	Month	Date	λ (°)	Distance (AU)
June	1	135.8870	5.1589731906	July	17	138.4707	5.3684017790
June	2	135.9339	5.1629499712	July	18	138.5949	5.3722377051
June	3	135.9806	5.1669246607	July	19	138.7183	5.3760047603
June	4	136.0272	5.1708975373	July	20	138.8409	5.3797188059
June	5	136.0736	5.1748689006	July	21	138.9628	5.3833913528
June	6	136.1200	5.1788390741	July	22	139.0841	5.3870310297
June	7	136.1662	5.1828084082	July	23	139.2048	5.390644477
June	8	136.2122	5.1867772826	July	24	139.3250	5.3942369174
June	9	136.2582	5.1907461105	July	25	139.4448	5.3978125344
June	10	136.3040	5.1947153428	July	26	139.5641	5.4013747321
June	11	136.3496	5.1986854723	July	27	139.6831	5.4049263181
June	12	136.3951	5.2026570402	July	28	139.8016	5.4084696349
June	13	136.4405	5.2066306418	July	29	139.9198	5.4120066575
June	14	136.4857	5.2106069354	July	30	140.0377	5.4155390662
June	15	136.5307	5.2145866506	July	31	140.1553	5.4190683021
June	16	136.5756	5.2185705999	August	1	140.2725	5.4225956100
June	17	136.6202	5.2225596924	August	2	140.3895	5.4261220723
June	18	136.6647	5.2265549493	August	3	140.5062	5.4296486357
June	19	136.7090	5.2305575243	August	4	140.6225	5.4331761326
June	20	136.7532	5.2345687280	August	5	140.7387	5.4367052982
June	21	136.7970	5.2385900582	August	6	140.8546	5.4402367851
June	22	136.8407	5.2426232385	August	7	140.9702	5.4437711745
June	23	136.8841	5.2466702671	August	8	141.0856	5.4473089863
June	24	136.9273	5.2507334797	August	9	141.2007	5.4508506867
June	25	136.9702	5.2548156324	August	10	141.3157	5.4543966955
June	26	137.0127	5.2589200110	August	11	141.4303	5.4579473912
June	27	137.0550	5.2630505798	August	12	141.5448	5.4615031166
June	28	137.0969	5.2672121872	August	13	141.6591	5.4650641822
June	29	137.1384	5.2714108557	August	14	141.7731	5.4686308707
June	30	137.1795	5.2756542053	August	15	141.8869	5.4722034391
July	1	137.2200	5.2799520895	August	16	142.0006	5.4757821220
July	2	137.2600	5.2843175880	August	17	142.1140	5.4793671340
July	3	137.2993	5.2887686308	August	18	142.2272	5.4829586711
July	4	137.3378	5.2933308160	August	19	142.3402	5.4865569133
July	5	137.3754	5.2980426654	August	20	142.4530	5.4901620256
July	6	137.4118	5.3029664212	August	21	142.5657	5.4937741595
July	7	137.4467	5.3082133835	August	22	142.6781	5.4973934544
July	8	137.4798	5.3140161793	August	23	142.7904	5.5010200385
July	9	137.5116	5.3210070441	August	24	142.9024	5.5046540300
July	10	137.5628	5.3312091210	August	25	143.0143	5.5082955377
July	11	137.6898	5.3405592121	August	26	143.1260	5.5119446617
July	12	137.8266	5.3466522674	August	27	143.2375	5.5156014948
July	13	137.9599	5.3516661563	August	28	143.3488	5.5192661222
July	14	138.0903	5.3561848203	August	29	143.4599	5.5229386226
July	15	138.2186	5.3604205657	August	30	143.5709	5.5266190687
July	16	138.3453	5.3644742164	August	31	143.6817	5.5303075275

Оригинал в Архива: team_bg.pdf · официални решения: team_sol.pdf · допълнителни данни: team.pdf · допълнителни данни: ioaa-qp-team.pdf